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一元二次方程求解（配方法求解）

一．解答题（共30小题）
1．解方程：x2﹣6x﹣4=0．

2．解方程：x2+4x﹣1=0．

3．解方程：x2﹣6x+5=0 （配方法）

4．解方程：x2﹣2x=4．

5．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．

6．解方程：x2+2x﹣5=0．

7．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．

8．解方程：x2﹣2x﹣2=0．

9．用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．

10．解方程：2x2﹣4x+1=0．

11．2x2﹣5x+2=0（配方法）

12．解方程：x2﹣2x﹣4=0．

13．解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．

14．解一元二次方程：x2﹣6x+3=0．

15．解方程：x2﹣2x﹣5=0．

16．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤　　开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）

17．解方程：4x2﹣6x﹣4=0（用配方法）

18．用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．

19．用配方法解方程：x2+x﹣2=0．

20．用配方法解方程：2x2+1=3x．

21．用配方法解方程：3x2+6x﹣1=0．

22．用配方法解方程：2x2+2x﹣1=0．

23．解方程：x2﹣6x+2=0（用配方法）．

24．解下列方程：
（1）x2+6x+7=0（用配方法解）

（2）x2+2x﹣1=0．
25．用配方法解方程：4x2﹣3=4x．
26．用配方法解方程：6x2﹣x﹣12=0．

27．用配方法解方程：2x2﹣8x﹣198=0．

28．用配方法解方程：6x2﹣x﹣12=0．

29．用配方法解方程：2x2﹣5x+2=0．

30．用配方法解方程：2x2﹣x﹣1=0．

一元二次方程求解（配方法求解）
参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）
1．（2015•大连）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：移项得x2﹣6x=4，
配方得x2﹣6x+9=4+9，
即（x﹣3）2=13，
开方得x﹣3=±，
∴x1=3+，x2=3﹣．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．

2．（2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．
【分析】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
【解答】解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3．（2016•金乡县一模）解方程：x2﹣6x+5=0 （配方法）
【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣6x=﹣5，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得
x2﹣6x+32=﹣5+32，即（x﹣3）2=4，
∴x=3±2，
∴原方程的解是：x1=5，x2=1．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

4．（2016•安徽）解方程：x2﹣2x=4．
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解
【解答】解：配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
【点评】在实数运算中要注意运算顺序，在解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法．

5．（2016•天门模拟）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．
【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：2x2﹣3x﹣3=0，
x2﹣x﹣=0，
x2﹣x+=+，
（x﹣）2=，
x﹣=±，
解得：x1=，x2=．
【点评】此题考查利用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

6．（2015•福州模拟）解方程：x2+2x﹣5=0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣5=0，
∴x2+2x=5，
∴x2+2x+1=5+1，
∴（x+1）2=6，
∴x+1=±，
∴x=﹣1±．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

7．（2015•岳池县模拟）用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．
【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣3=0，
∴，
∴，
∴x﹣1=±，
∴．
【点评】该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题；准确配方是解题的关键．

8．（2015•厦门校级质检）解方程：x2﹣2x﹣2=0．
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：移项，得
x2﹣2x=2，
配方，得
x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，
开方，得
x﹣1=±．
解得x1=1+，x2=1﹣．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．

9．（2015•东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．
【分析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】解：把方程x2﹣2x﹣4=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4+1，
配方得（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1﹣，x2=1+．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．

10．（2014•秦淮区一模）解方程：2x2﹣4x+1=0．
【分析】先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣2x=﹣，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1=，
配方，得
（x﹣1）2=，
直接开平方，得
x﹣1=±，
x1=1+，x2=1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．

11．（2016•北京二模）2x2﹣5x+2=0（配方法）
【分析】方程二次项系数化为，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并后，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：x2﹣x=﹣1，
配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，
开方得：x﹣=±，
解得：x1=2，x2=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

12．（2016•陆丰市校级模拟）解方程：x2﹣2x﹣4=0．
【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1=5，
配方，得
（x﹣1）2=5，
∴x=1±，
∴x1=1+，x2=1﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

13．（2013•太原）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．
【分析】根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案．
【解答】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，
4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，
x2﹣6x=﹣8，
（x﹣3）2=1，
x﹣3=±1，
x1=2，x2=4．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题．

14．（2016•河北区模拟）解一元二次方程：x2﹣6x+3=0．
【分析】移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣6x+3=0，
x2﹣6x=﹣3，
x2﹣6x+9=﹣3+9，
（x﹣3）2=6，
x﹣3=，
x1=3+，x2=3﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．

15．（2016•翔安区模拟）解方程：x2﹣2x﹣5=0．
【分析】利用完全平方公式配平方，再利用直接开方法求方程的解即可．
【解答】解：x2﹣2x+1=6，
那么（x﹣1）2=6，
即x﹣1=±，
则x1=1+，x2=1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是注意使用配方法是要保证不改变原方程．

16．（2014•葫芦岛）有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤　⑤　开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
【分析】（1）移项要变号；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；

（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n x2=﹣4n．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．

17．（2014•微山县二模）解方程：4x2﹣6x﹣4=0（用配方法）
【分析】把常数项﹣4移项后，然后画二次项系数为1，再在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣x=1，
配方，得
x2﹣x+（﹣）2=1+（﹣）2，
则（x﹣）2=，
所以 x﹣=±，
解得 x1=2，x2=﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

18．（2016春•门头沟区期末）用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．
【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：2x2+3x﹣1=0
x2+（1分）
x2+（3分）
（4分）
x+（6分）
x1=（7分）
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

19．（2013•甘肃模拟）用配方法解方程：x2+x﹣2=0．
【分析】先把常数项﹣2移项后，再在方程的左右两边同时加上一次项系数1的一半的平方，然后配方，再进行计算即可．
【解答】解：配方，得x2+x﹣=2+，
即 =，
所以x+= 或x+=﹣．
解得 x1=1，x2=﹣2．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

20．（2008•济宁）用配方法解方程：2x2+1=3x．
【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．
【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，
二次项系数化为1，得，
配方，
，
由此可得，
∴x1=1，．
【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．
本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．

21．（2015秋•普陀区期末）用配方法解方程：3x2+6x﹣1=0．
【分析】先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．
【解答】解：把方程x2+2x﹣=0的常数项移到等号的右边，得
x2+2x=，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1=+1
配方得（x+1）2=，
开方得x+1=±，
解得x=±﹣1．
【点评】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

22．（2015春•北京校级期中）用配方法解方程：2x2+2x﹣1=0．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：x2+x=，
配方得：x2+x+=，即（x+）2=，
开方得：x+=±，
解得：x1=﹣+，x2=﹣﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

23．（2013•下关区一模）解方程：x2﹣6x+2=0（用配方法）．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：x2﹣6x+2=0
移项，得
x2﹣6x=﹣2，
即x2﹣6x+9=﹣2+9，
∴（x﹣3）2=7，
解得x﹣3=±，
即x=3±．
∴x1=3+，x2=3﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

24．（2016春•潜江校级期中）解下列方程：
（1）x2+6x+7=0（用配方法解）
（2）x2+2x﹣1=0．
【分析】（1）直接利用配方法将原式变形，利用完全平方公式进行配方，进而解方程即可；
（2）直接利用配方法将原式变形，利用完全平方公式进行配方，进而解方程即可．
【解答】解：（1）x2+6x+7=0（用配方法解）
x2+6x=﹣7，
x2+6x+9=﹣7+9，
则（x+3）2=2，
故x+3=±，
解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣；

（2）x2+2x﹣1=0
x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
则（x+1）2=2，
故x+1=±，
解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．
【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确应用完全平方公式是解题关键．

25．（1997•四川）用配方法解方程：4x2﹣3=4x．
【分析】移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项，得4x2﹣4x=3，
配方得：4x2﹣4x+12=3+12，
（2x﹣1）2=4，
开方得：2x﹣1=±2，
2x﹣1=2，2x﹣1=﹣2，
x1=，x2=﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，关键是能正确配方．

26．（2008•泰安）用配方法解方程：6x2﹣x﹣12=0．
【分析】首先将二次项系数化为1．然后移项，把常数项移到等号的右边，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数项，即可直接开方求解．
【解答】解：原式两边都除以6，移项得，
配方，得，
（x﹣）2==（）2，
即x﹣=或x﹣=﹣，
所以x1=，x2=﹣．
【点评】本题主要考查了配方法，是解一元二次方程常用的一种基本方法．

27．（2015秋•克拉玛依校级期中）用配方法解方程：2x2﹣8x﹣198=0．
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，把二次项系数化为1，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：原方程变形为 x2﹣4x=99，
∴（x﹣2）2=99+4
∴x﹣2=±
∴x1=2+，x2=2﹣．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

28．（2004•泉州）用配方法解方程：6x2﹣x﹣12=0．
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，把二次项系数化为1，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：原方程可化为x2﹣x=2，
∴x2﹣x+（）2=2+（）2，
配方得（x﹣）2=，
∴x﹣，
解得x1=，x2=﹣．
【点评】配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

29．（2014秋•天门期末）用配方法解方程：2x2﹣5x+2=0．
【分析】两边都除以2，移项，配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：两边都除以2，得，
移项，得，
配方，得x2﹣x+（）2=﹣1+（）2，
，
解这个方程，得，
∴，x2=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．

30．（2006•聊城）用配方法解方程：2x2﹣x﹣1=0．
【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：两边都除以2，得．
移项，得．
配方，得，．
∴或．
∴x1=1，．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数

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