第22章 二次函数图像与性质拔高题【答案】.doc

2016/11/24 14:57:23

一．选择题（共10小题）
1．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（　　）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
4．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
6．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3
10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）
A． B．2 C． D．

二．选择题（共10小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　　．

12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　　．

13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是　　．

14．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　　．

15．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b　　c（用“＞”或“＜”号填空）
16．如图，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为　　．

17．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　　．
18．抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是　　．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为　　．

20．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=　　．

三．选择题（共6小题）
21．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

22．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
23．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

24．如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．
（1）抛物线的对称轴为　　，顶点坐标为　　（用含k的代数式表示）．
（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC的解析式．

25．已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点．
（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；
（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围
（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围．
26．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

四．选择题（共3小题）
27．在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
求这个二次函数的解析式．
28．如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．
（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；
（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．

29．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．

五．解答题（共1小题）
30．已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）

2016/11/24 14:57:23
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2016•毕节市）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．
故选C．

2．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（　　）
A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0
【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选：B．

3．（2016•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
故选A．

4．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．

5．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．

6．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴
解得6≤c≤14，
故选A．

7．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x=﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．

8．（2016•随州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，
∴4a+b=0．故正确．
（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）错误．
（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．
（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），
∵﹣2=，2﹣（﹣）=，
∴＜
∴点C离对称轴的距离近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．
（5）正确．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．
∴正确的有三个，
故选B．

9．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3
【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1=y2＞y3，
故选D．

10．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，
解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，
解得：m=﹣2．
当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，
解得：n=，
所以m+n=﹣2+=．
故选：D．

二．选择题（共10小题）
11．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　15　．

【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，
∴设D（x，﹣x2+6x），
∵顶点C的坐标为（4，3），
∴OC==5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OC=5，BC∥x轴，
∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，
∵﹣＜0，
∴S△BCD有最大值，最大值为15，
故答案为15．

12．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为　（1+，3）或（2，﹣3）　．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，
∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，
∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，
∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＞0，
∴x=1+或x=2
∴C（1+，3）或（2，﹣3）
故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）

13．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是　P＞Q　．

【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴2a﹣b＜0，
∵﹣=1，
∴b+2a=0，
x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．
∴﹣b﹣b+c＜0，
∴3b﹣2c＞0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴3b+2c＞0，
∴p=3b﹣2c，
Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，
∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0
∴P＞Q，
故答案为：P＞Q．

14．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　（1+，2）或（1﹣，2）　．

【解答】解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），
故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．

15．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b　＜　c（用“＞”或“＜”号填空）
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，
∴b＜c，
故答案为：＜．

16．（2016•绵阳校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为　1　．

【解答】解：连接BC，如图，
根据题意得A（0，mc），即OA=mc，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=BC，OA与BC互相垂直平分，
∴C点坐标为（，），
把C（，）代入y=ax2+mc得a•（）2+mc=，
整理得amc=﹣2，
∵ac=﹣2，
∴m=1．
故答案为1．

17．（2016•新县校级模拟）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m≥﹣1　．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴≤1，
解得：m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．

18．（2016•同安区一模）抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是　（，﹣）　．
【解答】解：将（p，0）代入得：p2﹣p+p=0，
p2=0，p=0，
则y=x2﹣x=x2﹣x+﹣=（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标为（，﹣）．

19．（2016•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为　（1，）　．

【解答】解：由抛物线y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1可知A（0，2），对称轴为x=1，
∴OA=2，
∵OB=2OA，
∴B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AB为y=﹣x+2，
当x=1时，y=，
∴C（1，）．

20．（2016•闸北区二模）二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=　1　．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+b
=x2﹣2x+1+b﹣1
=（x+1）2+b﹣1
故对称轴是直线x=1．
故答案为：1．

三．选择题（共6小题）
21．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．

（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．

22．（2016•封开县二模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
【解答】解：（1）由题意，可得8=16a﹣4（a+1）及8=4k，
解得a=1，k=2，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣2x，直线的解析式为y=2x．

（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2﹣2t），
则PQ=2t﹣（t2﹣2t）=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4，
所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．

23．（2016•安徽）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
S△OAD=OD•AD=×2×4=4；
S△ACD=AD•CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；
S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，
∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．

24．（2016•江西模拟）如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．
（1）抛物线的对称轴为　直线x=1　，顶点坐标为　（1，﹣k﹣4）　（用含k的代数式表示）．
（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC的解析式．

【解答】解：（1）∵抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0），
∴对称轴为直线x=﹣=1，
当x=1时，y=k﹣2k﹣4=﹣k﹣4，
∴顶点P为（1，﹣k﹣4），
故答案为直线x=1，（1，﹣k﹣4）；
（2）由y=kx2﹣2kx﹣4=k（x﹣2）x﹣4可知，无论k取何值，抛物线总经过定点（0，﹣4）和（2，﹣4）两个点，
∵交点Q与点P关于x轴对称，
∴Q（1，k+4），
∵直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点为Q，
∴k+4=k+2k﹣1，解得k=，
∴P（1，﹣），
∵线PC与直线y=kx+2k﹣1平行，
∴设直线PC的解析式为y=x+b，
代入P（1，﹣）得﹣=+b，
解得b=﹣9，
∴直线PC的解析式为y=x﹣9．
故存在定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行，直线PC的解析式为y=x﹣9．

25．（2016•萧山区模拟）已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点．
（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；
（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围
（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围．
【解答】解：（1）由，
解得 ，
即交点M坐标为；

（2）∵二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点为，且当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，
∴≤2，
解得m≤，
∴m的取值范围为m≤；

（3）∵m=6，
∴顶点为（3，2），
∴抛物线为y=（x﹣3）2+2，
∴函数y有最小值为2，
∵当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，
∴t﹣1≤3，t+3≥3，
解得0≤t≤4．

26．（2016•湘潭一模）如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；
（2）存在，理由如下：
设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，
过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，
由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，
∴E点的坐标为（t，t﹣2），
∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，
∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，
当t=2时，S最大=4，
∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

四．选择题（共3小题）
27．（2016秋•宁县校级期中）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
8
3
0
﹣1
0
…
求这个二次函数的解析式．
【解答】解：根据题意得，
解得：，
则二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3．

28．（2016秋•丹江口市校级月考）如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．
（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；
（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．

【解答】解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2=ax2上，
∴4=a×22，
∴a=1，
则二次函数y2=x2，
又A（﹣1，n）在二次函数y2=x2上，
∴n=（﹣1）2，
∴n=1，
则A（﹣1，1），
又A、B两点在一次函数y1=kx+b上，
∴，
解得：，
则一次函数y1=x+2，
答：一次函数y1=x+2，二次函数y2=x2；

（2）根据图象可知：当﹣1＜x＜2时，
y1＞y2．

29．（2016春•江阴市校级月考）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．

【解答】 解：（1）将C（0，4）代入y=ax2+bx﹣4a中得a=﹣1
又∵对称轴为直线x=，
∴，得b=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4，
∵y=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+．
∴顶点坐标为：（，），
∴当0≤x≤4时y的取值范围是0≤y≤．
（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=﹣m2+3m+4，
解得：m=﹣1，或m=3；
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（3，4）．
又∵C（0，4），
∴CD∥AB，且CD=3．
当y=﹣x2+3x+4=0时，
解得：x=﹣1，或x=4，
∴B（4，0）；
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴∠OCB=∠DCB=45°，
∴点E在y轴上，且CE=CD=3，
∴OE=1．
即点E的坐标为（0，1）．

五．解答题（共1小题）
30．（2016秋•临沭县校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x+3），
把C（0，﹣3）代入得a×（﹣1）×3=﹣3，
解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3．
（2）∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
设P（m，n），
∵△ABP的面积为6，
∴AB•|n|=6，
解得：n=±3，
当n=3时，m2+2m﹣3=3，
解得：m=﹣1+或﹣1﹣，
∴P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）；
当n=﹣3时，m2+2m﹣3=﹣5，
解得m=0或m=﹣2，
∴P（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）；
故P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）或（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）．

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