两角和与差的公式.doc

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(S(α＋β))
tan(α－β)＝　(T(α－β))
tan(α＋β)＝　(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　)
(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(，π)，则tan 2α＝.(　√　)

1．(2013·浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　∵sin α＋2cos α＝，
∴sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝.
化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝＝－.故选C.
2．若＝，则tan 2α等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，
则tan 2α＝＝.
3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
答案　－
解析　∵tan＝，∴tan θ＝－，
即且θ为第二象限角，
解得sin θ＝，cos θ＝－.
∴sin θ＋cos θ＝－.
4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
答案　1
解析　∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
∴f(x)的最大值为1.

题型一　三角函数公式的基本应用
例1　(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，
cos(－)＝，则cos(α＋)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由根与系数的关系可知
tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
故选A.
(2)cos(α＋)
＝cos[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)．
∵0<α<，
则<＋α<，
∴sin(＋α)＝.
又－<β<0，
则<－<，
则sin(－)＝.
故cos(α＋)＝×＋×＝.故选C.
思维升华　三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．
　(1)若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则sin α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
(2)计算：－sin 10°(－tan 5°)＝________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)∵tan(α＋)＝＝，
∴tan α＝－＝，
∴cos α＝－sin α.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝.
又∵α∈(，π)，∴sin α＝.
(2)原式＝－sin 10°·
＝－
＝
＝
＝
＝.
题型二　三角函数公式的灵活应用
例2　(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)化简：＝________.
(3)求值：＝________.
答案　(1)B　(2)cos 2x　(3)
解析　(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝.故选B.
(2)原式＝
＝＝
＝＝cos 2x.
(3)原式＝＝
＝tan(45°＋15°)＝.
思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．
　(1)已知α∈(0，π)，化简：＝________.
(2)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tantan的值为________．
答案　(1)cos α　(2)
解析　(1)原式＝.
因为α∈(0，π)，所以cos>0，
所以原式＝
＝(cos＋sin)·(cos－sin)＝cos2－sin2＝cos α.
(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝，
所以tan ＋tan ＋tan tan
＝tan＋tan tan
＝＋tan tan ＝.
题型三　三角函数公式运用中角的变换
例3　(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝________，cos β＝________.
(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)－　　(2)A
解析　(1)∵α，β∈(0，)，从而－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，
∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×(－)＝.
(2)因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝，选A.
思维升华　1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．
　(1)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)
A. B.
C.或 D.或
(2)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是________．
答案　(1)A　(2)－
解析　(1)依题意得sin α＝＝，
cos(α＋β)＝±＝±.
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．
因为>>－，
所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)∵cos(α－)＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，
(cos α＋sin α)＝，
sin(＋α)＝，
∴sin(＋α)＝，
∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.

高考中的三角函数求值、化简问题
典例：(1)若tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则＝________.
(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
(4)(2012·重庆)等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
思维点拨　(1)注意和差公式的逆用及变形．
(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系．
(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系．
(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．
解析　(1)原式＝＝，
又tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝.
∵π<2θ<2π，∴<θ<π.∴tan θ＝－，
故原式＝＝3＋2.
(2)由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．
∵α∈(0，)，β∈(0，)，
∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，
∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
(3)方法一　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.
又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝>0，
∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，
∴2α为第三象限角，
∴cos 2α＝－＝－.
方法二　由sin α＋cos α＝两边平方得1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝
＝＝.
由得
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(4)原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
答案　(1)3＋2　(2)B　(3)A　(4)C
温馨提醒　(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．

方法与技巧
1．巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sin α＝2，
1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
失误与防范
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．
3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.

A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为α＋＋β－＝α＋β，
所以α＋＝(α＋β)－，所以
tan＝tan
＝＝.
2．若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得
(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝()2，
又θ∈[，]，∴sin θ＋cos θ＝.
同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.
3．已知tan α＝4，则的值为(　　)
A．4 B.
C．4 D.
答案　B
解析　＝，
∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos2α得＝.
4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于(　　)
A. B. C. D．2－1
答案　C
解析　4cos 50°－tan 40°＝
＝＝
＝＝＝.
5．已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)的值是(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
答案　C
解析　cos x＋cos(x－)＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)＝cos(x－)＝－1.
6． ＝________.
答案　
解析　＝
＝＝＝.
7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
答案　1
解析　根据已知条件：
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.
又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，
∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.
8.＝________.
答案　－4
解析　原式＝
＝
＝＝
＝＝－4.
9．已知 － ＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．
解　因为 －
＝ －
＝－
＝
＝，
所以＝－2tan α＝－.
所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.
故α的取值集合为{α|α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}．
10．已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解　(1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－π<－β<－，故－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D.
答案　A
解析　由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－.
又－<α<0，所以sin α＝－.
故＝＝2sin α
＝－.
12．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵α∈，且sin2α＋cos 2α＝，
∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝，
∴cos α＝或－(舍去)，
∴α＝，∴tan α＝.
13．若tan θ＝，θ∈(0，)，则sin(2θ＋)＝________.
答案　
解析　因为sin 2θ＝＝＝，
又由θ∈(0，)，得2θ∈(0，)，
所以cos 2θ＝＝，
所以sin(2θ＋)
＝sin 2θcos＋cos 2θsin＝×＋×＝.
14．已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
(1)解　∵f(x)＝sin＋cos
＝sin＋sin＝2sin，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)证明　由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－，
两式相加得2cos βcos α＝0，
∵0<α<β≤，∴β＝，
∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
15．已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)．
(1)若tan α＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．
解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin·
cos
＝＋sin 2x＋sin
＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x
＝(sin 2x＋cos 2x)＋.
由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝.
cos 2α＝＝＝－.
所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋
＝sin＋.
由x∈，得≤2x＋≤.
所以－≤sin≤1,0≤f(x)≤，
所以f(x)的取值范围是.