七年级数学上册 第五章 一元一次方程 5.1 认识一元一次方程教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中七年级上册数学教案.docx

5.1 认识一元一次方程（第1课时）
一、学生起点分析
学生在小学期间已学过等式、等式的基本性质以及方程、方程的解、解方程等知识，经历了分析简单数量的关系，并根据数量关系列出方程、求解方程、检验结果的过程。对方程已有初步认识， 但并没有学习“一元一次方程”准确的理性的概念。
二、学习任务分析
本节从有趣的“猜年龄”游戏入手，通过对五个熟悉的实际问题的分析，学生结合已有知识，能得出一元一次方程。在此过程中，学生逐渐体会方程是刻画现实世界、解决实际问题的有效数学模型。
本节的重点：学生在实际问题中分析、找到等量关系,准确列出方程，并总结所列方程的共同特点，归纳出一元一次方程的概念。
本节的难点：由特殊的几个方程的共同特点归纳一元一次方程的概念。
三、教学目标
1、在对实际问题情境的分析过程中感受方程模型的意义；
2、借助类比、归纳的方式概括一元一次方程的概念，并在概括的过程中体验归纳方法；
3、使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系。
四、教学过程设计
环节一：阅读章前图
内容1：请一位同学阅读章前图中关于“丟番图”的故事。（大约1分钟）
丢番图（Diophantus）是古希腊数学家。人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶， 它忠实地记录了其所经历的人生旅程。上帝赐予他的童年占六分之一， 又过十二分之一他两颊长出了胡须， 再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛。五年之后喜得贵子， 可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半便入黄泉。悲伤只有用数学研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途。
——出自《希腊诗文选》（The GreekAnthology）第 126 题
目的：通过阅读章前图中的故事，激发同学们探索丟番图年龄的兴趣，进而引导学生通过列方程解决问题，感受利用方程可以解决实际问题，感受方程是刻画现实世界有效地模型。
效果：学生对丟番图的故事很感兴趣，有的学生提出问题：他的年龄是多少呢？教师借机也提出问题：用什么方法可以求解丟番图的年龄呢？紧接着呈现内容2。
内容2：回答以下3个问题：（大约4分钟）
1、你能找到题中的等量关系，列出方程吗？
2、你对方程有什么认识？
3、列方程解决实际问题的关键是什么？
目的：第一个问题考查学生根据等量关系列方程的能力，对于解方程这里不做要求。第二个问题意在鼓励学生用自己的语言对方程进行描述，锻炼学生的数学语言表达能力。第三个问题强调列方程解应用题的关键是：寻找等量关系。
实际效果：第一个问题学生可以完成问题。如下：
解： 设丟番图的年龄为x岁，则：
第二个问题学生的表述合理即可，教师可以用规范的语言再次强调：方程是刻画现实世界有效地模型。第三个问题学生回答较好。
内容3：阅读学习目标：（大约2分钟）
学习本章内容，你将感受方程是刻画现实生活中等量关系的有效模型。
掌握等式的基本性质，能解一元一次方程。
能用一元一次方程解决一些简单的实际问题。
在探索一元一次方程解法的过程中，感受转化思想。
目的：通过阅读学习目标，学生了解了本章知识的学习内容共有两部分：解一元一次方程和能用一元一次方程解决一些简单的实际问题。学生对于本章知识的学习和数学思想有一个整体的概念。
实际效果：学生通过阅读，目标明确了，学习更有针对性。尤其是认识了“转化思想”的重要性。
环节二：自主阅读、学习
内容：让学生阅读内容。结合课本多以问题串的形式呈现内容的特点，粗读并完成书上的填空题。（大约10分钟）
目的：通过读书的过程，首先让学生回忆起小学学过的等式的概念、方程的概念，对课文所设置的较简单又熟悉的实例中的各种量的关系分析清楚，找出等量关系，列出方程，体会不同类型的方程。
实际效果：通常，多数学生能够分析教材实例中所蕴含的各种数量关系，并列出方程。教学过程中需要注意学生在这个环节的活动中所表现出来的书写不规范，错误的地方，提醒学生注意。
环节三：情境引入
内容：与学生共同分析完成课本呈现的五个情境：
（1）如果设小彬的年龄为 x岁，那么“乘 2 再减 5 ”就是2x- 5 ，所以得到方程：2x- 5 = 21。
组织活动：四人小组做猜年龄的游戏，每个小组会有几个不同的等式。
如：我的年龄乘2减5等于91，你知道老师多大了吗？
学生算出老师48岁了
（2）小颖种了一株树苗，开始时树苗高为 40 cm，栽种后每周树苗长高约 5 cm，大约几周后树苗长高到 1 m？
如果设 x周后树苗长高到 1 m，那么可以得到方程： 40 + 5 x= 100。
（3）甲、乙两地相距 22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每时比原计划多行走
1 km，因此提前 12 min 到达乙地，张叔叔原计划每时行走多少千米？
设张叔叔原计划每时行走x km，可以得到方程： 。
（4）根据第六次全国人口普查统计数据，截至 2010 年 11 月 1 日 0 时，全国每 10 万人中具有大学文化程度的人数为 8 930 人，与 2000 年第五次全国人口普查相比增长了 147.30%。
如果设 2000 年第五次全国人口普查时每 10 万人中约有 x 人具有大学文化程度，那么可以得到方程：( 1 + 147.30% )x = 8 930。
（5）某长方形操场的面积是 5 850，长和宽之差为 25 m，这个操场的长与
宽分别是多少米？
如果设这个操场的宽为 x m，那么长为（x + 25） m．可以得到方程。
目的：通过准确列五个方程，感受：1、列方程解应用题的关键是：寻找等量关系；
2、五个方程可分为三种类型：一元一次方程，分式方程，一元二次方程。
注意事项：学生在列方程时要注意以下问题：
1、让学生读题、审题，锻炼学生的审题能力。
2、（2）中单位换算：1米=100厘米。等量关系为：最后树高=初始树高+每周生长高度。
3、（3）中单位换算：12分=小时。等量关系为：原计划所用时间-现在所用时间=提前时间。
4、（4）中数字在前，字母在后。
环节四：归纳一元一次方程的定义，了解一元一次方程的解的含义
内容1：议一议
（1）由上面的问题你得到了哪些方程？其中哪些是你熟悉的方程？与同伴进行交流。
共得到五个方程。其中（1）（2）（4）都只有一个未知数，在小学学习时常见。
（2）方程 2 x- 5 = 21，40 + 5x= 100，( 1 + 147.30% )x = 8 930 有什么共同点？
它们都只含有一个未知数，且未知数的指数都是 1。
目的：由（1）引导学生逐步深入地思考所列的五个方程的特点：未知数的次数、位置不同；由（2）得出一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。
实际效果：逐步引发学生对方程特点的研究，由此让学生自己说出一元一次方程的定义，并判断上述五个方程只有三个一元一次方程。结论的得出源于学生在实际问题中分析，并不断地综合总结，体现了学生思维的主动性。
内容2：判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”。
(1) -2+5=3 ( ) (2) 3x -1=0 ( )
(3) y=3 ( ) (4) x +y=2 ( )
(5) 2x -5 x+1=0 ( ) (6)x y-1=0 ( )
(7) 2m -n ( ) (8) ( )
目的：巩固定义，准确判断一元一次方程的形式。
效果：（2）（3）（5）是一元一次方程。学生易出现以下错误：
1、漏掉（3），事实上（3）是最简洁的方程形式。
2、错选（6），次数不满足条件。
内容3：方程的解得含义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
完成随堂练习2题：
x= 2 是下列方程的解吗？
（1）3 x+ ( 10 - x ) = 20；
（2）2 + 6 = 7 x。
目的：了解方程的解的含义；判断是否为方程的解的方法：将解带入原方程，分别计算左和右，看是否相等。相等则为原方程的解。
实际效果：1、学生有小学的基础，能理解方程的解的含义；
2、学生熟练将方程的解带入方程进行验证，得出结论。
环节五：达标检测
内容1：完成教材上的随堂练习1、根据题意，列出方程：
（1） 在一卷公元前 1600 年左右遗留下来的古埃及纸草书中，记载着一些数学问题．其中一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，它的，其和等于 19。”
你能求出问题中的“它”吗？
解：设“它”为x，则：
（2） 甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22分。甲队胜了多少场？平了多少场？
解：设甲队赢了x场，则乙队赢了（10-x）场。则：
2、达标练习：
1、 如果=8是一元一次方程，那么m =。
2、 下列各式中，是方程的是（只填序号）。
① 2x=1 ② 5-4=1 ③ 7m-n+1 ④ 3(x+y)=4
3、 下列各式中，是一元一次方程的是（只填序号）。
① x-3y=1 ② x2+2x+3=0 ③ x=7 ④ x2-y=0
4、 a的20％加上100等于x ， 则可列出方程：。
5、 某数的一半减去该数的等于6，若设此数为x，则可列出方程。
6、 一桶油连桶的重量为8千克，油用去一半后，连桶重量为4.5千克，桶内有油多少千克？设桶内原有油x千克，则可列出方程___________________。
7、小颖的爸爸今年44岁，是小颖年龄的3倍还大2岁，设小明今年x岁，则可列出方程：_________________。
8、 3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子今年各是多少岁？设3年前儿子年龄为x岁，则可列出方程：。
目的：对本节知识进行巩固练习
实际效果：
1、学生基本能很好地对随堂练习的问题给出准确的解答。
2、由同学选自己组的代表发言，对P133随堂练习 1中的各个量及所表示的意义进行说明，加深对背景下的数学模型的理解。
3、达标练习中的题可以有选择的做。
环节六：课堂小结
内容：师生互动，梳理本节内容。（本节课你的收获，你的疑惑）
目的：鼓励学生结合学习本节课本内容及课前的预习，谈谈自己的收获与感想，包括如何调整自己的读书方法。
实际效果：
学生一方面总结出了：
1.本节给出了四个知识点：等式（回顾巩固），方程（给出描述性定义），一元一次方程及一元一次的解（根）。
2.感觉在解决实际问题时，列方程相比小学算术法，给出的思维方式与途径更具普遍性。
3.列方程的核心：实际问题“数学化”，关键是找到等量关系。
另一方面：每位同学都在现有程度上，适当调整自己的读书预习方式及自己独立思考问题的途径。
环节七：布置作业
1、习题5.1
2、思考：如何得到所列三个一元一次方程的解？
五、教学反思：
1.此阶段的学生有比较强烈的自我发展意识，对与自己的主观经验相冲突的现象，教师只有进行得当合理的诠释方可得到学生的认可。授课时要设法让学生体会运用方程建模的优越性，将能使众多实际问题“数学化”的重要数学模型成为学生学习后续知识的自觉选择。
2.让学生在简单的背景问题中，一点一滴地体会分析已知量、未知量之间的数量关系，对列方程的帮助，其正做到分解难点、降低难度、突破难点的目的。
3.学生的读书仍然停留在表面上的阅读，还须继续坚持和及时引导。

5.1 认识一元一次方程（第2课时）
一、学生起点分析
学生在小学期间已学过等式、等式的基本性质以及方程、方程的解、解方程等知识，经历了简单方程的简单数量关系的分析，对方程已有初步认识。
学生在小学已经经历了简单方程的简答、简单数量关系的分析，具有一定的解方程的能力.这时解方程的操作依据为加减法、乘除法互为逆运算的简单算理。
二、学习任务分析
本课通过天平的实验形式，形象直观地感受等式的基本性质，并尝试着用等式的基本性质解简单的方程。
本课的重点：让学生理解等式的基本性质，并能应用它来解方程。
难点：利用等式的基本性质对等式进行变形。
三、教学目标
1、借助直观对象理解等式性质；
2、掌握利用等式性质解一元一次方程的基本技能；
3、进一步体会解一元一次方程的含义和解方程的基本过程。
四、教学过程设计
环节一：课前准备（学生预习）
内容：阅读教材内容，总结所自学到的知识。
（大约5分钟）
1、等式的基本性质：
等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。
2、利用等式的基本性质可以解一元一次方程。
目的：1.让学生初步体会小学等式的基本性质的内容与中学等式的基本性质有何差异？
2．小学简单方程的求解过程的依据与中学方程求解过程依据有何差异？
3．能看懂并能理解书上呈现内容的主要环节。
实际效果：
学生观察得知：
1、要想消掉方程两边多的项，在方程两边同时加上这一项的相反数；
2、要使得方程未知数的系数化为1，方程两边都乘以未知数的系数的倒数，或除以未知数的系数。
环节二：情境引入（实践操作，演示天平称量过程）
内容1：在老师的协助下，学生实际操作用天平称量物体。

目的：培养学生从实际操作中获取信息，并通过亲身感受、体验归纳总结、抽象数学的能力；同时，培养学生严谨、有序的数学思维品质及科学的学术精神。
实际效果：
1、 实际操作归纳出了等式的基本性质一、二。
2、通过引导并类比，分析出初中所学等式的基本性质一，有别于小学所学内容，“等式两边可同时加上同一个整式”。
3、归纳出了数学表达式：
如果a=b，（a、b为代数式），
则（1）a+c=b+c （c为代数式）；
（2）ac=bc（c为任意有理数）；
（3） （c≠0）。
学生很细心，分析、认识问题比较全面，在回答问题的同时强调：
① （1）式中的c为代数式；
② （3）式中的c≠0必不可少。
内容2：：下列用等式性质进行的变形中，那些是正确的，并说明理由。
（1）若x=y，则5+x=5+y；
（2）若x=y，则5-x=5-y；
（3）若x=y，则5x=5y；
（4）若x=y，则 ；
(5)若 ，则bx=by ；
（6）若2x（x-1）=x， 则2（x-1）=1 。
目的：巩固等式的基本性质，关注基本性质二中的限定条件。
注意事项：（1）、（2）、（3）、（4）正确。学生容易出错：
1.漏选（4），两边同除以5≠0，所得结果仍是等式；
2.错选（6），未考虑x=0，则分母为零无意义。
环节三：利用等式基本性质解一元一次方程
内容1：例1 解下列方程：
（1）x + 2 = 5； （2）3 = x - 5。
解：（1）方程两边同时减去 2，得
x + 2 - 2 = 5 - 2.
于是 x = 3。
（2）方程两边同时加上 5，得
3 + 5 = x - 5 + 5，
于是 8 = x。
习惯上，我们写成 x = 8。
补充：解下列方程：（3）–y+3=5； （4）6-m=-3。
解：（3）方程两边同时减去 3，得
–y+3-3=5-3
得–y= 2
于是y= -2
（4）方程两边同时减去6，得
6-m-6=-3-6
得 -m=-9
于是 m=9
目的：1、在实际变形的过程中,让学生体会等式基本性质一的真正含义。
2、让学生感受到负数的引进及有理数运算的介入，用等式的基本性质解方程，相比小学的逆运算更具理性思维。
3、在经历等式变形的过程中，增强学生数学理性思维问题的意识，规范的数学书写格式。
实际效果：
1、学生习惯于用加法和减法逆运算的算理求出这两个方程的解，用等式的性质来解方程、读书能看懂，但有点思维不习惯。
2、习惯上，我们将未知数写在等号左边，值写在等号右边。
3、有同学提出：检验方程的解。应给予肯定和表扬。
内容2：例2 解下列方程：
（1）- 3 x = 15； （2）- - 2 = 10。
解：（1）方程两边同时除以 - 3，得

化简，得 x = - 5。
（2）方程两边同时加上 2，得
- - 2 + 2 = 10 + 2。
化简， 得 - = 12。
方程两边同时乘 - 3，得
n = - 36。
目的：1、在实际变形的过程中,让学生体会等式基本性质一、二的真正含义；
2、培养学生严谨、科学的思维习惯，规范的数学书写格式。
实际效果：
1、学生在感受了例1的思考过程后，能比较顺利地完成本例的解答。
2、学生习惯于用乘法和除法逆运算的算理求出这两个方程的解，有点思维不习惯。
3、学生对等式性质中的限制性条件理解不深刻。如“同时乘以或除以同一个非零数”运用不够好。

4.讲授以上两例时，创设了一种师生交流互动的环节，教师引导学生用等式的基本性质解方程，此过程中与学生平等交流，并给予恰倒好处的点拨。教师鼓励学生表达，并且在加深对等式基本性质理解的基础上，对不同的答案开展讨论，引导学生分享彼此的思想和结果，并重新审视自己的想法。
如：解方程(2)
同学甲： 解：方程两边同时加上2，得
整理得。
方程两边都乘以-3，得n=-36。
同学乙：解：方程两边同时加上2，得：。
整理得 。
方程两边都除以，得n =-36。
以上两种思考方式教师给予了客观公正的评价，本节课为解方程的第一课时，只要能用等式的基本性质将原来的方程变形成=a（a为常数）的形式即可。
同学丙：这样求得的方程中未知数的值一定是原方程的解吗？
同学丁：①整个解的过程利用了等式的两条基本性质和合并同类项的法则，理论根据可靠.②根据方程解的概念：“能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.”经检验就可知求解过程有无失误。
5、检验解的过程，学生出现了循环论证的不合理方式。
如：例1(1)+2=5的解为=3。
学生检验过程： 代=3入原方程
3+2=5。
所以=3为原方程的解。
正确方法：代=3入原方程
左边=+2=3+2=5，右边=5，
因为 左=右，
所以=3是原方程的解。
环节四：联系与提高
内容：
1、 还记得上一课小华和小彬猜年龄的问题吗？你能帮小彬解开年龄之谜吗？
解方程 2 x - 5 = 21
解：两边同时加上5，得
2 x - 5 +5= 21+5
于是 2 x= 26
得 x=13
2、你能解方程 5x = 3 x + 4 吗？
解：两边同时减去3 x，得
5 x-3 x = 3 x + 4-3 x
得 2 x= 4
得 x=2
3、随堂练习1．解下列方程：
（1）x - 9 = 8； （2）5 - y = - 16；
（3）3 x + 4 = - 13； （4）x - 1 = 5。
4、达标练习
1、若2x-a=3，则2x=3+，这是根据等式的性质，在等式两边同时，等式仍然成立。
2、如果代数式8x-9与6-2x的值互为相反数，则x的值为。
3、把变形为的依据是（ ）
A 等式的基本性质1
B 等式的基本性质2
C 分数的基本性质
D 以上都不对
4、小明在解方程2x-3=5x-3时，按照以下步骤：
解：①方程两边都加上3，得2x=5x；
②方程两边都除以x，得2=5；
以上解方程在第步出现错误。
目的：1、应用本课时所学内容解答上课时提出的问题。
2、对本节知识进行巩固落实。
实际效果：
1、 学生基本都能熟练地运用等式的基本性质解答简单的一元一次方程,回应了例2的两个题中，当方程化成a=b（a不等于0，a，b为常数）形式时，根据等式的基本性质2，方程两边同时乘以未知数系数的倒数也行，或同时除以未知数的系数也可行的解题方法，使小学学过的形如a+b=c （a不等于0，a，b，c为常数）的方程，利用等式的基本性质得以顺利求解。同时为解较繁难的一元一次方程做了很好的铺垫.期间在教师的引导下，学生体会到了未知数系数相对烦琐时，用等式的基本性质变形比用运算的逆运算关系变形要方便快捷。
2、在解决年龄问题时，学生还意识到，上节课提出的问题,有些可以利用等式的基本性质求出其解。
环节五：课堂小结
内容：师生共同归纳总结主要内容:等式的基本性质及注意事项。
目的：通过对本课所学内容的归纳，一方面清晰地梳理出本课学过的基本知识及数学思想；另一方面，习惯地将新学的知识及方法构建到原有的知识体系中，找出“承前启后”的“承接点”“启发点”。
环节六：布置作业
1、习题5.2。
2、探索等式基本性质1的变化特点，思考：能否理解为左右移项？
五、教学反思
1.教材只是为教师提供的最基本的教学素材，教师可根据学生的实际情况及教学设计目的进行适当调整.学生在小学学过用运算的逆运算关系解简单一元一次方程普遍掌握较好，在本课时教学时，例1可增加几个例题.如：解方程 –y+3=5，6-m=-3等类型的方程，让学生感受到负数的引进及有理数运算的介入，用小学方法解方程比用等式的基本性质解方程，理性思维要差些，引导学生体会代数中处理类似小学且难于小学的内容时“代数化”方法的优越性、概括性及抽象性。
2.相信学生，在教师引导下，会适时调整自己对数学学习的方式及获取各种信息的途径,获得最有价值的数学思维方式。