垂径定理练习题汇总.doc

一．选择题（共7小题）
1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）

A．
cm
B．
cm
C．
cm或cm
D．
cm或cm

2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）

A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）

A．
6
B．
5
C．
4
D．
3

4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）

A．
OE=BE
B．
=

C．
△BOC是等边三角形
D．
四边形ODBC是菱形

5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（　　）

A．
40cm
B．
60cm
C．
80cm
D．
100cm

6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）

A．

B．
1
C．
2
D．
2

7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（　　）

A．
（5，4）
B．
（4，5）
C．
（5，3）
D．
（3，5）

二．解答题（共7小题）
8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．
（1）求证：OC=OF；
（2）求证：AB=DE．

11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．
（1）求证：四边形AEOF为菱形；
（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．

13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．

14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）
1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）

A．
cm
B．
cm
C．
cm或cm
D．
cm或cm

考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答：
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．

点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）

A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
解答：
解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
点评：
本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．

3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）

A．
6
B．
5
C．
4
D．
3

考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
解答：
解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
故选：B．

点评：
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．

4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）

A．
OE=BE
B．
=

C．
△BOC是等边三角形
D．
四边形ODBC是菱形

考点：
垂径定理．菁优网版权所有
分析：
根据垂径定理判断即可．
解答：
解：∵AB⊥CD，AB过O，
∴DE=CE，=，
根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．
故选：B．
点评：
本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．

5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（　　）

A．
40cm
B．
60cm
C．
80cm
D．
100cm

考点：
垂径定理的应用；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
解答：
解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
∴OM===60cm，
∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．
故选：A．

点评：
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）

A．

B．
1
C．
2
D．
2

考点：
轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
分析：
作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为PA+PB的最小值．
解答：
解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′=OA=×1=，
即PA+PB的最小值=．
故选：A．

点评：
本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．

7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（　　）

A．
（5，4）
B．
（4，5）
C．
（5，3）
D．
（3，5）

考点：
坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
因为点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，所以OB=2，OC=8，BC=6，连接AD，则AD⊥OD，过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3，所以OE=AD=5，再连接AB，则AB=AD=5，利用勾股定理可求出AE=4，从而就求出了A的坐标．
解答：
解：连接AD，AB，AC，再过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，
∵点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，
∴OB=2，OC=8，BC=6，
∵⊙A与y轴相切于点D，
∴AD⊥OD，
∵由垂径定理可知：BE=EC=3，
∴OE=AD=5，
∴AB=AD=5，
利用勾股定理知AE=4，
∴A（5，4）．
故选A．

点评：
本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题．

二．解答题（共7小题）
8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

考点：
垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．
解答：
解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE=AB=×8=4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OB=×10=5cm，
∴OE===3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．

点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

考点：
垂径定理；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
（1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出=，故可得出∠C=∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；
（2）在Rt△OCE中根据∠C=30°即可得出OC的长．
解答：
解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴=，AF=BF，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2，
∴BF=BC=，
∴AB=2BF=2；

（2）∵AO⊥BC，BC=2，
∴CE=BE=BC=，
∵∠C=30°，
∴OC===2，即⊙O的半径是2．
点评：
本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．

10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．
（1）求证：OC=OF；
（2）求证：AB=DE．

考点：
垂径定理；全等三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）、由同角的余角相等可得，∠DFO=∠OCA，由AAS证得△ACO≌△DFO，故有OF=OC；
（2）、证得∠DOE=∠AOB，再由SAS得到△OAB≌△ODE⇒AB=DE．
解答：
证明：（1）∵∠D+∠DCA=∠D+∠DFO=90°，
∴∠DFO=∠OAC．
又∵OD=OA，∠DOF=∠AOC=90°，
∴△ACO≌△DFO．
∴OF=OC．

（2）连接OB、OE，
∵OE=OD，OA=OB，
∴∠D=∠E，∠A=∠B．
∴∠DOE=180°﹣2∠D，∠AOB=180°﹣2∠A．
由1知，△ACO≌△DFO，有∠A=∠D．
∴∠DOE=∠AOB．
又∵OE=OD=OA=OB，
∴△OAB≌△ODE．
∴AB=DE．

点评：
本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．

11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

考点：
垂径定理的应用．菁优网版权所有
分析：
作半径OC⊥AB，连接OA，则CD即为弓形高．根据垂径定理的AD=AB，然后根据已知条件求出CD的长；当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P，由此可得OP=0.3，然后根据MN与AB在圆心同侧或异侧时两种情况解答．
解答：
解：（1）作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形高
∵OC⊥AB，
∴
∵AO=0.5，AB=0.6，
∴AD=AB=×0.6=0.3，
∴OD===0.4，
∴CD=OC﹣OD=0.5﹣0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米

（2）当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P
同理可得OP=0.3，
当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；
当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．

点评：
本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．

12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．
（1）求证：四边形AEOF为菱形；
（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．

考点：
菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，连接OC，根据等腰三角形的性质证出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；
（2）根据角平分线定理求出OQ=OM，根据勾股定理求出BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论．
解答：
证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠BAC=∠ABO，
∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，
∵OE=OB，OC=OF，
∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，
∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，
∴AE∥OF，AF∥OE，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∵OE=OF，
∴平行四边形AEOF为菱形．

（2）∵圆O过B、C，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵BO平分∠ABC，OQ⊥AB，
∴OQ=OM，
∴由勾股定理得：BM=BQ，
由垂径定理得：BE=BC．

点评：
本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识，角平分线的性质，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．

13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．

考点：
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．
解答：
解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，
∵AB=AC=13，
∴=，
∴∠AOB=∠AOC，
∵OB=OC，
∴AO⊥BC，CD=BC=12
在Rt△ACD中，AC=13，CD=12
所以AD=
设⊙O的半径为r
则在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r
所以（r﹣5）2+122=r2
解得r=16.9．
答：⊙O的半径为16.9．

点评：
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用．

14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．

考点：
垂径定理的应用．菁优网版权所有
分析：
根据题意，可以推出AD=BD=30，若设半径为r，则OD=r﹣10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．
解答：
解：∵OC⊥AB，
∴AD=DB，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
设半径为r得：r2=（r﹣10）2+302，
解得：r=50，
∴这段弯路的半径为50m．
点评：
本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．