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“所有的判断都是统计学”
——“统计与概率”备课与教学难点解析
北京 华应龙 施银燕

当今世界上最伟大的统计学家之一C.R.劳先生在他的统计学哲理论著《统计与真理——怎样运用偶然性》中指出：“在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”诚哉斯言，我们关于新课程小学数学统计与概率教学的判断，就是建立在我们的统计基础之上——阅读的统计、实践的统计、思考的统计。
一、统计与概率，小学数学的三分之一？
原来我国小学数学教材中只有统计而没有概率，并且只占很小篇幅，可以说都属于古典统计学范畴。一方面，可能与我国传统文化重整合轻分析，重人伦轻自然，重义轻利，重道轻器有关；另一方面，在计划经济时期人们遇到的更多的是确定的对象，没有感受到统计与概率的必需。
而在《标准》中，“统计与概率”与历来数学教学中重量级内容“数与代数”、“空间与图”三分天下（实践与综合应用并不是独立的教学内容），受到了前所未有的重视。
首先，在以信息和技术为基础的社会里，人们面临着更多的机会和选择，而数据则日益成为一种重要的信息。“生活已经无于数学课程将统计推到了学生的面前”，报刊中大数、百分数、图形图表出现的比例越来越高便是明证。图表本是统计的一部分，自不必说。许多大数、百分数本身也是统计或推断的结果，可以说他们的背后还是统计与概率。
学会处理各种信息尤其是数字信息，具有收集、整理与分析信息的能力已经成为数字社会公民基本素养的一部分，如威尔斯所预见的那样：“就像读和写的能力一样，将来有一天统计的思维方法会成为效率公民的必备能力。”统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法，已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。在小学进行统计与概率的教学，可以让学生逐步形成统计观念，形成尊重事实、用数据说话的科学态度。
其次，在学习统计与概率的过程中会涉及解决问题、计算、推理以及整数、小数、分数、百分数、图形等许多数学知识。实际上学统计与概率的同时又复习、运用了过去的旧知识，发展了学生解决问题的能力。
最后，以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法，它有别于讲究因果关系的逻辑思维。数学家阿蒂亚曾经说过：“代数是有序的逻辑，几何是看得见的逻辑，概率是无序的逻辑。”不少研究表明，如果学生缺乏对随机现代的体验，往往很难建立这一观念。所以有必要在学生系统地进行理论知识的学习之前，在小学里积累丰富的对随机现象的经验。
二、是“统计与概率”，还是“统计＋概率”？
尽管小学数学把统计与概率放在了一起，但是我们往往还是认为二者不太沾边：小学教材中关于这部分的内容，我们都能清晰地把它归为统计或归为概率。的确，在统计学的诞生之初，与概率无甚关联。
统计学是“关于收集和分析数据的科学和艺术”（《大不列颠百科全书》），是一门“对数据进行收集、分类、分析和解释的科学”（《兰登书屋大辞典》）。两部国际权威辞典对统计学的看法有相似之处，那就是强调数据，强调对数据的收集、整理、分析及解释。
统计学最初来源于国情普查。国家管理中需要收集和分析各种数据，比如对人口、土地、国民收入、各种税收的统计等。
14世纪左右，随着航海业在欧洲兴起，航海保险业开始出现。为了合理地确定保险金与赔偿金，需要了解不同季节、不同航海路线出现事故的可能性的大小，需要收集相关的数据，根据数据进行分析和判断。渐渐人们发现，统计资料中的各种数据大多是偶然现象的反映。于是到了19世纪末20世纪初，概率论的有关知识被引入统计学，构建了现代统计学。与古典统计学相比，二者都是对于数据的收集和分析，但内涵有了显著的变化：本质的区别是后者进行分析的基础是“不确定性”，即“随机”。
至于概率论，大家都知道它的“出生”就和赌博有关。但概率论的真正出现源于17世纪一次未完成的赌博，双方为最终赌金的分配争执不休，于是写信向当时法国最具权威的数学家帕斯卡请教，这个问题随后吸引了包括帕斯卡、费马、惠更斯等众多数学家的思考和讨论，讨论的结果，惠更斯把它写成一本书《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。由此一个崭新的数学分支——概率论登上了历史舞台。后来概率在社会学、生物学、物理学和化学等许多领域发挥着十分重要的作用。
概率论是分析随机现象的一个数学分支。概率是表示特殊结果在单个场合出现的可能性的数（《大不列颠百科全书》国际中文版）。概率论是数学、统计学术语，是分析、说明有关有确定现象发生可能性的学科（《兰登书屋大辞典》）。
统计与概率是密不可分的。一方面，概率论是现代统计学的根据：因为统计总是需要通过对样本的统计来推断全体，总要受到实际生活中不确定因素的影响，因此必须加入受不确定因素影响做出错误判断的概率；另一方面，通过频率研究概率需要多次的重复实验，需要收集、整理、分析实验数据，所以概率也离不开统计。已故中科院院士、中国统计学会副会长陈希孺先生指出：“统计学是有关收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。分析着重在数量化，而随机性的数量化，是通过概率表现出来，由此可以看出统计学与概率论的密切关系……大体上说，二者的关系是：概率论是统计学的理论和方法的依据，而统计学可视为概率论的一种应用。”
小学生学习统计与概率的过程，与统计与概率的历史发展是一致的。一开始，统计的对象更多的是确定性的（或者说学习内容是与概率没多大关系的古典统计学），例如，北师大版教材第一册“统计”中，统计的对象是全班每个同学最喜欢吃的水果，它们在数量上是确定的。利用统计对象的确定性教学统计表，不仅充分考虑了一年级学生的学习能力，而且有利于学生更好地学习简单统计表。
随着学习的深入，统计对象更多地具有随机性。例如，“估计你们班所有同学的家庭一个月内共丢弃多少个塑料袋？通过实际调查验证你的估计。”在该统计活动中，统计对象塑料袋的总数非常大，统计起来既浪费时间，又浪费人力和物力。此时，就可以渗透抽样统计的方法，帮助学生自己选择统计对象。这里，统计对象可以是全班同学家庭的某些天丢弃塑料袋的个数，或部分同学家庭的某个月丢弃塑料袋的个数。
随着学生相关知识的增多，统计与概率越来越密不可分。例如，《标准》第29页例7，“调查两支球队以往比赛的胜负情况，预测下场比赛谁获胜的可能性大，并说明自己的理由。”这样的教学是建立在随机现象的基础上的，要求学生能够用统计的方法收集有关两队以往比赛胜负的资料，进行有效的整理分析，推断下场比赛的胜负。
三、统计=计算＋制图制表？
在计算机尚未普及的年代，统计被演绎成繁杂的计算和枯燥的制图制表。在信息技术日益发达的今天，计算、画图等工作不应该再占据学生过多的时间，事实是它们也远非统计教学的核心。小学统计教学的核心目标是发展学生的统计观念。统计观念体现在以下几个方面：认识到统计的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集、描述、分析数据的过程，作出决策；能对数据的来源、收集和描述的方法、分析的结论进行合理的质疑。我们以为：对于小学教师而言，理解什么是“统计”，了解统计的发展历史，了解不同统计的作用，明确小学阶段的统计学是描述性统计等非常重要。
观念的形成需要人们亲身的经历。建立统计观念最好的办法是让学生经历完整的收集、整理、描述、分析的统计全过程，让学生明白为什么要做这些。常见的教学中，数据的“收集、整理、描述、分析”都是教师布置的“任务”，只要学生按照教师的要求去做即可，而没有问一问做这些的意义。
首先，关于收集数据。我们发现，教师往往把重点放在收集数据的具体细枝末节的方法上，比如：多样化的符号表达，画“正”字记录等等。当然，这些对初学统计的小学生而言不容忽视。但我们认为，首要的一个问题是应该收集什么样的数据？显然，是能够客观反映背景的“好”数据。这是决定统计成败的关键。获得“好”的数据，一是要尽可能多地利用对实际背景已有的经验。比如要预测某一天的天气情况，我们可以收集历史上相应的天气的数据。以下两种方法哪种更恰当呢？一、收集近三十年该日期的天气情况；二、收集近三十年来相似卫星云图的天气情况。根据我们的经验，“天气情况与卫星云图有很大的相关”，我们就会选择一者。二是采用简单的方法。简单的方法往往可以节省很多统计成本。这方面有一个很经典的统计案例：1997年香港回归，民心民意到底如何？只收集一项数据的调查（回归前后市民关于“你是哪里人”答案的比较）就很好地回答了这个问题。简单需要把握纷繁复杂的现象背后的本质，这一切依赖数学化。
其次，关于数据整理。统计图表的格式和绘制规则是必不可少的，但绝对不是整理数据的全部：计算机的广泛使用，让统计教学的重心转移，即数据整理后首先需要面对的是选择什么样的方式呈现？这就需要学生通过观察、比较、讨论等活动对各种统计图表的特点有一个明确的认识。
再次，关于数据描述。主要包括集中趋势的描述和离中趋势的描述两部分。小学阶段只涉及前者。集中趋势，就是指整体水平，一般用平均数来表示，有时也用众数、中位数等描述。这里，需要强调平均数的统计意义。首先，它是一组数据的代表数值，可以用来说明这组数据的整体水平或典型情况；其次，它可用来进行数据之间的比较。教学时要重视学生对平均数意义、特点的把握，注重对其统计含义的理解。学生往往因为对平均数和通常的“平均分”分辨不清，不理解平均数的假设性，误以为真正的移多补少。导致学生常常有这样的困惑：“平均每户3.1人，人数怎么会有小数呢？”“足球比赛比分是2：4，平均每队的进球数是3，两队是对抗性的，怎么可以平均呢？”
最后，关于数据分析。信息时代生活中充斥着各种数据，经过形象化处理得到的统计图表，给人们带来了很大的视觉冲击，所谓的“读图时代”便源于此。为了能在这个“读图时代”更好地生存，就必须能从大量的“图”中获取有用的信息，作出独立的分析，并理智地对待新闻媒介、广告等公布的数据，对数据的来源、收集方法、呈现方式、由此得出的结论进行合理的质疑。
下面摘录的是石雪纳老师教学“简单的数据整理和统计表”一课的片段，我们一起感受统计的全过程。
师：刚才大家交流了生活中的统计表。现在有这么一件事：小明的奶奶有一天来到学校，反映作业负担太重，说孩子前一天写作业整整用了90分钟。校长听后请奶奶先回去，并跟奶奶说，明天我会给您一个满意的答复。同学们，你要是校长，接下来你会做些什么呢？
生1：我要是校长，我会去问老师是否昨天留的作业太多了。
生2：你问了老师肯定说不多，我想应该让老师把昨天的作业做一遍，看看是不是要很长时间。
生3：那不行，你想啊，老师是大人，而小明是学生。大人知识那么多，做题肯定比小孩熟练，时间一定短呀。不能这样比！
生2：哎——，你说的对呀，那我们就找一个学生来做。
生4：那万一你找的这个学生也很慢呢？或者他是班里作业最快的学生，怎么比呀？
生2：那——，我们多找几个人不就行啦？
生4：这还差不多！
师：看来大家的最终意见是要把小明的作业时间和别的同学比较一下，对吗？我这里就有一张全班同学作业时间的记载表，来看看。

师：校长拿着这个表格就想了：这么多数，奶奶的眼睛不都看花了？需要整理一下。你觉得该以多长时间为一段进行统计呢？
生1：我看按照时间长短进行排列就能看出来全班作业时间的情况，不用分时间段。
师：这方法可以，但是为了奶奶看得更清楚，我们是不是可以分段来统计呢？
生2：对，我看30分钟一段就行。
生3：10分钟一段也行吧。
生4：15分钟一段也行！
师：大家说的都可以，一般在时间间隔比较短的时候我们采用15分或30分一段。
投影出示：

师：这张纸上有两个不同时间段的统计表，各组也有。一会儿小组选择其中一个进行统计就可以了。下面咱们小组比一比，看哪个组最先做好统计。
（小组合作完成表格）
师：哪个小组说说你们是怎么统计的？
生1：我们组选择的是第一个表格，大家分工合作，一个人负责统计15分以内和61分以上的，因为这两个时间段人比较少，少一个人负责就够了；一个人负责统计16～30分的；一个负责统计31～45分的；一个负责统计46～60分的。最后大家再汇总，填写到表格里。
生2：我们统计的结果是15分以内1人，16～30分有34人，31～45分有7人，46～60有2人，61分以上有1人。（师板书结果。）
生3：其他小组对我们的汇报有什么补充吗？
生4：我们小组也统计的是第一个表，结果和你们一样，方法不同，我们是按照原来表中的学号分工，每人负责统计12个学号的，然后再汇总。
生3：你们的方法也挺好的。其他组呢？
生5：我们组统计的是第二张表格，我们的方法是一个人读数据，另外3人每人统计一个时间段，最后的结果是30分以内有35人，31～60分有9人，61分以上有1人。（师在生说的同时板书出结果）
生3：因为你们选择的表只要3个人统计，所以你们分配另一个人来读表格数据，很合理。你们的分工很好。
生6：我有一个发现，其实虽然两张表格分的时间段不同，结果不同，但如果当两张表都统计正确时，第二张表的结果其实就是对第一张表的一次验证。第一张表前两个时间段人数的和应该是第二张表的第一个时间段人数；第一张表第三、四时间段的人数和应该是第二张表的第二个时间段人数；两张表的最后一个时间段人数是一样的。
师：你说的对，也就是按不同时间段统计会有不同结果，但不同结果之间也有内在联系，对吗？
生6：是这样。
师：刚才大家交流得太精彩了！那么现在你作为校长拿着这个统计结果要对奶奶说些什么呢？
生1（姓王）：我要对奶奶说，您看表格能看出来，您家孙子做作业的时间最长，60分以上就他一个，别人都在60分以下，说明是他自己可能边做边玩不用心，您应该教育他。
师：嗯，王校长是这么看的，其他校长呢？
生2：我会对奶奶说，您看表格就知道，全班那么多人都在30分之内做完作业，而您孙子时间最长，说明问题不在老师身上，在您孙子自己不会抓紧时间。
师：说的也有道理！那能否结合统计的具体数据来说服奶奶呢？
生3：我会这样对奶奶说，您看，15分（手指第一个表格统计结果）以内1人，人很少；16～30分有34人，这个时间段人最多；31～45分有7人，人数第二多，但比起16～30分人就少多了；46～60分有2人，61分以上的有1人，这些人数都不多。这个结果就说明老师留的作业是比较适合大多数学生的作业时间的，奶奶应该考虑是自己还应子的问题了。
……
师：大家刚才说的都挺有道理。可以，我倒觉得小明也许就是个好孩子呢？你们说有没有这种可能？
生：（有的学生皱起眉头，有的学生忽然兴奋起来，脱口而出）有可能的！
生1：有这种可能。也许小明是为了把字写得漂亮些，就慢了点。
生2：还有可能是他做题过程中发现了自己不会做的题，没问别人自己想，终于用了很长时间想出来了。这可是很认真的学习态度，还值得我们学习呢！
生3：还有可能小明特别善于思考，做完了一道题，又回头去想有没有其他解法，是个能一题多解的好孩子。
师：说得真好！看来我们不能只看到时间很长，关键是得看他在这段时间里干了些什么，对吧？
我们通过统计进行分析（板书：分析），能把事情处理得更好！你看，整理后的表格比原始数据更能说明问题吧？看来，统计的作用还真大呀！
关于统计，最基础的知识是比较、排列和分类。有研究表明，学生对活动对象的熟悉程度将影响到学生比较、排列和分类的进行。这节课石老师就为学生进行比较、排列和分类提供了亲切熟悉的统计对象，让学生经历了对学习生活中作业时间统计的全过程，在这个过程中，学生的统计分析显出了精彩。
重视统计过程的体验是课程标准中重要的指导思想，也是新标准与原大纲较大的区别所在。“小明奶奶”一题，让学生分时间段整理同学们的作业时间是教学的难点。时间段怎么划分，答案自是多样。教师让全班学生自主选择15分段或者30分段统计，学生从而体验统计结果在统一标准下的一致性，不同标准下的多样化。
数据统计的全过程有数据收集、数据整理、统计制表、分析数据、得出结论五个环节，其中分析数据是重要环节，也是课程标准强调的内容。在“小明奶奶”一题中，教师引导学生尝试分析“小明为什么做作业的时间那么长？”学生的分析是推己及人、丰富多彩的，并且符合孩子的心理。当教师提出另一视角，培养孩子辩证思维时，孩子分析也很有见地。设计这样的分析，我们认为是统计教学中必不可少的环节，是培养学生的数据意识的平台；通过数据分析后再下结论，也是理性精神培育的良好载体。
统计知识的教学不是一个个知识点的授受，也不是一种种技能的训练，重要的是一种意识、一种思想的滋润。所以说，统计并不是“计算＋制图制表”，建立统计观念是统计教学中最重要的。陈希孺先生说：“统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律，也承认存在例外的个案，二者看似矛盾，其实并行不悖，反映了世界的多样性和复杂性。如果世界上的一切都被铁板钉钉的规律所支配，那么我们的生活将变得何等的单调乏味。”
四、学生凭借经验就能判断，还需要做实验吗？
按照弗赖登塔尔的观点，教一个内容的最佳途径是联系学生的数学现实和生活现实，在将要传授的知识和学生已经在现实世界中积累的或是已经学过的知识之间建立起紧密的联系。概率进入小学还是首次，学生在没有接受正规“可能性”教学之前，他们是怎么看待、认识、理解可能性的？笔者对小学一、三、四年级202名学生作了一个小型的问卷调查。（篇幅有限，简单介绍结论。）
1，可能与一定。
没有受过学校教育的大部分6岁儿童（一年级）能区分可能事件、不可能事件和必然事件：87%的一年级学生对“从一个装有3个黄球、1个白球的盒子里摸出一个球”的选择回答是“可能是黄球”。而三四年级则有96%的学生选择了正确的答案。
“87%”和“96%”似乎说明了年龄的增长对学生对不确定现象的认识没有多少影响，但是同样回答“可能”，对可能事件的理解却可能有着天壤之别。
2，可能性的大小。
超过六成的6岁儿童能定性比较可能性的大小：64%的一年级学生面对上面这个情境选择了摸到黄球的可能性大。而三四年级对这一问题回答的正确率达到了97%。
在没有学习用分数表示可能性的大小之前，近一半的9-10岁儿童能对可能性的大小进行量化比较——“好消息！摸到※（笑脸）有大奖！你选择在哪个盒子里摸？”四个选项：①2个笑脸，4个哭脸；②20个笑脸，40个哭脸；③2个笑脸，2个哭脸；④10个笑脸，8个哭脸，8个没有表情的脸。47%的四年级学生正确选择了③。
学生确实在正确学习概率之前就已经具备一定的经验了，在面临简单的可能事件时凭经验就能判断，那还需要做实验吗？例如，盒内有9个白球、1个黄球，这些球除颜色外完全相同。让学生说出摸到哪种颜色球的可能性大？学生凭经验完全能判断出摸到白球的可能性大，还要进行实验吗？
第一，学生学习概率的一个重要目标是体会随机现实的特点，即：在相同的条件下重复同样的实验，其实验结果不确定，以至于在实验之前无法预料哪一个结果会出现。为了达到这一目标，概率实验是不可或缺的。
第二，大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得出的，实验是获取概率的更一般的方法。陈希孺先生指出：“一事件出现的可能性大小，应由在多次重复实验中其出现的频繁程度去刻画。”
第三，概率实验可以帮助学生澄清一些误解。
“可能、一定、不可能”是各个版本新课标教材中都有的教学内容，下面是笔者的教学片段，可以帮助说明概率实验的价值。
组织小组活动：
盒子里有3个黄球、3个白球。每次摸出1个。摸之前先猜一猜，你会摸到什么球？每次你都猜对了吗？
活动结束时，老师询问：有没有每次都猜对的同学？（全班有三人举手。）
师：为什么我们那么多的同学都没有猜对呢？
（此时，三个猜对的同学急于向大家介绍方法。）
生1：黄球和白球摸在手里的感觉不一样。
师：（饶有兴趣地）真的吗？让我们见识一下。
生1：（摸一个球）黄色！
（拿出后是白色。生1低头坐了下去。）
师：怎么不试了？
生1：没有信心了。
师：怎么就没有信心了？
生1：摸在手里分辨不出来。
生2：我有一个办法，如果第一个摸出来的是黄球，把这个黄球放回盒子，放在哪个角落第二次还从那里摸，一定还是黄球。
生3：（反驳）放回去要摇一摇，你这么做就不遵守规则了。
生4：如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球。
师：你刚才就是这样猜的，结果全对了？
生4连连点头。
师：（半信半疑地）还有这个规律？摸一个！
（生4摸出一个白球，放回。）
生4：第二次一定是黄球。
（第二次生4果真摸出一个黄球。）
师：看来，下一次……
生4：第三次该是白球了！
（第三次生4摸出一个黄球。）
师：这个规律还成立吗？
学生们直摇头。
师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么？
生：盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球。
如果你的周围近来有几对夫妇离异，那么在事实并未改变的情况下，会使你片面地相信夫妇离异的频率在上升。有些事件哪怕只发生一次，只要它发生在自己面前，就会加深对它的印象。我们往往不太会相信，在我们面前发生的事件会只发生了这么一次，而相信它在更广的范围里也会发生。福尔克（Falk）在《可信巧合与不可信巧合的判断》中指出：“自认为有意义的巧合比自认为无意义的巧合更使人感兴趣，自己经历的巧合比别人经历的巧合更引起重视。”
随机性是可能性教学中的一个基本观念，它包括两个方面：（1）单一事件的不确定性和不可预见性；（2）事件在经历数次重复实验中表现出规律性。前者看似简单，但对只接触确定性数学的低年级学生而言并不简单。教者特别关注学生可能的潜在的错误直觉，让学生充分积累对不确定性的直观感受，把功夫下在了学生随机观念的建立上，把住了可能性教学的脉。
要用一个正确的概念来代替一个错误，用第二直觉来代替第一直觉，用一个数学模型来代替直观评判是非常困难的，信念和概念的改变是缓慢的。李俊等学者的研究都显示，学生在正式开始学概率之前就已经形成一些错误概念了，在学概率期间还有可能产生新的错误概念，学习结束之后可能还存在某些错误概念，即便教学是基于对错误概念了解之上，某些错误概念还是顽固得难以消除。概率说理有一个特殊问题，那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突，如果仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的。因此教师就该创造情景，鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正或改正自己对概率的认识。实验不仅要做，而且要多次做。
五、学生在实验中是“操作工”还是“探究者”？
不管是教学统计，还是教学概率，往往需要做实验。那么实验的主体是谁？学生在其中该充当怎样的角色呢？
在有关“可能性的大小”课堂里我们常常看到这样的场景——
师：（出示一个盒子）盒子里有9个白球、1个黄球。如果从中任意摸出1个球，可能是什么颜色的球？
（学生略做思考后猜测。）
师：好，下面就请你们分小组摸球，记录自己摸球的结果，并与小组内的同学交流摸球的情况。
（各小组摸球、统计、讨论，教师巡视。）
师：谁愿意代表本组汇报一下小组交流的情况？
（各小组汇报。）
师：摸出白球的次数多，说明摸出白球的可能性——（生齐答：大）；反过来说，摸出黄球的次数少，说明摸出黄球的可能性——（生齐答：小）。
师：这个游戏告诉我们，虽然事件的发生是不能确定的，但是可能性是有大有小的。
下面，我们再来分享牛献礼老师提供的同样课题的相关片段——
师：（出示盒子）同学们，这个盒子里放有白色和黄色的球共9个。不过两种球的个数是不相等的，如果不打开盒子看，你们有办法知道哪种颜色的球多吗？
生：可以猜。
师：猜，是一种方法。那你猜是哪种颜色的球多一些？
生：我猜是白球多一些。
生：我猜是黄球多一些。可到底是哪种颜色的球多，我们还是不能确定，这样瞎猜，即使猜对了也只能说明运气好。
生：（迟疑地）老师，我有个办法，能不能用在二年级时摸球的方法，每次摸出一个球看看颜色，然后放回去再摸。多摸几次，最后看摸出哪种颜色的球多，就说明盒子里这种颜色的球多。
师：大家明白他的意思吗？谁能再解释一下。
生：他的意思是从摸球的次数中判断哪种颜色的球多。摸出的次数多，就说明这种颜色球的个数多。
师：你们认为这个办法行吗？
生：（齐）行。
师：好，下面就来做这个实验。
（出示活动要求：每人每次摸出一个球，记录员记录结果；把球放进盒子，摇一摇，下一位同学继续摸，每组共摸20次。）
生：我们组认为盒子里的白球多。因为我们摸了20次，白球出现了15次，黄球只出现了5次。
生：我们组摸了20次，白球出现了17次，黄球只出现了3次。我们也认为白球多。
师：从摸出球的次数，我们推断出盒子里的白球可能多一些。我们的推断是否正确，最终还得——
生：把盒子打开看看。
（各组打开盒子，发现白球有8个、黄球1个。学生们欢呼雀跃。）
师：如果把这几个球放回去再摸一次，会摸到什么球？
生：可能是白球，也可能是黄球。
师：会不会一定是白球。
生：不会，因为盒子里既有白球也有黄球，所以摸出来的也可能是黄球。
生：盒子里白球多，黄球，摸出白球的可能性大，摸出黄球的可能性小。但是可能性再小也是有可能的啊。所以摸出的不一定全是白球。
师：说得真好！那么，同学们，通过刚才的摸球游戏，你们对“可能性”有了哪些新的认识？
……
两种教法在形式上很相似，都是通过“摸球”让学生感受事情发生的确定性与随机性。但仔细分析会发现两者之间有着本质的区别。
前一种教法，教师的目的是要让学生“感受不确定性”、“感受可能性的大小”，但学生并不清楚。这时，学生的活动只是在按老师的要求进行，只是在执行老师的一个个指令，而不是一种真正自觉的行为。这样的实验缺乏主动性、探究性，思维含量不高。另外，从课堂实践来看，教师先告诉学生盒子里放着9个白球和1个黄球，再让学生猜测摸出哪种球的可能性大，学生几乎异口同声地说“摸到白球的可能性大”，说明相对学生已有的经验和知识来说，这一问题思维含量不足，缺乏“挑战性”，不能有效激发学生探究的欲望。那么接下来的明知最终结果的实验活动还有多大意义？学生经历一番“摸球”后会思考哪些有深度的数学问题呢？
动手实践、主动探索是《标准》积极倡导的一种学习方式。但是，动手实践、主动探索绝不能简单地等同于“动手活动”。二者的主要区别在于前者有着明确的目的性和高度的思维含量。
牛献礼老师的教法中，学生先对解决问题的方法达成了共识：用摸球的方法进行判断，哪种颜色的球摸出的次数多，说明这种颜色的球的个数可能就多。此时的动手实验目的明确，自然成为学生的自觉行为。在这一过程中，学生思考着解决问题的办法，不断提出新的想法，并通过动手实践探索问题的答案，最后打开盒子进行了验证。学生不仅感知了不确定性和可能性的大小，而且在探索活动中学习到了科学探究的方法，发展了合情推理的能力。
针对学生常常根据自己的经验和直觉来判断事情的发生与否，以为“不太可能就是不可能，很有可能就是必然”，将可能发生与必然发生混淆起来这种普遍存在的错误，教师在学生已经获得结果的情况下，进一步引导学生思考：“如果把这几个球放回去，再摸一次，会摸到什么球？”“会不会一定是白球？”促使学生深入理解“可能性”的含诡义，并进一步理解事情发生的确定性与随机性。可见，牛老师设置认知冲突、预留思维空间，更多的是在引导学生自主进行思维活动，很好地体现了“数学教学是数学思维活动的教学”的思想。
让学生在活动中积累体验很重要，而活动前、活动中、活动后的思考更重要。潘小明老师就非常注重活动前后的思考，请看他在教学“用分数表示可能性大小”一课中的片段——
出示游戏规则：
一个纸袋里，有6个分别标有1，2，3，4，5，6的球。甲乙两人轮流从中摸球，每次摸1个，摸后放回。球上的数大于3，甲得1分；球上的数小于3，乙得1分；球上的数等于3，谁都不得分。各摸10次，谁的得分高谁获胜。
如果让你参加这个游戏，你准备当甲，还是当乙，还是随便安排？
全班学生用手势表示了自己的意见之后，潘老师发现学生的想法不尽一致，就开始组织学生各自陈述自己的理由，小组内交流。他并没有像有些老师那样，急于让学生通过摸球来验证可能性的大小。
小组内交流之后，潘老师先询问：有没有谁在讨论之后，改变了自己原来的想法？
一个学生说：“我原来是选择随便安排的，但现在我认为当甲赢的可能性更大。因为甲赢的情况有3种，而乙赢的情况只有2种。”
从这位学生的发言中可以看出，这样的实验前的思考是有价值的、有效的。
六、是直面学生的错误认识，还是回避它？
我们的学生并不是头脑空空地等着从我们教师口头得到概率的正确理论。在正式教学之前，学生对概率统计已经有了他们自己心中固有的直观判断、偏见和观念。教师需要了解学生潜在的错误观念。在学习概率的过程中，教师不仅要关注学生是否动了、做了，更要关注学生是否想了、说了；不仅要关注学生是否想了、说了，更要关注学生想了什么、说了什么，关于发掘学生话语背后的潜台词，再通过动手实验或讨论，逐步消除错误的观念，帮助学生建立正确的概率直觉。
学生常见的错误直觉：
1，确定性思维。
对随机事件的不确定性认识不够，以为一切事情都有着明确的答案和确定的结果，一年级学生中这种情况最多，少数学过可能性的三四年级学生也存在这个问题。
例如：抛一枚硬币，第一次是正而，认为第二次“必然还是正面”的，一年级17%，三年级2%，或者“第二次一定是反面的”，一年级6%，三年级4%，四年级2%。
把可能性比较大的等同于必然事件，认为很有可能就是必然；可能性比较小的等同于不可能事件，认为不太可能就是不可能。如从一个装有3个黄球、1个白球的盒子里摸1个球，认为“一定摸出黄球”的一年级有8%，三四年级有1%；“不可能摸出白球”的一年级有11%，三四年级有3%。
还有部分学生把可能性较小事件发生的原因归结为没有努力、缺少信心等。
2，等可能性偏见。
认为一件事情有几种结果，那么这几种结果出现的可能性是相等的。如：同时抛两枚同样的硬币，结果：认为两个都是正面朝上，两个都是反面朝上，一个正面朝上、一个反面朝上，这三种情况出现的可能性一样。（27%，因为各个年级差异不大，故没有分别统计。）
3，预言结果。
即预言每次实验的结果，将可能性估计建立在因果的联系上。如“从一个装有3个黄球和1个白球的盒子里摸出1个球，结果会怎样？”“摸到黄球，就一定是黄球；摸到白球，就一定不是黄球”（一年级一女生）。“去商场抽奖，中奖了，中奖的可能性是1；没中奖，中奖的可能性就是0”（五年级一男生）。
综上所述，没有经过正式教学的学生，在生活中也已经积累了一些关于随机现象的经验，对可能、一定能加以区别，部分学生对可能性的大小也有所体验。但也存在着形形色色的潜在的对可能性的模糊、错误的认识。
关于概率，学生乃至成人还有相当多的认识误区，正如兰德威尔(Landewehr)指出的：“人们不适当地认为在‘真实世界’内的一切都是确定的；人们无根据地相信小样本；人们在日常生活中无根据地把问题归结为平均数来解决……”
《游戏公平》是北师大版第八册的教学内容。这节课一个很重要的教学目标是让学生“初步体验事件发生的等可能性”。在此之前，学生在第一学段，已经知道了“可能”与“一定”，并通过摸球等活动，初步体验了可能性是有大小的。对学生而言，从“可能性有大小”到“可能性相等”在认识上是一个飞跃：正因为有“可能性相等”，可能性才可以用分数表示，从而实现可能性从定性到定量的过渡。
但体验“可能性相等”对于长期习惯于确定性思维的学生来说，是何等的艰难！他们很自然拥有大量貌似正确实际错误的想法法影响了这一目标的实现。教师们发现，不做实验、不分析，学生似乎理解得很顺利：“抛硬币，正反面向上的可能性相等”、“掷色子，每个数字的机会是一样的”；做了实验之后，却是另一番景象：越分析越糊涂——在一堆悬殊很大的数据面前，教师试图说服学生可能性相等是那么苍白无力，于是教师便想尽一切办法，选择相等的或接近相等的数据以支持“可能性相等”的结论而草草收场。更有甚者，干脆选择回避：不做说不清道不明的抛硬币实验，改做更容易驾驶的可能性有大小的实验；更极端的索性不做实验。笔者以为，大量重复实验本身，可以让学生充分体验到随机事件的“不确定性”，而实验之后对数据的分析，才能让学生体验随机事件的另一特点“偶然中的必然”。要想体验“可能性相等”的丰富内涵，实验是无可替代的。所以在一开始设计这一课时，首先决定的是：不仅要抛硬币，还要舍得花时间以保证一定的次数。
初步确定的方案如下：由足球比赛裁判抛硬币挑边引入，提出问题：为什么用抛硬币来决定？由此讨论抛硬币的公平性。然后学生进行抛硬币实验，收集较少次实验和大量实验的数据进行对比，再提供几位数学家抛硬币的结果来对比。
尽管有了充分的思想准备，试讲时学生的种种问题还是让笔者措手不及。“不同的硬币抛出的结果是不同的”，“和你抛时旋转的力度有关”，甚至在铁证如山的皮尔逊24000次抛硬币的结果面前，学生仍坚持“我承认抛很多次是很公平的，但是裁判只抛一次，可能性就是不相等的，是不公平的”。面对学生的质疑，教者再次陷入了沉思：五花八门的说法，只基于一个同样的原因——学生没有理解“可能性”这一概念，同时说明构建“可能性”的概念非常困难。与其被动招架，不如主动出击！教师不再害怕、回避学生各种真实的想法，孤身一人搜寻证据以说服半信半疑的学生“可能性相等”，而是反其道行之，把所有的潜在的矛盾错误都揭示出来让学生想方设法来说服大家，让学生经历“可能性”这一概念的形成过程，而非教师强加给学生。正如科诺尔德（Konold）的许多研究都提到，要向人们清楚地解释一个随机概念，还不如让他们直接面对一个错误概念。
调整思路之后，就有了下面的片段——
师：有一个蛋糕，两个人吃。怎么分公平？
生：平均分，每人分得一样多。
师：现在把蛋糕换成球赛门票，有两个人都特别想看，怎么安排比较公平？
生1：（半开玩笑地）从中间撕开，撕成两半。
（学生大笑）
生2：可以玩石头、剪子、布，谁赢了谁去。
生3：还可以抽签，或者掷色子、抛硬币。
从分蛋糕到分球赛门票，抛硬币这一方案是学生为解决实际问题自然想出的，相比而言裁判抛硬币要显得生研许多；更为重要的是，一开始就让学生在对两种公平——结果相等的绝对的公平和可能性相等的机会的公平的对比中更好地理解把握后者。
师：同学们想出了多种办法。我们先来讨论一下抛硬币这个办法。
（师请两位学生模拟甲和乙，商定抛到正面甲去，抛到反面乙去。抛一次，结果反面朝上。甲指指乙，示意乙赢了。）
师：现在，你们觉得抛硬币这个规则公平吗？
（大多数学生说：公平。）
乙：（小声地）好像不太公平。
（师好奇地示意乙说下去。乙不语。）
师：自己去了，好朋友没去成，有点不安。是吗？（乙点头）
师：我来采访一下甲同学，他去看球赛了，你呆在家里，你觉得抛硬币这个规则公平吗？
甲：公平。因为这个规则是我们事先商量好的，所以最后到底谁去谁也不知道。
生1：我也觉得这个规则是公平的，因为硬币正面和反而都是一个，要是有一个正面两个反面那就不公平了。
生2：我觉得正面和反面向上的机会都是50%，所以是公平的。
生3：你看，正面和反面都是圆形的，大小也一样，所以当然是公平的。
学生此时看起来明白得很，个别学生甚至还说到了50%这个没学过的数，但是明白表达的背后不一定是十分明白的思维——
师：我同意大家的观点。抛硬币是不是公平，不是看结果，而是要看机会。也就是看可能性是不是相等。可分析毕竟是分析，有什么事实能说明正反面向上的可能性相等呢？
生1：我觉得刚才抛一次不能说明问题，抛两次，应该一次正面，一次反面。
生2：我觉得抛两次很可能还是全部正面或者全部反面朝上的，应该抛五六次。（生点头）
师：行，就照大家的想法，咱们试着先抛10次。
（生实验之后汇报结果：正5，反5；正3，反7；正4，反6；正7，反3；正6，反4；正8，反2。等等）
师：同学们坚持说正反面可能性相等，可从大家实验