九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决实际问题（1）教案1 （新版）苏科版-（新版）苏科版初中九年级下册数学教案.doc

实际问题中的最值问题
一. 教学内容：
二次函数的应用

二. 教学要求
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。

三. 重点及难点
运用二次函数的有关知识求实际问题的最大（小）值是本节的重点，也是难点。

四. 课堂教学
［知识要点］
知识点1、二次函数的最值在实际问题中的应用
求实际问题中二次函数的最大值时，一般是求二次函数的条件最值，这就要求在列函数解析式的同时，应主动地求出自变量x的取值范围。
例、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。
当销售单价是多少时，销售利润最多？
下面我们来研究这个实际问题。
设销售单价为x（x≤13.5）元，则
月销售量为：500+200（13.5－x）=3200－200x
销售额为：x（3200－200x）=3200x－200
所获利润为：（x－2.5）（3200－200x）=－200+3700x－8000
当销售单价是9.25元时，（），可以获得最大利润。最大利润是9112.5元（）

知识点2、求最值的三种方法
1、配方法
2、公式法
3、判别式法
在中，把y看作已知数，得到关于x的一元二次方程
若x是任何实数，则应有
当a>0时，，此时
当a<0时，，此时

知识点3、抛物线上的四个重要点和在x轴上截得的线段长与其实际的三角形形状及面积的关系
抛物线上的四个重要点是抛物线的顶点，与x轴的两个交点为，与y轴的一个交点为c，在x轴上截得的线段长AB=，这是二次函数的重要基础知识。
抛物线与x轴的焦点个数由的符号决定
>0，抛物线与x轴有两个交点。
=0，抛物线与x轴有一个交点。
<0，抛物线与x轴没有交点。

知识点4、运用几何图形的有关性质、定理与二次函数的知识解决面积的最大值问。
例、如图所示，在直角三角形的内部做一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。

（1）设长方形的一边AB=x，那么AD边的长度如何表示？
（2）设长方形的面积为y，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少?
分析：1、根据平行线找成比例线段，结合已知线段建立关系式
2、结合函数解析式和实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大值。
解：（1）∵长方形的一边长AB=x.DA⊥AB，CB⊥AB
∴DC∥AB，∴，∴AD=30－
（2）∵长方形的面积为y
∴
∵
∴x=20时，

知识点5、利用二次函数求最大面积的基本思路
解二次函数最值应用题的基本方法是：设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，其一般步骤是：
（1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式
（2）把关系式转化为二次函数解析式
（3）求二次函数的最大值或最小值

【典型例题】
例1、某商场经营一批进价2元一件的小商品，在市场销售中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（件）之间有如下关系：
x
3
5
9
11
y
18
14
6
2
（1）在直角坐标系中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点。
①猜测并确定日销售量y（件）与日销售单价x（元）之间的函数关系式，并作出函数图像。
（2）设经营此商品的日销售利润为P（元），根据日销售规律：
①试求出日销售利润P（元）与日销售单价x之间的关系式，并求出日销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润，日销售利润P是否存在最小值？若存在，试求出，若不存在，请说明理由
②做出日销售利润P与日销售单价x之间的函数草图，写出x与P的取值范围。
分析：（1）根据描点、连线、猜测y与x之间为一次函数关系；（2）销售利润=售出价－进货价，得出函数P与x之间的关系，经过配方可求其最值。
解：（1）描出四个点A（3，18），B（5，14），C（9，6），D（11，2）的准确位置，如图所示

猜测四点在一条直线上，
设此直线的解析式为y=kx+b
则由A（3，18），B（5，14），得
3k+b=18 解得 k=－2
5k+b=14 b=24
∴y=－2x+24
将C（9，6）D（11，2）代入y=－2x+24中验证，
满足这个解析式
∴y=－2x+24（0≤x<12），且x=12时，y=0.
（2）∵销售利润=售出价－进货价
∴P=xy－2y y=－2x+24
∴P=y（x－2）=（－2x+24）（x－2）=－2
当x=7时，日销售利润获得最大值，为50元。
当x≥12，即日销售单价大于等于12元时，无人购买，所以利润P=0
又由实际意义知，当销售单价x=0时，亏本卖出
此时利润P=－48，为最小值
根据实际意义有0≤x<2时亏本卖出
当x=2时，利润P=0
当x≥12时，无人购买，P=0（草图略）
由图像知x≥0时，－48≤P≤50

例2、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”的三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

解：（1）M（12，0），P（6，6）．
（2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x－6）2+6，
∵抛物线过O（0，0），∴a（0－6）2+6=0，解得a=-，
∴这条抛物线的函数解析式为y=－（x－6）2+6，即y=－x2+2x．
（3）设点A的坐标为（m，－m2+2m），
∴OB=m，AB=DC=－m2+2m，根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，
∴BC=12－2m，即AD=12－2m，
∴L=AB+AD+DC=－m2+2m+12－2m－m2+2m=－m2+2m+12=－（m－3）2+15．
∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．

例3、一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3.14，结果精确到0.1米）

解：（1）当AD=4米时，S半圆=×（）2=×22=2（米2）．
（2）①∵AD=2r，AD+CD=8，∴CD=8－AD=8－2r，
∴S=r2+AD·CD=r2+2r（8－2r）=（－4）r2+16r，
②由①知CD=8－2r，又∵2米≤CD≤3米，∴2≤8－2r≤3，∴2．5≤r≤3，
由①知S=（－4）r2+16r=（×3.14－4）r2+16r
=－2.43r2+16r=－2.43（r－）2+，
∵－2.43<0，∴函数图象为开口向下的抛物线，
∵函数图象对称轴r=≈3.3．又2.5≤r≤3<3.3，
由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，
故当r=3时，S有最大值，
S最大值=（－4）×32+16×3≈（×3.14－4）×9+48=26.13≈26.1（米2）．
答：隧道截面面积S的最大值约为26.1米2．

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有 （ ）
① a + b + c>0 ② a － b + c＜0 ③ abc < 0 ④ b =2a ⑤ b >0
A. 5个 B. 4个 C .3个 D. 2个

2. 抛物线y=x2－ax+a－2与坐标轴的交点的个数有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
3. 下列过原点的抛物线是 （ ）
A. y=2x2－1 B. y=2x2+1 C. y=2（x+1）2 D. y=2x2+x
4.已知抛物线过A（－1， 0）和B （3， 0）两点，与y轴交于点C，且BC=，则这条抛物线的解析式为（ ）
A. y=－x2+2x+3 B. y=x2－2x－3
C. y=x2+2x－3 或y= －x2+2x+3 D. y= －x2+2x+3或y= x2－2x－3
5. 二次数y= a （x+m）2－m（a≠0），无论m为什么实数，图象的顶点必在 （ ）
A. 直线y= －x上 B. 直线y=x上 C. y轴上 D. x轴上
6. 如图，在直角三角形AOB中，AB=OB，且OB=AB=3，设直线，截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为 （ ）

7. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；
③函数图象最高点的纵坐标是;
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题的个数有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题
8. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2， y =1， y =2 围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 。
9. 抛物线y=－2（x+1）2+1的顶点坐标是 .
10. 将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为 .
11. 抛物线y=（1－k）x2－2x－1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .
12. 已知二次函数y=x2+kx－12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是
13. 写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 .
14. 二次函数 y=ax2+c（a，c为已知常数），当x取值x1，x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取值x1+x2时，函数值为 .

三、解答题
15. 根据下列不同条件，求二次函数的解析式：
（l）二次函数的图象经过A （1， l），B（－l， 7）， C（2，4）三点；
（2）已知当x=2时，y有最小值3，且经过点（l，5 ）;
（3）图象经过（－3，0），（l，0）， （－l，4）三点．

16. 画出函数y=x2－2x－3的图象，利用图象回答下列问题：
（l）x取何值时，y随x的增大而减小？
（2）当x取何值时，y=0，y>0，y<0?
（3）若x1＞x2＞x3＞1时，比较yl，y2，y3的大小

17. 已知二次函数y=－2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0，0）和（1，6 ）两点？

18. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形－边长为x（m），面积为S（m2）.
（l）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．

19. 某跳水运动员进行10m跳台跳水的训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处与池边的距离为4m， 同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（l）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．

【试题答案】
一、选择题
1、D 2、B 3、D 4、D 5、B 6、D 7、D

二、填空题
8、≤a≤2
9、（－1，1）
10、
11、k<2且k≠1
12、k=1
13、
14、c

三、解答题
15、（1） （2） （3）
16、图略
（1）x<1时，y随x值的增大而减小
（2）当x=－1或x=3时，y=0，当－1<x<3时，y<0，当x>3或x<－1时，y>0
（3）
17、向右平移2个单位向上平移8个单位
18、（1）S=（6－x）x （0<x<12）
（2）
当x=3时

19、略