高一数学指数函数及对数函数.doc

高一数学
第二章　函数2：指数函数与对数函数
●知识网络

●范题精讲
一、指数及对数运算
【例1】 （1）已知=3，求的值；
（2）已知lg（x+y）+lg（2x+3y）－lg3 = lg4 + lgx + lgy，求的值。
（1）分析：由分数指数幂运算性质可求得和x2+x－2的值。
解：∵=3，
∴
=33－3×3=18。
x2+x－2=（x+x－1）2－2=［（－2］2－2=（32－2）2－2=47。
∴原式=。
（2）分析：注意x、y的取值范围，去掉对数符号，找到x、y的关系式。
解：由题意可得x>0，y>0，由对数运算法则得
lg（x+y）（2x+3y）=lg（12xy），
则（x+y）（2x+3y）=12xy。
（2x－y）（x－3y）=0，
即2x=y或x=3y。
故或=3。
评注：条件代数式的求值问题包括以下三个方面：（1）若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手用上条件;（2）若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式;（3）若条件与结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止。
对于齐次方程的化简，也可在方程两边同除以某一齐次项，把方程转化成要求的代数式为未知数的方程的形式。
二、指数函数、对数函数的性质应用
【例2】 已知函数y= （a2x）·loga2（）（2≤x≤4）的最大值为0，最小值为－，求a的值。
解：y= （a2x）·loga2（）
=－loga（a2x）［－loga（ax）］
=（2+logax）（1+logax）
=（logax+）2－，
∵2≤x≤4且－≤y≤0，∴logax+=0，即x=时，ymin=－。
∵x≥2>1，∴>10<a<1。
又∵y的最大值为0时，logax+2=0或logax+1=0，
即x=或x=.∴=4或=2。
又∵0<a<1，∴a=。
评注：（1）若不注意发现隐含条件"0<a<1"则会造成不必要的分类讨论。
（2）在最值问题中以二次函数为内容的最值最常见，而且许多表面上非二次函数最值问题通过适当变形都可以转化为二次函数最值。
三、指数函数、对数函数图象的应用
【例3】 已知a＞0，且a≠1，函数y=ax与y=loga（－x）的图象只能是下图中的

解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，y=loga（－x）只可能在左半平面上，从而排除A、C。
其次，从单调性着眼，y=ax与y=loga（－x）的增减性正好相反，又可排除D。
∴应选B。
解法二：若0＜a＜1，则曲线y=ax下降且过点（0，1），而曲线y=loga（－x）上升且过（－1，0），以上图象均不符合这些条件。
若a＞1，则曲线y=ax上升且过点（0，1），而曲线y=loga（－x）下降且过（－1，0），只有B满足条件。
解法三：如果注意到y=loga（－x）的图象关于y轴的对称图象为y=logax，又y=logax与y=ax互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选定B。
评注：要养成从多角度分析问题，解决问题的习惯，培养思维的灵活性。
四、函数应用举例
【例4】 某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后纯收益为y万元。
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围;
（2）当140<a≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益.（注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁）
解：（1）由题意可得
y=（a－x）（1+0.01x）－0.4x=－x2+（－）x+a。
∵a－x≥ax≤，
即x的取值范围是（0， ]中的自然数。
（2）∵y=－［x－（－70）］2+ （－70）2+a
且140<a≤280，∴－70∈（0，]。
∴当a为偶数时，x=－70，y取最大值;
当a为奇数时，x=－70或x=－70。
∵尽可能少裁人，∴x=－70。
评注：应用题的解题过程：