曲线曲面基本理论课件市公开课一等奖百校联赛优质课金奖名师赛课获奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,曲线曲面基本理论,1/45,图形计算机表示,图形计算机表示是形状信息计算机表示、分析和综合关键。,即：,要处理既适累计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和数据交换形状描述数学方法,。,形状数学描述应,保留对象形状尽可能多性质,。,图形表示问题,形状描述要求,参数化表示,离散点表示,2/45,形状数学描述要求,从计算机,对形状处理、便于形状信息传递与数据交换,角度来看应满足以下要求：,唯一性：,由已给定有限信息决定形状应是唯一。,几何不变性：,形状相对位置确定后，形状应不随所取坐标系改变而改变。,易于定界：,轻易界定参变量取值范围。,统一性：,能统一表示各种形状及处理各种情况，包含各种特殊情况。即：既能表示自由型曲线曲面，又能表示初等解析曲线曲面。,计算处理简便易行。,含有丰富表示能力与灵活地响应能力。,易于实现连接，且在许多场所要求光滑连接。,易于实现对形状控制，既含有整体控制能力，又含有局部控制能力。含有较大控制灵活性。,几何直观，几何意义显著。,图形表示问题,形状描述要求,参数化表示,离散点表示,3/45,曲线曲面参数化表示问题,曲线和曲面可由给定,数学函数,生成，曲线和曲面函数方程能表示为参数形式或非参数形式。,对计算机图形应用而言，参数表示普通更方便些。,曲线曲面参数化,给定一个详细单参数矢函数，并据此给出一个详细参数曲线,曲面,方程。,既决定了所表示,曲线,曲面,形状,；,也决定了该,曲线,曲面,上点,与,其参数域内点(即参数值),之间一个,对应关系,。,在曲线曲面理论中，所要考查在于两个方面：,曲线,曲面,整体，,而不是组成这个整体各个分量；,曲线,曲面,上点之间相对位置关系，,而不是它们与所取坐标系之间相对位置关系。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,4/45,曲线参数化概念,空间曲线上一点,P,每个坐标被表示为某个参数,u,函数：,x,=,x,(,u,),y,=,y,(,u,),z,=,z,(,u,)，,位置矢量：,三个坐标分量就组成曲线上该点,位置矢量,，曲线就可表示为参数,u,矢函数,：,P,(,u,)=(,x,(,u,),y,(,u,),z,(,u,)。,参数区间：,描述形状参数曲线总是,有界,，能够方便地用,参数区间,表示：,u,u,1,u,2,，或,u,1,u,u,2,。,参数曲线里,参数,可能含有某种几何意义，,如：圆参数方程,P,(,)=(,rcos,rsin,)(0,/2)中参数,；,参数曲线里,参数,也可能无任何几何意义，,如：三次多项式方程,x,(,u,)=,a,x,u,3,+,b,x,u,2,+,c,x,u,+,d,x,(0,u,1)中参数,u,。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,5/45,曲线参数化方法,对于标量显函数方程如,y,=,y,(,x,)，只需：,将其中变量换成参数,u,；,将函数值,y,换成位置矢量,P,(,u,)；,将标量系数对应换成为系数矢量；,各阶导数,d,(,k,),y,/,dx,k,换成导数矢量,d,(k),P,(,u,)/,du,k,。,因为在许多参数形式之前就存在对应非参数形式(如：三次样条曲线有三次样条函数，,Bzier,曲线有,Bernstein,基函数等)，所以，这种,对应关系与替换绝非是等价,。,而对于非参数形式下隐方程，则可转换成等价参数形式，只需把所含各坐标都分别表示成某一参数函数，使它们适合于该隐式方程。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,6/45,曲线参数化：对应关系,曲线形状确定后，,曲线上点,与,参数域内点,对应关系,是指,：,曲线上点沿曲线弧长,分布情况,与,点参数值在参数域,分布情况,之间对应。,这种对应关系与参数选取相关：,仅在曲线取本身弧长或弧长线性函数为参数时，参数域内线段长度之比才等于曲线上对应曲线段弧长之比。,P(u,2,),P(u,1,),P(u),u,u,u,1,u,2,u,在正常情况下，曲线上参数为u 点P(u)与参数u轴上定义域内点一一对应。,凡在曲线上这种映射关系不成立点称为,奇点,。,曲线自交点，即重点对应两个参数值就是奇点。,同一条曲线参数化不是唯一：,差异,：,曲线上点与参数域内点之间对应关系不一样,。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,7/45,曲线参数化：性质,曲线上点是参数,u,矢函数。,曲线对参数,u,求导数等于其各分量对参数,u,求导，其结果为一矢量，称为,导矢,；一阶导矢称为,切矢,。,切矢以及各阶导矢都是相对矢量，可在空间内任意平移。,曲线上切矢为非零矢量点称为,正则点,。若曲线在其参数域内处处切矢为非零矢量，则称该参数化为正则，所定义曲线称为,正则曲线,。,曲线采取参数表示后，就有了方向。,曲线方向对应于曲线上参数增加方向。,曲线在一点方向就是曲线在该点切矢方向。,若曲线某点切矢为零向量，则该点方向可由在该点处最低阶非零导矢方向决定。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,8/45,给定一个详细曲面方程，称之为给定了一个曲面参数化。,它既决定了所表示曲面形状，也决定了该曲面上点与其参数域内点之间一个对应关系。,曲面参数化：概念,曲面可表示为参数,u,、,v,矢函数,P,=,P,(,u,v,)描述。,曲面范围,惯用两个参数改变区间所表示,uv,参数平面上一个矩形区域：,u,1,u,u,2,、,v,1,v,v,2,给出。,这么就对应得到含有四条边界曲面即矩形曲面。,也可定义在,uv,参数平面某一区域,上，用,u,v,给出。,正常情况下，参数域内点与曲面上点组成一一对应映射关系。曲面上这种映射关系不成立点为曲面奇点。,u,1,u,u,2,v,2,v,1,v,(u,v),P(u,v),u,v,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,9/45,曲面参数化：性质,曲面参数化不是唯一。,参数曲面上存在两簇,等参数线：,一簇,u,线和一簇,v,线：,固定,uv,两参数中一个(,u,=,u,0,或,v,=,v,0,)而使曲面方程成为单参数,P,=,P,(,u,0,v,)或,P,=,P,(,u,v,0,)矢函数，表示曲面上一条以,v,或,u,为参数曲线(,u,线或,v,线)。,曲面上任一点处总有一个,u,向切矢,p,u,(,u,线关于,u,偏导矢)和一个v向切矢,p,v,(,v,线关于,v,偏导矢)。,若该点处两个切矢不平行，即,p,u,p,v,0点称为曲面,正则点,。,曲面上,p,u,p,v,=0点是曲面上一个,奇点,。,这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量奇点不一样：,前者有可能因两非零导矢平行或退化边引发，就可由重新参数化(参数变换)消除；,后者由曲线重新参数化可能消除不了。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,10/45,参数表示优点,与非参数相比，参数方法含有优点：,几何不变性：总是能选取那些,含有几何不变性参数曲线曲面表示形式,，且能经过某种变换处理,使一些不含有几何不变性形式含有几何不变性,。,易于要求曲线、曲面范围。,易于表示空间曲线。,易执行仿射变换和投影变换。,易于计算曲线、曲面上点及其它信息。,易于处理多值问题。,易于处理无穷大斜率。,便于曲线分段、分片描述。,提供对曲线、曲面形状控制较多自由度。,为向高维问题推广提供了可能性。,隐式方程在曲线和曲面上点相对位置判断和求交方面含有优势。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,11/45,曲线曲面基表示,曲线曲面可由某一组基函数及其相联络系数矢量来给出,：,a,i,为系数矢量；,p,(,)与,i,(,)依据曲线和曲面而有所不一样：,对于曲线，,p,(,)与,i,(,)分别为,单参数,矢函数,及以该参数为变量,基函数,；,对于曲面，,p,(,)与,i,(,)分别为,双参数,矢函数,及其以双参数为变量,基函数,；,上式称为曲线曲面基表示。,表示曲线、曲面数学方法不一样就表现在所采取,基函数不一样,。,基函数一旦决定，系数矢量也就完全定义了曲线、曲面。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,12/45,基表示几何不变性,按照所采取基函数规范程度，基表示可分为三种类型：,规范基表示：,曲线或曲面上整体满足柯西条件：,比如：线性插值：,P,(,u,)=(1-,u,),P,0,+,uP,1,。,部分规范基表示：,曲线或曲面上部分段(片)满足：,比如：,P,(,u,)=,a,0,+,a,1,u,。,非规范基表示：,除了上述两种以外情况。,比如：,P,(,u,)=(1-,u,),2,P,0,+,u,2,P,1,。,曲线曲面表示几何不变性是指它们,不依赖于坐标系选择,，或者说,在旋转与平移变换下不变,性质。,规范基和部分规范基表示含有几何不变性；,而非规范基表示不含有几何不变性。,图形表示问题,参数化表示,曲线参数化,参数化方法,对应关系,参数化性质,曲面参数化,参数化性质,参数化优点,参数化基表示,几何不变性,离散点表示,13/45,曲线曲面离散点表示,曲线和曲面可由给定,数学函数,生成，或由用户给定一组,数据点,生成。,数学函数：规则曲线,和,规则曲面：,圆、抛物线、螺旋线等曲线和球、圆柱、圆锥等曲面都不难用数学方程式表示出来，这类曲线和曲面分别称为,规则曲线,和,规则曲面,。,数据点：自由曲线,和,自由曲面：,曲线和曲面形状相当自由又不规则，如飞机机翼、汽车车身、人体外形、卡通形象等，极难用数学式表示，这么曲线和曲面分别称为,自由曲线,和,自由曲面,。,当用,离散坐标点,来指定物体形状时，则要依据应用要求得到最贴近这些点函数式描述。,样条是这类曲线和曲面范例。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,14/45,离散点拟合曲线和曲面方式,自由曲线和自由曲面普通经过少数分散点生成，这些点叫做“型值点”、“样本点”或“控制点”。,要依据应用要求得到最贴近这些点函数式描述。这种情况称为“曲线曲面拟合”,在进行曲线曲面拟合时，普通碰到以下三种情况：,插值,：利用一些数学方法是曲线曲面按要求经过已知点，而且含有一定光滑流畅程度。,迫近,：曲线曲面不一定经过给定点，不过靠近各点，每个点对曲线曲面都有某种看不见吸引力。,设计,：已知点太少，需要依据实际情况增加一些控制点，然后用上述两种方法之一生成曲线曲面。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,15/45,参数样条曲线,参数样条曲线可从“参数”和“样条”这两个意思上去了解。,参数,是指曲线方程中使用自变量，当它在某个范围内改变时，对应坐标点在曲线上移动。,“参数曲线”是指用参数作为自变量函数曲线，,有时使用参数曲线可简化矢量表示形式。,比如，直线段矢量形式为：,P,(,t,)=(1-,t,),P,0,+,tP,1,；,其参数形式可抽象为：,P,(,t,)=,0,(,t,),P,0,+,1,(,t,),P,1,，,式中：,1,(,t,)为(1-,t,)，,1,(,t,)为,t,。,1,(,t,)和,1,(,t,)叫做,“混合函数”、“权函数”或“基函数”,，,它们表示伴随,t,从0到1改变，,P,0,和,P,1,对整个线段所作贡献。,t,0,=1-t,1,=t,t,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条曲线概念,样条曲线应用,样条曲线分类,参数样条性质,样条统一表示,样条基函数,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,16/45,样条曲线概念,在绘图术语中，,样条是经过一组,指定点集,来生成平滑曲线柔性带,。,样条,原指一个绘图工具，它用柔软细长,弹性木条或金属条组成。,绘图员可,使之弯曲变形，方便经过,若干已知数据点,，然后用铅笔顺着它将曲线绘出。,实际上，曲线绘制时，几个小“权重”沿“,柔性,钢条,”长度分配，并固定在绘图位置上绘制曲线。,数学中样条含意是指模仿上述过程一个数学方法，用这种方法生成曲线叫做“,样条曲线,”：,样条曲线通常有,多段低次曲线段,组成，用,分段多项式函数,来描述，其连接处有连续一次和二次导数。,其中三次样条曲线段最为常见：,所谓三次是指曲线用多项式表示时，多项式中幂最高次数是3。,参数样条曲面经过用两个参数对样条曲线推广取得。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条曲线概念,样条曲线应用,样条曲线分类,参数样条性质,样条统一表示,样条基函数,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,17/45,样条曲线应用,在计算机图形学中，,样条曲线指,由多项式曲线段连接,而成曲线。,在每段,边界处,满足,特定连续条件,。,样条曲面可用,两组正交样条曲线,来描述,。,在图形学应用中使用,几个不一样样条描述,每种描述是一个,带有某特定边界条件,多项式,特殊类型,。,用来设计曲线和曲面形状；,用来对图形数字化方便存入计算机；,用来标识场景中物体或摄影动画路径,。,样条曲线由,控制点,定义、建模和管理。,控制点,给出曲线大致形状。,经过交互选择控制点,空间位置,，经多项式拟合后可显示初始曲线。,设计者可,重定位部分或全部控制点,以重建曲线形状，,经过,对控制点进行变换,，可平移、旋转或缩放曲线。,CAD软件包可,插入另外控制点,来调整曲线形状。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条曲线概念,样条曲线应用,样条曲线分类,参数样条性质,样条统一表示,样条基函数,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,18/45,参数样条分类：插值和迫近,依据,控制点,选取分段连续多项式函数：,若选取多项式使所得曲线经过每个控制点，则所得曲线称为这组控制点,插值样条曲线,；,插值曲线惯用于绘图或动画设计，,若多项式选取使得曲线不一定经过每个控制点，所得曲线称为这组控制点,迫近样条曲线,。,迫近曲线普通用来结构物体表面。,插值与迫近样条,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条曲线概念,样条曲线应用,样条曲线分类,参数样条性质,样条统一表示,样条基函数,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,19/45,参数样条性质,包围一组控制点,凸多边形边界,称为,凸包,。,凸包提供,曲线或曲面,与,围绕控制点区域,间,偏差测量,。,凸包内部多边形区域也可用于裁剪等算法。,对于迫近样条，连接,有一定次序控制点,直线序列通常称作,曲线控制图,或,控制多边形,和,特征多边形,。,设计时，控制多边形通常显示以提醒设计者控制点次序。,样条曲线凸包,控制多边形,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条曲线概念,样条曲线应用,样条曲线分类,参数样条性质,样条统一表示,样条基函数,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,20/45,参数样条统一表示方法,假设沿样条段路径有以下关于,x,坐标三次参数多项式表示：,x,(,u,)=,a,x,u,3,+,b,x,u,2,+,c,x,u,+,d,x,，(0,u,1)(1),曲线,边界条件,可设为：,端点坐标,和,端点处一阶导数,。,这四个边界条件是决定系数,a,x,、,b,x,、,c,x,和,d,x,值充分条件。,依据边界条件，将方程(1)写为矩形乘积形式：,x,(,u,)=,u,3,u,2,u,1,a,x,b,x,c,x,d,x,T,=,U,C,(2),U,是参数,u,幂次,行矩阵,，,C,是,系数列矩阵,。,利用方程(2)可写出矩阵形式边界条件，并求得系数矩阵：,C,=,M,spline,M,geom,(3),M,geom,是包含,样条几何约束值(边界条件),4元素列矩阵,包含,控制点坐标值,和其它,已被指定几何约束,。,M,spline,是44矩阵，它,将几何约束值转化成多项式系数,且提供,样条曲线特征,，有时称,基本矩阵,，对样,条表示间转换尤其有用。,这么，方程(2)可表示为：,x,(,u,)=,U,M,spline,M,geom,(4),图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条曲线概念,样条曲线应用,样条曲线分类,参数样条性质,样条统一表示,样条基函数,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,21/45,参数样条基函数表示方法,扩展方程(4)可得到关于坐标,x,几何约束参数多项式表示：,a,i,是约束参数，,如控制点坐标和控制点处曲线斜率；,i,(,u,)是多项式,混合函数,或,基函数,。,有三个等价方法来计算特定样条曲线路径位置,混合函数,或,基函数,：,列出一组加在样条上,边界条件,；,列出,刻划样条特征行列式,；,列出,确定怎样组合指定曲线几何约束,。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条曲线概念,样条曲线应用,样条曲线分类,参数样条性质,样条统一表示,样条基函数,样条表示性质,三次插值样条,插值样条类型,22/45,参数样条连接性质,通常，曲线曲面都是由多个曲线段或曲面片组成。,为确保分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可在连接点处要求各种连续性条件。,曲线曲面连接连续性类型,参数连续性；,几何连续性。,(a),(b),P,3,0,P,0,3,P,0,1,P,0,0,P,0,2,P,1,3,P,1,1,P,1,0,P,1,2,P,2,3,P,2,1,P,2,0,P,2,2,P,3,3,P,3,1,P,3,2,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,参数连续性,参数连续应用,几何连续性,连续性比较,光顺性准则,光顺性应用,三次插值样条,插值样条类型,23/45,参数连续性条件,参数连续性,是经过在曲线段,公共部分匹配参数导数,来建立,。,0阶参数连续性,：记作,C,连续，是指曲线相连，,即第一个曲线段在,u,2,处,x,、,y,、,z,值与第二个曲线段在,u,1,处,x,、,y,、,z,值相等；,一阶参数连续,：,即,C,1,连续性，指代表两个相邻曲线段方程在相交点处有相同一阶导数(切线)。,二阶参数连续性,：,即,C,2,连续性，是指两个曲线段在交点处有相同一阶和二阶导数；,高阶参数连续性,可类似定义。,(a),(b),(c),图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,参数连续性,参数连续应用,几何连续性,连续性比较,光顺性准则,光顺性应用,三次插值样条,插值样条类型,24/45,参数连续性应用,连续性性质与应用,对,二阶连续性,，交点处切向量改变率相等，这么，切线从一个曲线段平滑地改变到另一个曲线段。,二阶连续性对电影中动画路径和很多精密CAD需求有用。,但对,一阶连续性,，两段切向量改变率可能会不一样，所以两个相连曲线段总形状会有突变。,一阶连续性对数字化绘画及一些设计应用已经足够。,(a),(b),(c),图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,参数连续性,参数连续应用,几何连续性,连续性比较,光顺性准则,光顺性应用,三次插值样条,插值样条类型,25/45,几何连续性条件,几何连续性条件只需,两曲线段在相交处,参数导数成百分比,而不是相等。,0阶几何连续性,，,记为,G,0,，与0阶参数连续性相同，即两个曲线段必在公共点处有相同坐标；,一阶几何连续性,，记为,G,1,连续性，指一阶导数在两个相邻段交点处成百分比。,G,1,连续下，相邻曲线段在交点处切向量大小不一定相等。,二阶几何连续性,，记为,G,2,，指两个曲线段在相交处其一次和二次导数均成百分比。简称曲率连续。,G,2,连续性下，两个曲线段在交点处曲率相等。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,参数连续性,参数连续应用,几何连续性,连续性比较,光顺性准则,光顺性应用,三次插值样条,插值样条类型,26/45,几何连续性和参数连续性比较,生成带有几何连续条件曲线与生成带有参数连续条件曲线有一些类似，但二者曲线形状有点差异。,对几何连续性，曲线弯向较大切向量。,在函数曲线中，参数连续性(可微性)与几何连续性(光滑度,G,2,)是一致；,在参数曲线里，仅当曲线为正则时，这种一致性保持成立。,三个控制点拟合成两曲线段并带有(a)参数连续性；(b)几何连续性。,其中曲线,C,3,上,P,1,点处切向量值比曲线,C,1,上,P,1,点处切向量值大。,P,1,P,0,P,2,C,1,C,2,(a),P,1c1,=,P,1c2,P,1,P,0,P,2,C,1,C,3,(b),P,1c1,P,1c3,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,参数连续性,参数连续应用,几何连续性,连续性比较,光顺性准则,光顺性应用,三次插值样条,插值样条类型,27/45,曲线曲面光顺性准则,光顺性(smoothness或fairness)是曲线曲面中很普遍又很主要概念。当前关于光顺性准则存在不一样提法，缺乏统一判据。,过同一数据点且,含有相同边界几何约束,两条平面插值曲线相对光顺性四项判据或准则：,二阶几何连续(,G,2,连续)；,不存在奇点与多出拐点；,曲率改变较小；,应变能较小。,边界几何约束,是指边界条件中与参数无关几何信息，,如：切线方向与曲率，,不包含与参数相关那些信息，如切矢模长。,之所以要求几何连续而不是参数连续,参数连续不一定能确保切线方向与曲率连续。这是参数曲线与函数曲线显著不一样之处。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,参数连续性,参数连续应用,几何连续性,连续性比较,光顺性准则,光顺性应用,三次插值样条,插值样条类型,28/45,曲线曲面光顺性应用,当前曲线曲面光顺性大多是由,相对曲率随弧长改变图形,即,曲率图,来衡量：,一条曲线是光顺，假如它曲率图是连续且仅由一些单调段组成,。,对于插值曲线，光顺法通常是指经过,修改数据点,以使生成插值曲线或曲面光顺性得到改进方法：,这种方法是以参数连续性为基础，,以牺牲所谓“坏点”位置精度,，来换取曲线曲面光顺性改进。,几何连续性将曲线光顺变成,利用所提供形状参数对曲线进行形状控制,。,除非尤其需要，它无需调整数据点，这为光顺性问题处理提供了豁然洞开境地。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,参数连续性,参数连续应用,几何连续性,连续性比较,光顺性准则,光顺性应用,三次插值样条,插值样条类型,29/45,三次插值样条曲线,插值样条大多用来建立物体运动路径或提供实体表示和绘画，有时也用来设计物体形状。,三次多项式在灵活性和计算速度之间提供了一个合理折衷方案：,与更高次多项式相比，三次样条只需较少计算和存放且较稳定；,与低次多项式相比，三次样条在模拟任意曲线形状时显得更灵活。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,30/45,三次插值样条生成方法,基本思想：,给出一组控制点，可得到经过每个控制点分段三次多项式曲线三次插值样条。,假设有,n,+1个控制点，坐标分别为：,P,k,=(,x,k,y,k,z,k,)，,k,=0,1,2,n,。,用以下方程组来描述拟合每对控制点参数三次多项式：,x,(,u,)=,a,x,u,3,+,b,x,u,2,+,c,x,u,+,d,x,；,y,(,u,)=,a,y,u,3,+,b,y,u,2,+,c,y,u,+,d,y,；,z,(,u,)=,a,z,u,3,+,b,z,u,2,+,c,z,u,+,d,z,。,这三个方程中每一个都必须定出多项式中,四个系数,a,b,c,d,值，,n,+1个控制点产生,n,个曲线段，每一段都有上述问题，,需确定4n个多项式系数。,经过,在二个曲线段,交点,处设置,足够边界条件,(不一样生成方法)，可得到全部系数值。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,31/45,自然三次插值样条,自然三次样条含有,C,2,连续性，用公式表示时需要,两个相邻曲线段在公共边界处有相同一阶和二阶导数,。,每一个,内控制点,(,P,0,和,P,n,之外,n,-1个)有四个边界条件：,在该控制点两侧两个曲线段在该点处有,相同一阶和二阶导数,；(,2,n,-2个方程),两个曲线段都要经过该点,。(,2,n,-2个方程),这给出了由4,n,个多项式系数组成4,n,-4个方程；,再给出从,控制点,P,0,(曲线起点),和从,控制点,P,n,(曲线终点),所得两个方程；,最终增加二个条件：,设,P,0,和,P,n,处二阶导数为0。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,32/45,自然三次插值样条,另一方法是：,在控制点序列两端增加二个“隐含”控制点,，,即：增加,P,-1,和,P,n+1,控制点，使原来全部控制点都成了内点，有所需4,n,个边界条件。,尽管自然三次样条是绘图样条一个数学模型，但它有一个主要缺点：,假如控制点中任一个改动，会影响整个曲线。,也就是说：,自然三次样条不允许“,局部控制,”，不给出完整新控制点集，不可能部分结构曲线。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,33/45,Hermite,插值曲线：边界条件,Hermite,样条,每个曲线段仅依赖于,端点约束,，可,局部调整,。,Hermite,样条是一个分段三次多项式，并,在每个控制点有给定切线,。,在控制点,P,k,和,P,k+1,间曲线段是参数三次函数为,p(u),，,Hermite,曲线段边界条件是：,P,(0)=,P,k,；,P,(0)=,DP,k,；,P,(1)=,P,k+1,；,P,(1)=,DP,k+1,。,其中：,DP,k,和,DP,k+1,是在控制点,P,k,和,P,k+1,处对应导数值(曲线斜率)。,Hermite,曲线段向量方程为：,P,(,u,)=,au,3,+,bu,2,+,cu,+,d,，0,u,1，,其中,P,分量,x,是：,x,(,u,)=,a,x,u,3,+,b,x,u,2,+,c,x,u,+,d,x,，,对分量,y,和,z,含有一样形式。,P,k,P,k+1,P(u)=(x(u),y(u),z(u),图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,34/45,Hermite,插值曲线：方程求解,以0和1代入,Hermite,曲线段矩阵方程中,u,，可把,Hermite,边界条件表示为矩阵形式：,其中：,M,H,是,Hermite,矩阵,，是边界约束矩阵逆矩阵。,该方程对多项式系数求解，有：,使用边界条件，矩阵方程能够写成：,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,35/45,Hermite,插值曲线基函数表示,算出上述方程中矩阵乘积且合并满足边界约束函数，得到多项式形式。,最终，可得到混合函数表示式：,P,(,u,)=,P,k,(2,u,3,-3,u,2,+1),+,P,k+1,(-2,u,3,+3,u,2,),+,Dp,k,(,u,3,-,u,2,+,u,),+,Dp,k+1,(,u,3,-,u,2,),P,(,u,)=,P,k,H,0,(,u,),+,P,k+1,H,1,(,u,),+,Dp,k,H,2,(,u,),+,Dp,k+1,H,3,(,u,),多项式,H,k,(,u,),(,k,=0,1,2,3)称为,混合函数,它们,混合了边界约束值(终点坐标和斜率),来得到曲线上每个坐标点位置。,Hermite,多项式是经过估算出曲线斜率来插值。,但对计算机图形学大部分问题而言，除了控制点坐标外，更加好做法是,不输入曲线斜率值,或,其它几何信息,就生成样条曲线。,Cardinal,样条和,Kochanek-Bartels,样条这二种,Hermite,样条上改变形式就仅由控制点坐标位置计算出导数。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,36/45,Cardinal,样条,Cardinal,样条也是插值分段三次曲线，且,每曲线段终点处均指定切线,。,与,Hermite,样条区分是：,不一定要给出终点切线值。,一个,控制点处斜率值,可由两个相邻控制点坐标来计算,。,Cardinal,样条由四个连续控制点给出(如右图)：,中间两个控制点是曲线段端点，,另二个点用来计算终点斜率。,在控制点,P,k,和,P,k+1,间,Cardinal,样条段参数向量函数,P,(,u,)，其端点处切向量正比于由相邻控制点所形成弦。,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,37/45,Cardinal,样条边界条件,设,P,(,u,)是两控制点,P,k,和,P,k+1,间参数三次函数式，则,从,P,k-1,到,P,k+2,间四个控制点用于建立,Cardinal,样条段边界条件：,P,(0)=,P,k,；,P,(0)=(1-,t,)(,P,k+1,P,k-1,)/2；,P,(1)=,P,k+1,；,P,(1)=(1-,t,)(,P,k+2,P,k,)/2。,控制点,P,k,和,P,k+1,处斜率分别与弦,P,k-1,P,k+1,和,P,k,P,k+2,成正比。,参数,t,控制,Cardinal,样条与输入控制点间松紧程度，称为,张量(,tension,)参数,。,张力参数在Cardinal样条段形状中所起作用,t0,(较紧曲线),P(u),P,k+1,P,k,P,k-1,P,k+2,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,38/45,Cardinal,样条基表示,用类似,Hermite,样条中方法，可将边界条件转换成矩阵形式：,将矩阵方程展开成多项式形式，可得到混合函数表示式：,P,(,u,)=,P,k-1,(-,tu,3,+2,tu,2,-,tu,),+,P,k,(2-,t,),u,3,+(,t,-3),u,2,+1,+,P,k+1,(,t,-2),u,3,-(,t,-2),u,2,+,tu,+,P,k+2,(,tu,3,-,tu,2,),P,(,u,)=,P,k-1,CAR,0,(,u,),+,P,k,CAR,1,(,u,),+,P,k+1,CAR,2,(,u,),+,P,k+1,CAR,3,(,u,),这里多项式,CAR,k,(,u,)(k=0,1,2,3)称为,Cardinal,混合函数,，,它们混合了边界约束值(终点坐标和斜率)来得到曲线上每个坐标点位置。,M,是,Cardinal,矩阵,，表示为：,图形表示问题,参数化表示,曲线曲面性质,离散点表示,离散生成方式,参数样条表示,样条表示性质,三次插值样条,插值样条生成,自然插值样条1,自然插值样条2,Hermite,边界条件,Hermite,方程求解,Hermite,基函数,Cardinal样条,Cardinal边界条件,Cardinal基函数,K-B样条,K-B样条性质,插值样条类型,39/45,Kochanek-Bartels,样条,这类插值三次多项式是,Cardinal,样条扩展。将二个附加参数引入到约束方程中,而得到,Kochanel-Bartels,样条对调整曲线段形状愈加方便。,给出四个连续控制点,P,k-1,、,P,k,、,P,k+1,和,P,k+2,，,P,k,和,P,k+1,间,Kochanek-Bartels,曲线段中边界条件定义为:,P,(0),=