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导数压轴题型归类总结
目　　录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）
二、交点与根的分布　（23）
三、不等式证明　（31）
（一）作差证明不等式　
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围　（51）
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用　（70）
六、导数应用题　（84）
七、导数结合三角函数　（85）
书中常用结论
⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.
解：(1)时，，由，解得.
的变化情况如下表：

0

1

-
0
+

0
↘
极小值
↗
0

所以当时，有最小值.
(2)证明：曲线在点处的切线斜率
曲线在点P处的切线方程为.
令，得，∴
∵，∴，即.
又∵，∴
所以.

2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数其中
⑴当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当时，求函数的单调区间与极值.
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴

⑵ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

以下分两种情况讨论：
①＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3. 已知函数
⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立 关于的函数关系式，并求的最大值；
⑵若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。

4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f(x)=lnx－.
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.
解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知：f ′(x)＝，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).
③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.
当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.
综上可知：a＝－.
5. （最值直接应用）已知函数，其中.
（Ⅰ）若是的极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.
解：（Ⅰ）.
依题意，令，解得 . 经检验，时，符合题意.
（Ⅱ）解：① 当时，.
故的单调增区间是；单调减区间是.
② 当时，令，得，或.
当时，与的情况如下：

↘

↗

↘
所以，的单调增区间是；单调减区间是和.
当时，的单调减区间是.
当时，，与的情况如下：

↘

↗

↘
所以，的单调增区间是；单调减区间是和.
③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是.
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是；减区间是和.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意.
当时，在的最大值是，
由，知不合题意.
当时，在单调递减，
可得在上的最大值是，符合题意.
所以，在上的最大值是时，的取值范围是.
6. （2010北京理数18）
已知函数=ln(1+)-+(≥0).
(Ⅰ)当=2时，求曲线=在点(1,(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求的单调区间.
解：（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），.
当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故得单调递增区间是，单调递减区间是.
当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是.
当时， 故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，
故得单调递增区间是和，单调递减区间是

7. （2010山东文21，单调性）
已知函数
⑴当时，求曲线在点处的切线方程；
⑵当时，讨论的单调性.
解：⑴
⑵因为 ，
所以 ，，
令

8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)
已知函数
⑴若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；
⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．
解：（Ⅰ） ，．
∵且，∴∴函数的单调递增区间为．
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切线的方程为, 即, ①
设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴,∴.
∴直线也为， 即， ②
由①②得 ，∴．
下证：在区间（1,+）上存在且唯一.
由（Ⅰ）可知，在区间上递增．
又，，
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一，故结论成立．

9. （最值应用，转换变量）
设函数．
(1)讨论函数在定义域内的单调性；
(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．
解：⑴．
当时，，增区间为，减区间为，．
当时，，减区间为．
当时，，增区间为，减区间为，．
⑵由⑴知，当时，在上单调递减，
∴，≤，
即≤．
∵恒成立，
∴＞，即，
又，∴．
∵，∴，∴≤．
10. （最值应用）
已知二次函数对都满足且，设函数（，）．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，，求证：对于，恒有．
解：（Ⅰ）设，于是
所以
又，则．所以． …………3分
（Ⅱ）
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分
当m=0时，对，恒成立； …………5分
当m<0时，由，列表：
x

－
0
＋

减
极小
增

所以若，恒成立，则实数m的取值范围是．
故使成立，实数m的取值范围．…………9分
（Ⅲ）因为对，所以在内单调递减．
于是

记，则
所以函数在是单调增函数，
所以，故命题成立． …………12分

11. 设是函数的一个极值点.
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，若存在，使得 成立，求的取值范围.
解：（1）∵
∴ 由题意得：，即，
∴且
令得，
∵是函数的一个极值点
∴，即
故与的关系式为.
当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：和；
当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：和；
（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，,
∴在上的值域为.
易知在上是增函数,
∴在上的值域为.
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必须且只须解得:.
所以，的取值范围为.

12. ．
（1）若，求函数的极值；
（2）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围．
解:（1）∵
当时，,则.
令得，∵,∴，解得
∵当时，，
当时，当时
∴当时，函数有极大值，，
当时，函数有极小值，．
（2）由（1）知
∵是函数的一个极值点 ∴
即，解得
则＝
令，得或
∵是极值点，∴，即 .
当即时，由得或
由得
当即时，由得或
由得.
综上可知：
当时，单调递增区间为和，递减区间为
当时，单调递增区间为和，递减区间为。
（3）由2）知：当a>0时，在区间（0，1）上的单调递减，
在区间（1，4）上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为
又∵，，
∴函数在区间[0，4]上的值域是，即]
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是.
∵－＝＝，
∴存在使得成立只须
－<1.．

13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)
已知函数.
⑴当时，讨论的单调性；
⑵设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.
⑴，
令
①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.
②当时，由，即，解得.
当时，恒成立，此时，函数单调递减；
当时，,时，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
当时，当,函数单调递减；
当，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；
当时,恒成立,此时，函数在单调递减；
当时,函数在递减,递增,递减.
⑵当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意，
有，
又已知存在，使，所以，，（※）
又
当时，与（※）矛盾；
当时，也与（※）矛盾；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
14. 设函数．
（Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，设函数，若对于]，[0，1]
使≥成立，求实数b的取值范围.（是自然对数的底，）
解：函数的定义域为，
（Ⅰ）设点，当时，，则，，∴
解得，故点P 的坐标为
（Ⅱ）
∵ ∴
∴当，或时，当时，
故当时，函数的单调递增区间为；
单调递减区间为，
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且，
∵，又，∴，
∴，故函数在上的最小值为
若对于，使 ≥成立在上的最小值不大于
在上的最小值（*）
又，
①当时，在上为增函数，与（*）矛盾
②当时，，
由及得，
③当时，在上为减函数，
，此时 综上，的取值范围是
15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)
已知函数．
⑴求在上的最小值；
⑵若存在（是常数，＝2.71828）使不等式成立，求实数的取值范围；
⑶证明对一切都有成立．
解：⑴，

⑵由题意知

，
而，故
（Ⅲ）　等价证明
由⑴知

．

16. （最值应用）
设函数，且，其中是自然对数的底数.
⑴求与的关系；
⑵若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
⑶设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得
而，所以、的关系为.
（2）由（1）知，
.令，
要使在其定义域内单调，只需恒成立.
①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，
∴在内是单调递减函数，即适合题意；
②当＞0时，，∴，
只需，即，
∴在内为单调递增函数，故适合题意.
③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）∵在上是减函数，
∴时，；时，，即，
①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；
②当0＜＜1时，由，
又由（2）知当时，在上是增函数，
∴＜，不合题意；
③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，故只需＞，，而，， 即 ＞2，解得＞ ，
综上，的取值范围是.

17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）
设函数
⑴讨论函数的单调性；
⑵若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：⑴的定义域为
令
①当故上单调递增．
②当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
③当的两根为，
当时， ；当时，；当时，，故分别在上单调递增，在上单调递减．
⑵由⑴知，若有两个极值点，则只能是情况③，故．
因为，
所以
又由⑴知，，于是
若存在，使得则．即．
亦即
再由⑴知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得

18. （构造函数，好，较难）
已知函数.
⑴求函数的单调增区间；
⑵记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由.

解：（Ⅰ）函数的定义域是.
由已知得，.
ⅰ 当时, 令,解得;函数在上单调递增
ⅱ 当时，
①当时，即时, 令,解得或;
函数在和上单调递增
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；
③当时，即时, 令,解得或
函数在和上单调递增.
综上所述:
⑴当时,函数在上单调递增
⑵当时,函数在和上单调递增
⑶当时,函数在上单调递增；
⑷当时,函数在和上单调递增.
(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.
设,是曲线上的不同两点，且，
则，.

.
曲线在点处的切线斜率，
依题意得：.
化简可得 ， 即=.
设 ()，上式化为：,
,令,.
因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.
所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”

19. (2011天津理19，综合应用)
已知，函数，．(的图象连续)
⑴求的单调区间；
⑵若存在属于区间的，且，使，证明：．
解：⑴，．令，则．
当变化时，，的变化情况如下表：

单调递增
极大值
单调递减
所以的单调增区间是，单调减区间是．

⑵由及的单调性知．从而在区间上的最小值为．
又由，，则．
所以即
所以．

20. （恒成立，直接利用最值）
已知函数，
⑴若是函数的一个极值点，求；
⑵讨论函数的单调区间；
⑶若对于任意的,不等式在上恒成立，求的取值范围.
解：⑴,
因为是函数的一个极值点，所以，得.
又，所以.
⑵因为的定义域是，
.
①当时，列表

＋
－
＋

增
减
增
在，是增函数；在是减函数.
②当时，，在是增函数.
③当时，列表

＋
－
＋

增
减
增
在,是增函数；在是减函数.
⑶

21. （最值与图象特征应用）
设，函数为自然对数的底数）.
⑴判断的单调性；
⑵若上恒成立，求a的取值范围.
解：⑴∵
令
①当在R上为减函数.
②当
在R上为减函数.
③当时，由得
由得
上为增函数；
上为减函数.
⑵由⑴知
①当上为减函数.

②当
在[1，2]上不恒成立，∴a的取值范围是

22. (单调性)
已知=ln(x+2)－x2+bx+c
⑴若函数在点(1，y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f(－1)=0，求函数在区间[0,3]上的最小值；
⑵若在区间[0,m]上单调，求b的取值范围.
解：⑴，依题意令= ，＝0，解得b=4，c=5.

x
0
(0,)

（,3）
3
y′

+
0
－

y
ln2+5

极大

8+ln5
因为8+ln5>5+ln2 ∴x=0时在[0，3]上最小值=5+ln2.
⑵若在区间[0，m]上单调，有两种可能
①令≥0得b≥2x－，在[0，m]上恒成立
而y=2x－在[0，m]上单调递增，最大值为2m－，∴b≥2m－.
②令≤0 得b≤2x－，
而 y=2x－在[0，m]单增，最小为y=－，∴b≤－.
故b≥2m－或b≤－时在[0，m]上单调.

23. （单调性，用到二阶导数的技巧）
已知函数
⑴若，求的极大值；
⑵若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.
解：⑴定义域为

令 由
由
即上单调递增，在上单调递减
时，F(x)取得极大值
　⑵的定义域为(0，+∞)，
由G (x)在定义域内单调递减知：在(0，+∞)内恒成立
令，则 由
∵当时为增函数
当时，为减函数
∴当x = e时，H(x)取最大值
故只需恒成立，
又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性

二、交点与根的分布

24. （2008四川22，交点个数与根的分布）
已知是函数的一个极值点．
⑴求；
⑵求函数的单调区间；
⑶若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围．
解：⑴，
是函数的一个极值点．
，
⑵由⑴，
令，得，，和随的变化情况如下：

1

3

0

0

增
极大值
减
极小值
增
的增区间是，；减区间是(1,3)．
⑶由②知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减．
∴，．
又时，；时，；
可据此画出函数的草图（图略），由图可知，
当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为．
25. 已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．
（1）求的值；
（2）若1是其中一个零点，求的取值范围；
（3）若，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由.

⑶=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为
∴，即
∴，令h(x)=，∴==0，∴
∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增
又，h(2)=ln2-1<0，
∴h(x)与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.

26. （交点个数与根的分布）
已知函数
⑴求在区间上的最大值
⑵是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
解：⑴
当即时，在上单调递增，

当即时，
当时，在上单调递减，
综上
⑵函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，即函数
的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当时，是增函数；
当时，是减函数；
当时，是增函数；
当或时，

当充分接近0时，当充分大时，
要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
　　即
∴存在实数，使得函数与的图像有且只有三个不同的交点，的取值范围为

27. （交点个数与根的分布）
已知函数
⑴求f(x)在[0,1]上的极值；
⑵若对任意成立，求实数a的取值范围；
⑶若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
解：⑴，
令（舍去）
单调递增；当递减.
上的极大值.
⑵由得

设，，
依题意知上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
　 ⑶由
令，
当上递增；
上递减，
而，
恰有两个不同实根等价于

28. (2009宁夏，利用根的分布)
已知函数
⑴如，求的单调区间；
⑵若在单调增加，在单调减少，证明：＜6. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解：⑴时，，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当当
从而单调减少.
⑵
由条件得
从而
因为
所以
将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得于是 w.w

29. （2009天津文，利用根的分布讨论）
设函数，其中
⑴当时，求曲线在点处的切线的斜率
⑵求函数的单调区间与极值
⑶已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围.
解：⑴当
所以曲线在点处的切线斜率为1.
⑵，令，得到
因为，
当x变化时，的变化情况如下表：

+
0
－
0
+

↓
极小值
↑
极大值
↓
在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
⑶由题设
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为（难点）
若，而，不合题意；
若则对任意的有
则，又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得，综上，m的取值范围是

30. （2007全国II理22，转换变量后为根的分布）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）．在点处的切线方程为，
即．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
若过点可作曲线的三条切线，
则方程 有三个相异的实数根．
记 ，则．
当变化时，变化情况如下表：

0

0

0

极大值

极小值

如果过可作曲线三条切线，
即有三个相异的实数根，则即 ．
31. 已知函数在点处的切线方程为．
⑴求函数的解析式；
⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
解：⑴．…………………………………………………………2分
根据题意，得即解得……………………3分
所以．………………………………………………………………4分
⑵令，即．得．

1

2

+

+

增
极大值
减
极小值
增
2
因为，，
所以当时，，．………………………………6分
则对于区间上任意两个自变量的值，都有
，所以．
所以的最小值为4．……………………………………………………………………8分
⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．
则．
因为，所以切线的斜率为．………………………………9分
则=，………………………………………………………………11分
即．
因为过点可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
所以函数有三个不同的零点．
则．令，则或．

0

2

+

+

增
极大值
减
极小值
增
则 ，即，解得．
32. （2011省模，利用⑴的结论，转化成根的分布分题）
已知，函数（其中）
（I）求函数在区间上的最小值；
（II）是否存在实数，使曲线在点处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

33. 已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求的最大值；
（II）若上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．
解：（I），上单调递减，
在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为
（II）由题意
（其中），恒成立，令，
则，恒成立，
（Ⅲ）由
令
当[来源上为增函数；
当时，为减函数；
当[来源:学*科*网]
而方程无解；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根.

三、不等式证明
作差证明不等式
34. （2010湖南，最值、作差构造函数）
已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求证：≤≤x．
解：(1)函数f (x)的定义域为(－1，+∞),，
由 得：，∴x＞0,∴f (x)的单调递减区间为(0，+∞).
(2)证明：由(1)得x∈(－1，0)时，，
当x∈(0，+∞)时，，且
∴x＞－1时，f (x)≤f (0)，∴≤0，≤x
令，则，
∴－1＜x＜0时，，x＞0时，，且
∴x＞－1时，g (x)≥g (0)，即≥0
∴≥，∴x＞－1时，≤≤x．

35. （2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）
已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
⑴用表示，并求的最大值；
⑵求证：当时，．
解：⑴设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
⑵设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，．

36. （2009全国II理21，字母替换，构造函数）
设函数有两个极值点，且
⑴求的取值范围，并讨论的单调性；
⑵证明：.

解: ⑴
令，其对称轴为。
由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，
其充要条件为，得
当时，在内为增函数；
当时，在内为减函数；
当时，在内为增函数；
⑵由⑴知，
由得，

设，
则
当时，在单调递增；
当时，，在单调递减。
所以，
故．

变形构造函数证明不等式
37. （变形构造新函数，一次）
已知函数．
⑴试讨论在定义域内的单调性；
⑵当＜－1时，证明：，．求实数的取值范围．
解：⑴函数的定义域为，．
当时，增区间为，减区间为；
当≤≤0时，增区间为；
当时，增区间为，减区间为．
⑵当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，
不妨设，则，
∴等价于，即．
构造，则＞0．
∴在上是增函数，当时，，
即，即．
又当＞0时，在区间(0,1)上单调递增，
∴．
∴，即．

38. （2011辽宁理21，变形构造函数，二次）
已知函数.
⑴讨论函数的单调性；
⑵设，如果对任意，≥，求的取值范围.
解：⑴的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当－1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
⑵不妨假设，而＜－1，由⑴知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于，…… ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即.
从而,设并设，
∴，∴≤
故a的取值范围为（－∞，－2].

39. （2010辽宁文21，构造变形，二次）
已知函数.
⑴讨论函数的单调性； K^S*5U.C#
⑵设，证明：对任意，.
解：⑴ f(x)的定义域为(0,+)，.
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0,
故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.
⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.
设，≤－1，对称轴为，
结合图象知≤≤0，
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0,+）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，
即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，

40. （辽宁，变形构造，二次）
已知函数f(x)=x2－ax+(a－1)，.
（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）证明：若，则对任意x,x，xx，有.
解：(1)的定义域为.

①若即,则，故在单调增加。
②若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
③若,即,同理在单调减少，在单调增加.
⑵考虑函数
则（另一种处理）
由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，
当时，有.
（另一种处理）
，结合二次函数图象
设≥≥＞0

41. 已知函数
（1）确定函数的单调性；
（2）若对任意，且，都有，求实数a的取值范围。

42. （变形构造）
已知二次函数和“伪二次函数”（、、），
(I)证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；
(II)在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为，
(i)求证：；
(ii)对于“伪二次函数”，是否有①同样的性质?证明你的结论.
解：（I）如果为增函数,则(1)恒成立,
当时恒成立, (2)
由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数不可能总为增函数. 3分
（II）（i） =.
由, 则--------5分
（ii）不妨设,对于“伪二次函数”:
=, (3) 7分
由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性质，则 , (4)
比较(3)( 4)两式得，即：，(4) --------10分
不妨令， (5)
设，则，
∴在上递增， ∴.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.
∴“伪二次函数”不具有(ⅰ)的性质. -------12分

43. (变形构造，第2问用到均值不等式)
已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0.
⑴设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
⑵设h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，证明：若a≥－1，则h(x)在(0,＋∞)上单调递增；
⑶设F(x)＝f(x)＋g(x)，求证：对任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8.
解：⑴设f(x)与g(x)交于点P(x0，y0)，则有
f(x0)＝g(x0)，即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①
又由题意知f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋4a＝.②
由②解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
将x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.
令s(a)＝a2－3a2lna，则s′(a)＝2a(1－3lna)，
a∈(0,)时，s(a)递增，a∈(,＋∞)时，s(a)递减，所以s(a)≤s()＝，
即b≤，b的最大值为.
⑵h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，h′(x)＝2x＋＋4a－8，
因为a≥－1，所以h′(x)＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(x)在(0,＋∞)内单调递增．
⑶由⑵知x1＜x2时，h(x1)＜h(x2)，即F(x1)－8x1＜F(x2)－8x2.
因为x1＜x2，所以＞8.
44. 已知函数，a为正常数．
⑴若，且a，求函数的单调增区间；
⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．
⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．
解：⑴
∵a，令得或,∴函数的单调增区间为.
⑵证明：当时
∴, ∴,又
不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小，
又∵，∴ 即比较与的大小．
令,则,
∴在上位增函数．
又，∴， ∴，即
⑶∵ ，∴
由题意得在区间上是减函数．
当， ∴
由在恒成立．
设，，则
∴在上为增函数，∴.
当，∴
由在恒成立
设，为增函数,∴
综上：a的取值范围为.
45. 已知函数（）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记函数的图象为曲线．设点,是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”．试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
解：（Ⅰ）易知函数的定义域是，
．…………1分
①当时，即时, 令,解得或;
令,解得．……………2分
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减
②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；……………3分
③当时，即时, 令,解得或;
令,解得．……………4分
所以，函数在和上单调递增,在上单调递减
综上所述，
⑴当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；
⑵当时,函数在上单调递增；
⑶当时,函数在和上单调递增,在上单调递减．……………5分
（Ⅱ）假设函数存在“中值相依切线”．
设,是曲线上的不同两点，且，
则
……………7分
曲线在点处的切线斜率
，……………8分
依题意得：．
化简可得： ，即=． ……………10分
设 （），上式化为：, 即． ………12分
令,．
因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立．
所以在内不存在,使得成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数不存在“中值相依切线”．……………14分

46. 已知函数.
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，设函数，若，求证
解：（1）,，即在上恒成立
设,，时，单调减，单调增，
所以时，有最大值.，所以.
（2）当时，,
,所以在上是增函数，上是减函数.
因为，所以
即,同理.
所以
又因为当且仅当“”时，取等号.
又，,
所以,所以，
所以：.

47. 已知．
(1) 求函数在上的最小值；