河北省邯郸市肥乡县八年级数学上册 第七章 平行线的证明 第五节 三角形的内角和定理教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级上册数学教案.doc

多边形的内角和
【教学目标】
1．探索并掌握多边形内角和与外角和公式，体会从特殊到一般，化归，类比的数学研究方法；
2．运用多边形内角和与外角和公式解决简单问题．

【教学重点和难点】
教学重点：多边形的内角和公式及其探究过程；
教学难点：探究多边形内角和时，对表格中多边形内角和相关因素的分析归纳与解释．

【教学方法】诱思发现法，多媒体辅助教学．

【教学流程设计】

活动流程图
活动内容和目的
活动一　用“四边形铺地板”引入新课

活动二　探究四边形的内角和

活动三　探究n边形的内角和公式

活动四　拓展：解决n边形的内角和问题的不同方法及方法对比

活动五　探究n边形的外角和
通过生活中多边形内角的应用，通过设疑激发学生对本节课的探究兴趣．

寻找解决问题的基本方法：将四边形分割成三角形．

数形结合，利用化归思想和类比方法，通过观察、分析、归纳、验证等活动，探究n边形的内角和公式．

拓展学生思维，
运用公式解决简单问题．

利用类比方法自主探究得出结论．

【教学过程】

活动一 创设情境 引入新课
问题1：我们教室的地板是正方形的地板砖拼接而成的，如图1，请同学们仔细观察拼接点
4
1
2
3
图1
处，是哪些角拼成的，拼成了多少度的角？
学生：口答．拼接点处是四个正方形各取一个内角拼在一起，用四
个直角拼成了360°．
教师：归纳．要把地板铺平，需保证每个拼接处的几个角恰好拼成
一个周角，即它们的和为360°．

问题2：如图，用同一种一般的四边形铺地板，你认为能把地板铺平吗？
1
2
3
4
2
3
4
图2
学生：可能有疑惑，不知道能不能铺平．
教师：利用课件动画演示，发现可以铺平地板．
追问：这说明什么？
学生：拼接点处的四个角拼成了360°.
教师：拼接处的四个角恰好是一个四边形的四个
内角，这说明任意四边形的内角和等于
360°.本节课，我们首先来验证这一结论．

设计意图：
利用学生熟悉的特殊四边形——正方形地板砖铺地板的问题，引申到用同一种一般四边形也能把地板铺平．利用多媒体，使学生通过直观观察，感受到拼接点处的四个角是任意四边形的四个内角的和为360°．激发学生探究的兴趣，引出本节课的研究内容．

活动二 探究四边形的内角和
教师：在数学中遇到一个新问题时，我们通常利用转化思想，将其转化为一个熟悉的问题．在解决四边形内角和的问题时，我们也可以将四边形转化为三角形这种基本图形．
问题1：如何将四边形转化为三角形？
学生：独立思考，动手操作，然后在黑板上展示．学生解决问题可能的方法有：
方法1：如图3，连接AC，将四边形分成两个三角形，四边形的内角和转化成两个三角形的内角和．
C
D
B
A
C
D
B
A
方法2：如图4，连接AC，BD,四边形的内角和是分成的四个三角形的内角和减去一个周角度数．
……

图4
图3

问题2：图3和图4中，连接对角线的目的是什么？
学生：连接对角线把四边形分成了三角形．
教师：指导学生选出最优方法，即连接一条对角线，因为这样分割出的两个三角形的内角和恰好就是四边形的内角和，方法既简单又实用．
设计意图：
以分割四边形为例，给学生思考的时间，让学生通过自己动手，发现解决问题的方法——将四边形进行适当的分割．实际上，解决问题的方法很多，但在本节课中，要通过教师的引导，总结出将四边形分割成三角形的基本方法是图3的方法．
教师在适当时机还可给学生拓展其它方法，但因为其它方法在表示四边形的内角和时，对四边形或割或补（如图4，图5，图6，图7……），不仅需要利用三角形的内角和，还要用到平角或周角等相关知识；而在四边形中连接一条对角线（如图3）的方法，分割出两个三角形的内角和恰好就是四边形的内角和，所以这种方法非常直接，既简单又实用．课堂上，我将引导学生用从多边形的一个顶点引对角线的方法解决n边形内角和的问题．

图6
图5
图7

活动三 探究n边形的内角和公式
问题1：利用求四边形内角和的方法，你能求出五边形内角和吗?
追问：类比五边形的方法，如果是六边形呢？
学生：独立思考，回答问题．从一个顶点出发引出两条对角线，将五边形分割成三个三角形，因为这三个三角形的内角和恰好就是五边形的内角和，所以五边形的内角和为180°×3=540°．
图形
教师：再次强调．将多边形内角和问题转化成三角形问题的方法是从多边形一个顶点出发引对角线，将多边形分割成多个三角形．
多边形的边数
3
4
5
6
…
n
从一个顶点引对角线条数
0
1
2
3
…
n－3
三角形个数
1
2
3
4
…
n－2
多边形内角和
180°
360°
540°
720°
…
(n－2)×180°

问题2：结合图形，把分割多边形过程中的相关因素，作为表格的项目填写相应数字，形成表格．
学生：独立完成．
问题3：观察表格，每行、每列数之间有什么关系？规律有哪些？
学生：独立思考，可能有以下结论：
（1）从一个顶点出发引出对角线条数比边数少3；
（2）三角形个数比边数少2；
（3） 三角形个数比对角线条数少1；
（4）多边形边数每增加1，内角和增加180°；
……
问题4：对问题3中找到的规律（1）和（2），请以六边形为例说明理由．
学生：同桌之间交流讨论，归纳结论．
六边形有6个顶点，从某一顶点出发的对角线条数，是这一顶点与除它本身及和他相邻两个顶点之外的顶点所连线段，即为（6-3）条对角线；
六边形有6条边，三角形个数按照以这一点为顶点的角的对边个数为基准，应减去这一顶点所在的两条边，即为（6-2）个三角形．
……
说明：利用六边形解释我们发现的规律，这个说理过程是有一定难度的．为此，我做一个铺垫——回忆多边形对角线的定义，强调多边形的对角线是连接不相邻的顶点．便于同学们解释清楚“从一个顶点出发引出对角线条数比边数少3”和“三角形个数比边数少2”中，两个数字“3”和“2”在这个多边形问题中的实际意义．为归纳“n边形的内角和等于（n-2）x 180°”扫清思维障碍．
问题5：当边数为n时，猜想相应的结论是什么？请借助n边形的图形，验证这个猜想．
学生：小组交流讨论，总结如下．
（1）n边形有n个顶点，从某一顶点出发的对角线条数，是这一顶点与除它本身及和
他相邻两个顶点之外的顶点所连线段，即为（n-3）条对角线；
（2）n边形有n条边，三角形个数按照以这一点为顶点的角的对边个数为基准，应减
去这一顶点所在的两条边，即为（n-2）个三角形．
（3）这（n-2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，
所以n边内角和等于（n-2）x 180°．
教师：归纳如下．
（1） n边形的内角和是（n-2）x 180°，是本节课的重点知识；
（2）n边形的内角和与边数n相关，边数每增加1，内角和增加180°；
（3）n边形问题常常转化为三角形问题，注意方法的选用．

设计意图：
本环节是本节课探究活动的核心环节，为了突出本节课的重点知识和解决问题的方法，突破难点，我设计了一个问题串：问题1由研究四边形内角和的方法出发，继续研究五边形、六边形的内角和；问题2教师引导学生结合图形，形成表格；问题3学生观察，发现表格中纵向、横向之间数据变化的规律，并加以分析，归纳出各组数据的变化规律；问题4利用具体的图形——六边形为例，说明问题3中发现的规律；问题5由数字规律做猜想，总结出多边形边数n与从一个顶点引出的对角线个数（n-3）及三角形个数（n-2）之间的关系．教师要始终引导学生朝着核心规律“n边形的内角和等于（n-2）x 180°”的方向归纳．学生在学习知识的同时，感受到从特殊到一般的研究问题方法，思维能力将得到很好的发展．

活动四 方法拓展
问题：
我们利用把多边形分割成的三角形的方法（如图8）探究了多边形的内角和，你还有其它方法吗？

图10
图8
图9
图11

方法1：如图9，在n边形内任取一点，分别与n边形各顶点相连，则n边形被分割成了n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，以n边形内的这点为顶点的各角之和是360°，n边形内角和=n×180°-360°=（n-2）×180°．
方法2：如图10，在n边形某一边上选取一点，将这点与除这点所在边的端点外的各顶点相连，则n边形被分割成了n-1个三角形，这n-1个三角形内角和为（n-1）×180°，以边上这点为顶点的各角之和为180°，n边形内角和等于（n-1）×180°-180°=（n-2）× 1800．
……
设计意图：
围绕着本节课的核心知识——n边形内角和公式，核心思想——化归思想，核心方法——分割图形，进一步发展学生的发散性和创造性思维，鼓励学生用不同的方法解决问题．无论选取的点在多边形内（如图9），还是在多边形的边上（如图10），甚至是在多边形外（如图11）……，都能够得出核心规律“n边形的内角和等于（n-2）x 180°”．方法拓展的目的：一方面加深对n边形内角和公式及其推理过程的理解，另一方面再次体验到化归思想的运用．同时通过与其它方法（如图9，图10，图11）的对比，我们也能体会到利用从一个顶点出发引出对角线把多边形转化为三角形（如图8），确实是一种简单又实用的方法．

练习：
1.正六边形的各内角是多少度？用同样的正六边形地砖铺地面，能铺平吗？
2.如果一个多边形的每一个内角等于150°,则这个多边形的边数是_____．
学生口答，并说明理由．师生共同评价解题方法．
设计意图：
练习1巩固公式，与引入相呼应；练习2与练习1做比较，逆向思维解决问题，渗透方程思想，进一步巩固公式．
P

活动五 探究n边形的外角和
例题：如图12，小明从P出发，沿五边形广场跑步，跑完一圈又回到P点．
1．你能根据已学知识求出Ð1+ Ð2+ Ð3+ Ð4+ Ð5的值吗？
图12
2．小明从一条街道转到下一条街道时，你身体转过的角是哪个角？他跑完一圈后，身体转过的角度之和是多少？
3．像这样，在n边形每个顶点处各取一个外角，这些外角的和
叫做n边形的外角和．
（1）n边形的内角和是多少？
（2）你能类比五边形外角和的验证方法进行说明吗？
学生：口述结果．
教师：展示Ð1+ Ð2+ Ð3+ Ð4+ Ð5 = 5 ×180° ﹣（5-2） ×180°= 360°
说明：这里学生可能会出现一个困惑，即转弯时身体转过的角度容易错误理解为是内角度数，为突破这一难点，解决学生对外角和的理解误区，我用肢体语言解释每次转过的角度即为一个外角的度数．
练习：如果一个多边形的每一个内角等于150°,则这个多边形的边数是_____．
学生：独立完成．
设计意图：
本环节以一个例题的形式引入，以五边形为例，启发学生利用五边形内角和得到五边形的外角和，并把文字语言转换为符号语言，再从形的角度理解多边形外角和，形象的肢体语言能使学生对多边形的外角和恒等于360°加深理解．
练习用了刚才练习中的第2题，同一道题，用不同方法进行求解，体会如何灵活应用内角和与外角和公式解决问题，发展思维的灵活性．

作业：教科书25页习题5，6题
小结：本节课你有哪些收获？
设计意图：
希望学生能回顾本节课的学习过程，结合具体问题总结自己的感受，知识、方法方面的总结．教师要评价学生的学习过程和学习效果．

教学设计说明
整节课的设计，我突出了思维课堂的基本理念——知识问题化、问题导学化、导学思维化、思维活动化．思维课堂是一种在课堂上要关注学生思维能力发展的课堂理念，即在关注学生掌握知识的同时，发展学生的思维能力．在本节课的每个环节中，我把知识转化为一个个的小问题或问题串，使学生在解决问题的过程中，理解知识的形成过程，从而对本节课的知识加深理解．例如在活动三中，我由易到难依次设置了4个小问题：“1.利用求四边形内角和的方法，你能求出五边形内角和吗? 2.结合图形，把分割多边形过程中的相关因素，作为表格的项目填写相应数字，形成表格；3.观察表格，每列数之间有什么关系？规律有哪些？4.对问题3中找到的规律（1）和（2），请以六边形为例说明理由．5.当边数为n时，猜想相应的结论是什么？请借助n边形的图形，验证这个猜想．”通过老师的引导，学生在课堂上解决一个又一个问题，攀登一个又一个高峰，完成对多边形内角和公式的探索学习．
本节课在进行教学设计时，把整个教学过程，分为五个教学活动，就像五扇大门，由教师引导着学生一一打开，把学生逐步带入特定的研究情境中，五个活动之间形成内在联系，通过问题的设置，使学生积极思考，通过操作、观察、猜想、思考、归纳等一系列的数学活动，一步一步走向学习的目标，最终学生通过自己的探索与发现，归纳出本节课的核心知识，完成学习任务．教师只是为学生的思维发展搭起“脚手架”，因此，在本节课中学生在掌握知识的同时，思维能力会得到进一步的发展．