解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案).doc

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）

一．选择题（共4小题）
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）
A．4 B． C． D．2
3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）
A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4 C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12

二．填空题（共4小题）
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　 　．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=　 　，c=　 　．
7．设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　 　．
8．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　 　．

三．解答题（共9小题）
9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．
13．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．
14．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
15．设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*），
（i）求Tn；
（ii）证明=﹣2（n∈N*）．
16．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）
参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为，
∴S△ABC==，
∴sinC==cosC，
∵0＜C＜π，∴C=．
故选：C．

2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）
A．4 B． C． D．2
【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，
BC=1，AC=5，则AB====4．
故选：A．

3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　）
A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4 C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4
【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，
a1＞1，设公比为q，
当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，
即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．
当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；
当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，
当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，
故选：B．

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，
∴=a1+a1+d+4a1+d，
把a1=2，代入得d=﹣3
∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．
故选：B．

二．填空题（共4小题）
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　9　．
【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，
即ac=a+c，
得+=1，
得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，
当且仅当=，即c=2a时，取等号，
故答案为：9．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=　　，c=　3　．
【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
a=，b=2，A=60°，
∴由正弦定理得：，即=，
解得sinB==．
由余弦定理得：
cos60°=，
解得c=3或c=﹣1（舍），
∴sinB=，c=3．
故答案为：，3．

7．设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　an=6n﹣3　．
【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，
∴，
解得a1=3，d=6，
∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．
∴{an}的通项公式为an=6n﹣3．
故答案为：an=6n﹣3．

8．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　﹣63　．
【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，①
当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，
当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②，
由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1，
∴an=2an﹣1，
∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，
∴S6==﹣63，
故答案为：﹣63

三．解答题（共9小题）
9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵cosB=﹣，∴sinB===，
由正弦定理得=得sinA===，
则A=．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2×7×c×，
即c2+2c﹣15=0，
得（c﹣3）（c+5）=0，
得c=3或c=﹣5（舍），
则AC边上的高h=csinA=3×=．

10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．
∴x=﹣，y=，r=|OP|=，
∴sin（α+π）=﹣sinα=；
（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，
得，，
又由sin（α+β）=，
得=，
则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，
或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．
∴cosβ的值为或．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，
又bsinA=acos（B﹣）．
∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，
∴tanB=，
又B∈（0，π），∴B=．
（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，
由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，
∵a＜c，∴cosA=，
∴sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=2cos2A﹣1=，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．

12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：=，即=，
∴sin∠ADB==，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB==．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，
∵DC=2，
∴BC=
==5．

13．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．
【解答】解：（1）由题意可知|an﹣bn|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，
∵a1=0，q=2，
∴，解得．即≤d≤．
证明：（2）∵an=a1+（n﹣1）d，bn=b1•qn﹣1，
若存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，
则|b1+（n﹣1）d﹣b1•qn﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），
即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），
∵q∈（1，]，∴则1＜qn﹣1≤qm≤2，（n=2，3，…，m+1），
∴b1≤0，＞0，
因此取d=0时，|an﹣bn|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，
下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，
①当2≤n≤m时，﹣==，
当1＜q≤时，有qn≤qm≤2，
从而n（qn﹣qn﹣1）﹣qn+2＞0，
因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，
故数列{}的最大值为．
②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，
∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，
当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，
因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，
故数列{}的最小值为，
∴d的取值范围是d∈[，]．

14．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，
可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，
解得a4=8，
由+8+8q=28，可得q=2（舍去），
则q的值为2；
（Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1，
可得n=1时，c1=2+1=3，
n≥2时，可得cn=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，
上式对n=1也成立，
则（bn+1﹣bn）an=4n﹣1，
即有bn+1﹣bn=（4n﹣1）•（）n﹣1，
可得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）
=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，
bn=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，
相减可得bn=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1
=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，
化简可得bn=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．

15．设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*），
（i）求Tn；
（ii）证明=﹣2（n∈N*）．
【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0．
∵q＞0，可得q=2．
故．
设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，
由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，
∴b1=d=1．
故bn=n；
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，
故=；
（ii）证明：∵==．
∴==﹣2．

16．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
∴1×q4=4×（1×q2），
解得q=±2，
当q=2时，an=2n﹣1，
当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，
∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．
（2）记Sn为{an}的前n项和．
当a1=1，q=﹣2时，Sn===，
由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；
当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1，
由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，
解得m=6．

17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，
∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，
∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，
∴Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，
∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．

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