必修四第一章三角函数复习与小结(1).doc

年 级
高一
学 科
数学
版 本
苏教版
课程标题
必修四 第一章 三角函数复习与小结
编稿老师
王东
一校
林卉
二校
黄楠
审核
王百玲

一、考点突破
1. 三角函数的概念
三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。
2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。
3. 三角函数的图象与性质
三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。
4. 三角函数的应用
主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。
三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。
本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

二、重难点提示
重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与正弦函数y＝sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。
难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

一、 知识脉络图：

二、知识点拨：
1. 与的周期是。
2. 或（）的周期为。
3. 的周期为2。
4. 的对称轴方程是（），对称中心为（）；
的对称轴方程是（），对称中心为（）；
的对称中心为（）。
5. 当·时，；
当时，
6. 函数在上为增函数。（×）
[只能在某个单调区间上单调递增。若在整个定义域上，则为增函数的说法同样也是错误的。]
7. 不是周期函数；为周期函数（）；
Y=cos|x|是周期函数（如图）；y=|cosx|为周期函数（）；

随堂练习：函数f（x）=sinx•（cosx-sinx）的最小正周期是（　　）
A. 　　B. 　C. π D. 2π
解：∵f（x）=sinx•（cosx-sinx）=sinxcosx-sin2x
=（sin2x+cos2x）-=sin（2x+）－
∴T=π
故选C．

知识点一：三角函数的概念
例题1 设角α属于第二象限，|cos|＝－cos，试判断角属于第几象限？
思路导航：首先应根据α所属象限确定出所属的象限，然后再由－cos≥0，
cos≤0确定最终答案，要点就是分类讨论。
答案：因为α属于第二象限，所以2kπ＋＜α＜2kπ＋π（k∈Z），
∴kπ＋＜＜kπ＋（k∈Z）。
当k＝2n（n∈Z）时，
2nπ＋＜＜2nπ＋ （n∈Z）。
∴是第一象限角；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，
2nπ＋＜＜2nπ＋ （n∈Z）。
∴是第三象限角。
又由|cos|＝－cos≥0cos≤0。
所以应为第二、三象限角或终边落在x轴的负半轴上。综上所述，是第三象限的角。
点评：由α所在象限，判断诸如，，等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定，，所属的象限；另一种办法就是将k进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式
例题2 （1）已知π＜α＜2π，cos（α－7π）＝，求sin（3π＋α）与tan（α－）的值；
（2）已知2＋sinAcosA＝5cos2A，求tanA的值；
（3）已知sinα＋cosα＝，且α∈（0，π），求sin3α－cos3α的值。
答案：（1）∵cos（α－7π）＝－cosα＝，
∴cosα＝。
又π＜α＜2π，
∴＜α＜2π，sinα＝－，
sin（3π＋α）＝－sinα＝，tan（α－）＝
（2）将已知式化为2sin2A＋2cos2A＋sinA·cosA＝5cos2A，
∵cosA≠0，
∴2tan2A＋tanA－3＝0，tanA＝1或tanA＝－。
（3）sinαcosα＝＝，
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα－cosα＞0，
∴sinα－cosα＝，
∴sin3α－cos3α＝×（1）＝。
点评：形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα、cosα的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。

知识点三：三角函数的图象与性质
例题3 对于函数f（x）＝2sin（2x＋），给出下列结论：
①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x＝成轴对称；③图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位得到；④图象向左平移个单位，即得到函数y＝2cos2x的图象。其中正确结论的个数为（ ）个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
思路导航：∵f（x）是非奇非偶函数，∴①错误。
∵f（x）是由y＝2sin2x向左平移个单位得到的，
∴③错误。
把x＝代入f（x）中使函数取得最值，
∴②正确。
f（x）＝2sin（2x＋）f（x）＝2sin［2（x＋）＋］＝2cos2x，
∴④正确。
答案：C
点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。在用排除法时，要注意函数性质的应用。

例题4 设函数f（x）＝sin3x＋|sin3x|，则f（x）为（ ）
A. 周期函数，最小正周期为 B. 周期函数，最小正周期为
C. 周期函数，最小正周期为2π D. 非周期函数
思路导航：本身可以直接把选项代入检验，也可化简。
答案：f（x）＝sin3x＋|sin3x|
＝
∴B正确。
答案：B
点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。后者更简捷。

知识点四：三角函数的应用
例题5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角是θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ－cos2θ的值等于 （ ）

A. 1 B. C. D. －
思路导航：由题意，设大正方形边长AB＝1，小正方形的边长是，则BE＝sinθ，AE＝cosθ，
∴cosθ－sinθ＝。
平方得2cosθsinθ＝。
∴（cosθ＋sinθ）2＝1＋2cosθsinθ＝。
∴cosθ＋sinθ＝。
∴sin2θ－cos2θ＝（sinθ－cosθ）（sinθ＋cosθ）
＝。
答案：D
点评：三角函数的应用非常广泛。将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。

例题6 函数y＝的定义域是_______________。
思路导航：由题意知，
作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z }。

答案：{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z }
点评：解三角不等式基本上有两种方法：①利用三角函数线。②利用三角函数图象。

例题7 求函数f（x）＝的最大、最小值。
思路导航：利用三角函数中和与的关系，转化成同一个量的关系式。
答案：设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝，t∈［－，］，且t≠－1，则y＝，t∈［－，］。
∴当t＝，即x＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）的最大值为；
当t＝－，即x＝2kπ－（k∈Z）时，f（x）的最小值为。
点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。

例题（全国大纲理5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（　　）
A. B. C. D.
思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍。
解答过程：由题意将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍，得，解得，又，令，得。
答案：C
规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象重合。

在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。
例题 （临沂统考） 作函数y＝cotxsinx的图象。
思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。函数y＝cotxsinx的图象即是y＝cosx（x≠kπ，k∈Z）的图象，因此应作出y＝cosx的图象，但要把x＝kπ，k∈Z的这些点去掉。
答案：当sinx≠0，即x≠kπ（k∈Z）时，有y＝cotxsinx＝cosx，即y＝cosx（x≠kπ，k∈Z）。其图象如图，

学习本章应该先复习角的概念，了解角度制的内容。在学习本章时应该注意任意角、弧度制、任意角的三角函数的区别和联系，这是我们学习其他知识的基础。学习过程中，对需要证明的内容要自己亲手证明，加强对公式的理解和记忆。对函数图象的作图过程要抓住关键，充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。对三角函数式的化简求值要多加强练习，注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。

必修四 第二章 第1－2节向量的概念及表示；向量的线性运算
一、预习导学
1. 向量的概念： 。表示法 。
2. 平行向量的概念： 、相等向量的概念： 。
3. 已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
A. 、、、 B. 、、、
C. 、、、 D. 、、、

4. 向量的加法法则： 。
5. 数的运算：减法是加法的逆运算， 。
6. 向量的加法运算： 、向量共线定理： 。
7. 平面向量基本定理： 。

二、问题思考
1. 如何用数学符号和有向线段表示向量？
2. 向量加法的平行四边形法则和三角形法则如何？
3. 如何结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量？
4. 理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知角α的终边经过点P（－4m，3m）（m≠0），则2sinα＋cosα的值是（ ）
A. 1或－1 B. 或－
C. 1或－ D. －1或
3. 已知f（cosx）＝cos3x，则f（sinx）等于（ ）
A. －sin3x B. －cos3x
C. cos3x D. sin3x
4. （天津）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（ ）
A. 若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ
B. 若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβ
C. 若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβ
D. 若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ
5. 要得到函数的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6. 已知α是某三角形的一个内角且sin（π－α）－cos（π＋α）＝，则此三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
7. 若|sinθ|＝，＜θ＜5π，则tanθ等于（ ）
A. B. －
C. D.
8. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 函数y＝tg（）在一个周期内的图象是（ ）
A. B.
C. D.
10. （上海）函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
11. （福建）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x＋2），当x∈[3，5]时，f（x）＝2－|x－4|，则（ ）
A. f（sin）＜f（cos） B. f（sin1）＞f（cos1）
C. f（cos）＜f（sin） D. f（cos2）＞f（sin2）
12. 如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面的距离y（m）与时间x（t）满足函数关系式y＝Asin（ωx＋φ）＋2，则（ ）

A. ω＝，A＝5 B. ω＝，A＝5
C. ω＝，A＝3 D. ω＝，A＝3

二、填空题
13. 若扇形的周长是16cm，圆心角是2弧度，则扇形的面积是 ______________。
14. 函数的值域是______________。
15. 已知tanθ＝2，则＝ 。
16. 已知，则＝ 。
17. 不等式的解集是 。
18. 函数的单调减区间是 。
19. 函数f（x）是周期为π的偶函数，且当时，，则的值是 。
20. 设函数f（x）＝3sin（2x＋），给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线x＝成轴对称；③它的图象关于点（，0）成中心对称；④它在区间[－
，]上是增函数。其中正确命题的序号是 。

三、解答题
21. 如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线拟合正弦型曲线：

（1）求这段时间的最大温度差；
（2）写出这段曲线的函数表达式。
22. 设函数
（1）若，求的值，使函数为偶数；
（2）在（1）成立的条件下，求满足且的x的集合。
23. （1）已知求的值；
（2）已知的值。
24. 已知函数的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为和
（1）求函数的解析式；
（2）若，且，求的值。
25. 已知函数的图象过A（0，1）及B两点，对，恒有。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当实数a取（1）中范围的最大整数时，若存在实数m、n、使得式子成立，试求m、n、的值。

一、选择题
1. C 解析：当k取偶数时，比如k＝0时，＋≤α≤＋，故角的终边在第一象限。
当k取奇数时，比如k＝1时，＋≤α≤＋，故角的终边在第三象限。
综上，角的终边在第一或第三象限，故选C。
2. B 解析：，
当m＞0时，，；
当m＜0时，，。故选B。
3. A 解析：（法一）令t＝cosx，由三倍角公式求出f（t）＝4t3－3t，换元可得 f（sinx）的解析式。（法二）把sinx 用cos（－x）来表示，利用已知的条件f（cosx）＝cos3x得出f（sinx）的解析式。
解答过程：（法一）令t＝cosx，
∵cos3x＝4cos3x－3cosx，f（cosx）＝cos3x＝4cos3x－3cosx，
∴f（t）＝4t3－3t，
∴f（sinx）＝4sin3x－3sinx＝－sin3x，故选A。
（法二）∵f（cosx）＝cos3x，
∴f（sinx）＝f [cos（－x）]＝cos3（－x）
＝cos（－3x）＝－sin3x，故选A。
4. D 解析：若α、β同属于第一象限，则，cosα＜cosβ；故A错。
若α、β同属于第二象限，则，tanα＜tanβ；故B错。
若α、β同属于第三象限，则，cosα＜cosβ；故C错。
若α、β同属于第四象限，则，tanα＞tanβ。（均假定0≤α，β≤2π。）故D正确。
5. D
6. C 解析：∵sin（π－α）－cos（π＋α）＝，∴ sinα＋cosα＝
∴（sinα＋cosα）2＝，∴2sinαcosα＝－，
∵α是三角形的一个内角，∴sinα＞0，cosα＜0，
∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形。
7. C 解析：∵|sinθ|＝，＜θ＜5π，
∴sin，
cosθ＝－＝－，
∴tanθ＝＝＝－。
8. D 解析：将代入可得y＝≠±1，排除A；
将代入可得≠π，排除B；
将代入，可得y＝≠±1，排除C。故选D。
9. A 解析：令tg（）＝0，解得x＝kπ＋，可知函数y＝tg（）与x轴的一个交点不是，排除C，D
∵y＝tg（）的周期T＝＝2π，故排除B。故选A。
10. C 解析：由题意可知：，
当0≤x≤π时，∵y＝x＋sinx，∴y′＝1＋cosx≥0，又y＝cosx在[0，π]上为减函数，所以函数y＝x＋sinx在[0，π]上为增函数且增速越来越小；
当－π≤x＜0时，∵y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx≥0，又y＝cosx在[－π，0）上为增函数，所以函数y＝x－sinx在[0，π]上为增函数且增速越来越小；
又函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]恒过（－π，－π）和（π，π）两点，所以C选项对应的图象符合。
11. D 解析：由f（x）＝f（x＋2）知T＝2，
又∵x∈[3，5]时，f（x）＝2－|x－4|，
可知当3≤x≤4时，f（x）＝－2＋x。
当4＜x≤5时，f（x）＝6－x。其图如下，

故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
又由|cos2|＜|sin2|，
∴f（cos2）＞f（sin2）。故选D。
12. D 解析：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω＝
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A＝3，故选D。

二、填空题
13. 16cm2 解析：设扇形半径为r，面积为S，圆心角是α，则α＝2，弧长为αr，
则周长16＝2r＋α r＝2r＋2r＝4r，∴r＝4，
扇形的面积为：S＝α r2＝×2×16＝16 （cm2），故答案为16 cm2。
14.
解答：解：由题意知本题需要对角所在的象限进行讨论，以确定符号。
当角x在第一象限时，y＝1＋1＋1＝3，
当角x在第二象限时，y＝1－1－1＝－1，
当角x在第三象限时，y＝－1－1＋1＝－1，
当角x在第四象限时，y＝－1＋1－1＝－1。
15. 解析：∵tanθ＝2，
∴
＝
＝
＝
＝。
16. 解析：∵，
∴
＝
＝＋
＝
＝
17.
解析：不等式 即 tanx≥－，又 kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
∴
18.
解析：函数的定义域为
令t＝，则
∵为减函数，
t＝在上为增函数；
故函数的单调减区间是
19. 2 解析：∵函数f（x）是周期为π的偶函数，
∴＝f（）＝f（－）＝，
∵当时，，
∴＝＝2。
20. ①②③④ 解析：①根据周期公式＝π，故①正确；
②∵函数在对称轴处取得函数的最值，
f（）＝，故②正确；
③根据函数的对称性可得，⇒，当k＝1时，故③正确；
④令可得，即函数在上是增函数，故④正确。

三、解答题
21. 解：（1）最大温度差为30－10＝20℃
（2）A＝10，k＝20，，T＝16，
，
这段曲线的函数表达式为
22. 解：（1），且函数是偶函数，
对，即（对恒成立），
（2）当时，，，且的x的集合是

23. 解：（1）原式＝

（2）（i）若在第一、四象限，，；（ii）若在第二、三象限，，
24. 解：（1）
（2），且，，
，
25. 解：（1），当时，，且恒有，或 解之得
（2）当a＝8时，存在，使成立。

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