河南省濮阳市南乐县张果屯乡中学八年级数学上册《14.2.2一次函数（四）》教案 新人教版.doc

《14.2.2一次函数（四）》教案

教学目标：
1、 了解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象。
2、 在涉及多个变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数。
3、 能利用一次函数及其图像解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力。
4、 体会并感知数学建模的一般思想。
教学重点：分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决。
教学难点：对数学建模的过程、思想、方法的领会，提升分析解决问题的能力。
教学过程：
一、 复习与探究
设计说明：在前面函数图像的学习中，学生已经接触了此类图像并能根据图像信息回答相应的问题。但在学生的印象中这个图只是表明了两个变量间的一种变化关系，而不知道是什么类型的函数。在熟悉又陌生的事物面前，学生的思想被激发了，从数与形的角度全面感受分段函数的特点。
同学们在前面的学习中，我们见过类似的图像，这个图像所表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
S (千米)
1
2
3
4
5
6
7
4
8
12
16
o
t（小时）
问题一:某同学匀速步行从甲地到乙地，然后又返回到甲地。如图是他离甲地的距离s（单位：千米）和时间t（单位：小时）的函数关系图像。你能口述一下这位同学的往返过程，并求出各段的函数关系式吗？
引导学生分段分析，得到结论：
这位同学由甲地出发去乙地，去时以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地休息了一小时后，以每小时4千米的速度步行返回甲地。
用待定系数法确定各段的函数关系式：
s=6t (0≤t ≤ 2)
s=12 (2 ＜ t ≤ 3)
s=-4t+24 (3 ＜t≤6)
问题二:小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度30米/分，然后又匀速跑10分钟。请写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随时间x（单位：分）变化的函数关系式，并画出函数图像。
列表分析：
时间（分）
0
1
2
2.5
x
…
5
速度（米/分）
 200
 230
 260
 275
 200+30x
 …
 350
0≤x ≤5 y= 30x+200 5 ＜x≤15 y=350
解：y =30x+200 (0≤x ≤5)
y = 350 (5＜ x ≤15)
函数图像：
200
400
o
5
10
15
y (米/分)
x (分）

设计说明：从问题一引发知识冲突，到问题二的分析思考，让学生一步一步得到分段函数，，使学生认识到同一问题中两个变量的函数关系是不同的，图像也是不同的。问题一给出了函数图像，学生用待定系数很容易求出各段函数解析式。问题二则需要认真分析题目中各个量之间的关系，启发学生借助表格进行分析。本环节的两个问题从数与形的角度让学生全面感受分段函数的特点，并在与正比例函数、一次函数的比较中加深理解，完善认知。
二、问题解决与拓展
例 “黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次性购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子的价格打8折。
（1）填出下表：
购买种子数量/千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元

（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数的图像。
分析: （1）付款金额=单价×种子数量
0
2
5元/千克
0.8 × 5元/千克
=4元/千克

（2）设购买种子数量为x千克，付款金额为y元。
0≤x ≤ 2 y=5x x＞2 y=5 ×2 + 0.8×5 (x-2)
解：（1）填出下表：
购买种子数量/千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元
 2.5
 5
 7.5
 10
 12
 14
 16
 18
 …
（2）设购买种子数量为x千克，付款金额为y元。
当0≤x ≤ 2时，y=5x.
当x＞2时，y=5 ×2 + 0.8× 5 (x-2)=4x+2
函数图像：
4
18
y=4x+2
2
y=5x
Y （元）
10
x（千克）
o

设计说明：如果已知种子的数量，求付款金额，学生根据学过的知识是可以解决的，学生有这样的解题经验，付款金额与种子的数量以及种子的单价有关，因为该题综合性较强，可引导学生分类考虑问题，教师可进行必要的提示，逐步使学生认识到，当不能有一种情形表达清楚时，必须尝试分情况说明，一开始学生可能不习惯，可采取一些措施，比如讨论等，慢慢让学生认识到这种方法的合理性，改变过去的一元思维方式，并逐步地去运用其解决问题，而此题是在变化情景中探求，突出变量数学的特征，此时亦可使学生初步感受函数方法的优越性，为下一单元用函数观点看方程与不等式埋下伏笔，这些感受可以在分析思考或者回顾反思中视情况渗透。
三、巩固练习
1.如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）之间的函数关系图像。B
A
y (元)
o
7
14
3
x (km)
8
C
(3,7)
(8,14)

① 根据图像，写出当x≥3时该图像的函数关系式；
② 某人乘坐2.5km，应付多少钱？
③ 某人乘坐13km，应付多少钱？
④ 若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
解：① 设y=kx+b
把（3，7），（8，14)代入
得： 3k+b=7
8k+b=14
解得: k=
b=
∴y=x+ (x≥3)
② ∵2.5＜3 由图可知
某人乘坐2.5km，应付7元钱
③ 把x=13代入y=x+
得：y=21
答：某人乘坐13km，应付21元钱。
④ 把y=30.8代入y=x+
解得x=20
答：若某人付车费30.8元，出租车行驶了20千米。
2.某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算用户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计算；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3计费，超过部分按2.6元/m3计费。设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费为y元。⑴写出y关于x的函数解析式；⑵小明家第二季度交纳水费的情况如下表：
月份
4
5
6
交纳金额/元
30
34
42.6
小明家该季度的总用水量是多少？
分析：设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费为y元
2.6元/m3
20
0
2元/m3
交纳水费=单价×月用水量

⑴ 0≤x ≤ 20 y=2x x＞20 y=2× 20 + 2.6× (x-20)=2.6x-12
⑵ 当x=20时 y=2× 20 =40(元）
4月份：30=2x x=15
5月份：34=2x x=17
6月份：42.6=2.6x－12 x=21
解：⑴当 0≤x ≤ 20 时，y=2x
当x＞20时， y=2× 20 + 2.6× (x-20)=2.6x-12
⑵ y=2× 20 =40(元）
4月份：y=30＜40 把y=30代入y=2x
30=2x x=15
5月份：y=34＜40 把y=34代入y=2x
34=2x x=17
6月份：y=42.6＞40 把y=42.6代入y=2.6x-12
42.6=2.6x-12 x=21
15+17+21=53(m3)
答：小明家该季度的总用水量是53m3。
四、课堂小结
1.分段函数解析式确定的方法：
①待定系数法；②推导法。
2.应用的数学思想:
① 分类讨论； ② 数学建模
五、布置作业
习题14.2 第12题
六、课后反思
本节课主要是初步学习分段函数的知识以及在解决相对复杂问题中进一步体会数学建模思想与具体做法。在分段函数学习中，由于学生在函数图像学习中已经接触了它的图像，故可从此切入，建立知识的联系，在教学中又通过对其解析式与图像特征的分析比较，从而建立对分段函数的完整认知，并纳入原有认知结构之中。在解决多变量问题时，充分考虑学生可能遇到的困难，积极引导学生掌握分析方法，学会选取自变量建立函数模型并利用函数解析式与图像数形结合、直观有效地解决问题，促进学生对知识的理解掌握与根系解决问题能力的提高。