2018年八年级上 数学《第一章》检测卷和答案.doc

第一章检测卷
时间：120分钟　　　　　满分：120分
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项)
1．下列各组数，能构成直角三角形的是(　　)
A．4，5，6 B．12，16，20
C．5，10，13 D．8，39，40
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.5cm，AC＝1.5cm，则AB的长为(　　)
A．3.5cm B．2cm C．3cm D．4cm

3．如图，有一块边长为24米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是(　　)
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米

4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积为(　　)
A．96 B．120 C．160 D．200
5．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为(　　)
A．12cm B.cm C.cm D.cm

6．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，……，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，则AB＝________．
8．如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚2.4m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________m.

9．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADB的度数是________．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝__________．

11．如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________．

12．在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为________．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求：
(1)AO，FO的长；
(2)图中半圆的面积．

14．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多远？

15．已知一个直角三角形的周长是12cm，两直角边长的和为7cm，则此三角形的面积是多少？

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16cm，正方形BCEF的面积为144cm2，BD⊥AC于点D，求BD的长．

17．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：
(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)在图②中画出一个面积为10的正方形．

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B.已知AD＝15km，BC＝10km，现要在铁路AB旁建一个货运站E(A，E，B在同一条直线上)，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多少千米处？

19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°，连接AC.
(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

20．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．
(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；
(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．

22．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．

(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；
(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；
(3)图乙中①②面积之和为__________；
(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

六、(本大题共12分)
23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2＋b2＞c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2，∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.所以小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC边上的高)；
(2)证明你猜想的结论是否正确．

参考答案与解析
1．B　2.B　3.D　4.A　5.C
6．B　解析：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16……第n个正方形的面积是，∴正方形⑤的面积是＝4.故选B.
7．15　8.3.2　9.90°　10.4　11.3cm≤h≤4cm
12．32或42　解析：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，∴AD2＝AC2－CD2，即AD＝9，BD2＝BC2－CD2，即BD＝5.如图①，CD在△ABC内部时，AB＝AD＋BD＝9＋5＝14，此时，△ABC的周长为14＋13＋15＝42；如图②，CD在△ABC外部时，AB＝AD－BD＝9－5＝4，此时，△ABC的周长为4＋13＋15＝32.综上所述，△ABC的周长为32或42.

13．解：(1)∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，∴AO2＝BO2＋AB2＝25，∴AO＝5cm.(1分)在Rt△AFO中，由勾股定理得FO2＝AO2＋AF2＝132，∴FO＝13cm.(3分)
(2)图中半圆的面积为π×＝π×＝(cm2)．(6分)

14．解：作出图形，因为东北和东南方向的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．(2分)在Rt△ABC中，AC＝16×0.5＝8(km)，BC＝30×0.5＝15(km)，则AB2＝AC2＋BC2＝172，解得AB＝17km.(5分)
答：它们离开港口半小时后相距17km.(6分)
15．解：设两条直角边长分别为acm，bcm，斜边长为ccm.由题意可知a＋b＋c＝12①，a＋b＝7②，a2＋b2＝c2③，(2分)∴c＝12－(a＋b)＝5，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝49，2ab＝49－25＝24，∴ab＝12，(4分)∴S＝ab＝×12＝6(cm2)．(6分)
16．解：∵正方形BCEF的面积为144cm2，∴BC＝12cm.∵∠ABC＝90°，AB＝16cm，∴AC＝20cm.(3分)∵BD⊥AC，∴S△ABC＝AB·BC＝BD·AC，∴BD＝cm.(6分)
17．解：(1)如图①，连接AC，由勾股定理，得AB2＝32＋22＝13，BC2＝42＋62＝52，AC2＝12＋82＝65，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.(3分)

(2)∵面积为10的正方形可以表示为32＋12＝10，∴四边形ABCD即为所求，如图②所示．(6分)
18．解：设AE＝xkm，则BE＝(25－x)km.(2分)根据题意列方程，得152＋x2＝(25－x)2＋102，解得x＝10.(7分)故E站应建立在离A地10km处．(8分)
19．解：(1)在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2＋CB2＝AC2，∴AC＝5m.(2分)在△ACD中，AC＝5m，CD＝12m，DA＝13m，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.(4分)
(2)∵S△ABC＝×3×4＝6(m2)，S△ACD＝×5×12＝30(m2)，∴S四边形ABCD＝6＋30＝36(m2)，(6分)费用为36×100＝3600(元)．故铺满这块空地共需花费3600元．(8分)
20．解：(1)如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC于点Q，连接AQ，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．(5分)

(2)∵在Rt△A′EG中，A′E＝2AB－AE＝80cm，EG＝60cm，∴由勾股定理得A′G＝100cm，(7分)∴最短路线长为AQ＋QG＝A′Q＋QG＝100cm.(8分)
21．解：(1)∵在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64，∴BC＝8cm.(2分)
(2)由题意知BP＝2tcm，分两种情况进行讨论：①当∠APB为直角时，点P与点C重合，如图①，BP＝BC＝8cm，即t＝4；(4分)②当∠BAP为直角时，如图②，BP＝2tcm，CP＝(2t－8)cm，AC＝6cm.在Rt△ACP中，AP2＝62＋(2t－8)2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，(6分)∴102＋[62＋(2t－8)2]＝(2t)2，解得t＝.故当△ABP为直角三角形时，t＝4或.(9分)

22．解：(1)a　b　c　c(2分)
(2)a2　b2　c2(4分)
(3)a2＋b2(5分)
(4)由图乙和图丙可知大正方形的边长为a＋b，则面积为(a＋b)2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a、宽为b的长方形，(7分)根据面积相等得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，由图丙可得(a＋b)2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.(9分)
23．(1)解：当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.(3分)
(2)证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.(5分)设CD＝x.在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a＋x)2，∴a2＋b2＝c2－2ax.(8分)∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＜c2，∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.(12分)