微元法的应用PPT课件.ppt
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1、微元法的微元法的应应用用1.一、学一、学习习目目标标知知识识与技与技能能 知道微元法是分析、解决物理知道微元法是分析、解决物理问题问题的常用方法之一;的常用方法之一;了解微元法在高中物理教材中的了解微元法在高中物理教材中的应应用用实实例;例;掌握微元法解掌握微元法解题题的一般思的一般思维维程序;程序;运用微元法解决有关运用微元法解决有关连续变连续变化的相关化的相关问题问题过过程程与方与方法法 通通过应过应用微元法解用微元法解题题,体,体验验微元法的特点和微元法的特点和应应用技巧,用技巧,能把能把这这种方法和种方法和动动能定理等其他能定理等其他处处理理变变力力问题问题的方法加以的方法加以比比较较
2、;通通过过了解教材中一些了解教材中一些应应用微元法的用微元法的实实例,感悟例,感悟这这种种贯贯穿穿于整个高中物理知于整个高中物理知识识体系的思体系的思维维方法的重要地位;方法的重要地位;情感情感态态度度价价值值观观 经历经历微元法解决非匀微元法解决非匀变变速运速运动动速度和位移的关系,体会速度和位移的关系,体会化化变为变为恒、化曲恒、化曲为为直、使复直、使复杂问题简单杂问题简单化的科学思化的科学思维维方法;方法;体体验验成功的快成功的快乐乐和方法的意和方法的意义义,增,增强强科学能力的价科学能力的价值观值观 2.微元法在高考中的地位:微元法在高考中的地位:微元法是一种深刻的思微元法是一种深刻的
3、思维维方法,先分割逼近,找到方法,先分割逼近,找到规规律,再累律,再累计计求和,求和,达到了解整体的目的。关于微元法的达到了解整体的目的。关于微元法的题题目,目,连续连续几年出几年出现现在江在江苏苏高考物理高考物理试试卷中和各大高校的自卷中和各大高校的自主招生考主招生考试试中。中。微元法在教材中的广泛微元法在教材中的广泛应应用:用:在在处处理匀理匀变变速直速直线线运运动动的位移、瞬的位移、瞬时时速度,曲速度,曲线线运运动动速度方向、万速度方向、万有引力由有引力由“质质点点”向向“大的物体大的物体”过过渡、探究重力做渡、探究重力做功、功、变变力做功、推力做功、推导导第二宇宙速、推第二宇宙速、推导
4、导正弦式交正弦式交流流电电峰峰值值和有效和有效值值的关系等等的关系等等 3.微元法的一般思微元法的一般思维维程序程序4.例例1如如图图1所示,一个所示,一个质质量量为为m的的钢钢性性圆环圆环套在一根固套在一根固定的足定的足够长够长的水平直杆上,的水平直杆上,环环的半径略大于杆的半径。的半径略大于杆的半径。环环与杆之与杆之间间的的动动摩擦因数摩擦因数为为。t=0时时刻刻给环给环一个向右一个向右的初速度的初速度v0,同,同时对环时对环施加一个方向始施加一个方向始终竖终竖直向上的直向上的力力F,已知力,已知力F的大小的大小为为F=kv,(k为为大于大于0的常数且已的常数且已知,知,v为环为环的运的运
5、动动速度速度),且有,且有kv0mg,t=t1时时刻刻环环开开始沿杆做匀速直始沿杆做匀速直线线运运动动。试试求:在求:在0t1时间时间内,内,环环沿沿杆运杆运动动的距离。的距离。(一)微元法在力学中的(一)微元法在力学中的应应用用F图1GFNf环环做加速度减小的减速运做加速度减小的减速运动动,最后匀速最后匀速5.解析解析:kv1=mg,v1=mg/k 环环在在任意任意时时刻刻t 的加速度的加速度 a=(kvmg)/m 式改写式改写为为 v=k vt/mgt在在v0v1区区间间内内对对式各式各项项求和有求和有 v=kx/mgt 由由式可得式可得 v0v1=kx/mgt1 式整理得式整理得 x=m
6、(v0mg/k+gt1)/k=k x /mgt vt0v0v1t1vtt取一段取一段时间时间微元微元t0,a=v/t求:在求:在0t1时间时间内,内,环环沿杆运沿杆运动动的距离。的距离。6.练习练习1从地面上以初速度从地面上以初速度v0竖竖直上抛出直上抛出质质量量为为m的球,的球,若运若运动过动过程中受到的空气阻力与其速率成正比,程中受到的空气阻力与其速率成正比,t1时时刻刻到达最高点,再落回地面,落地到达最高点,再落回地面,落地时时速率速率为为v1,落地前,落地前球已球已经经做匀速运做匀速运动动,求:,求:作出球运作出球运动动的速率随的速率随时间变时间变化的化的图图象;象;球上升的最大高度球
7、上升的最大高度 GfvGfv7.设设上升至速度上升至速度为为v时时加速度加速度为为a,ma=mg kv对变对变化的速度、化的速度、位移从牛位移从牛顿顿定律出定律出发发,采取先微元、,采取先微元、再求和的方法再求和的方法,并注并注意意换换元的技巧。元的技巧。取一段取一段时间时间微元微元t,a=v/t 有:有:8.例例2如如图图所示,一个由所示,一个由绝缘细线绝缘细线构成的构成的刚刚性性轨轨道水道水平放置,平放置,轨轨道道OCD部分光滑,是以部分光滑,是以B为为中心,中心,l为为半径的半半径的半圆圆,AB2l,直,直轨轨道道DE部分是粗糙的且部分是粗糙的且足足够长够长。轨轨道上道上A处处有有电电荷
8、量荷量为为Q1的正点的正点电电荷,荷,B处处有有电电荷量荷量为为Q2的的负负点点电电荷(荷(|Q2|Q1)。一个)。一个质质量量为为m电电荷量荷量为为q的小的小环环套在套在轨轨道上,道上,环环与与轨轨道道间间的的动动摩擦因数摩擦因数为为。已知点。已知点电电荷荷产产生生电场时电场时,若以无若以无穷远为穷远为零零势势面,其面,其电势电势可表示可表示为为=kQ/r,Q为场为场源源电电荷,荷,r为为与与电电荷的距离。荷的距离。(1)若小)若小环环初始位置在初始位置在O处处,受到,受到轻轻微微扰动扰动后沿半后沿半圆轨圆轨道加速运道加速运动动,求小求小环环运运动动至至D处处的速度大小的速度大小v0。(二)
9、微元法在静(二)微元法在静电场电场中的中的应应用用9.解:(解:(1)根据点)根据点电电荷荷产产生的生的电势电势公式可知,公式可知,Q2在在O、D两两处产处产生的生的电势电势相等,小相等,小环环从从O运运动动到到D只有点只有点电电荷荷Q1对环对环做功,由做功,由动动能定理可得能定理可得 WOD=q(OD)=mv02/2 即即 kQ1q/l kQ1q/3l=mv02/2解得解得10.例例2(2)若小)若小环环到达到达D点后沿直点后沿直轨轨道道DE运运动动。设设小小环环在两个点在两个点电电荷荷Q1、Q2共同作用下所受共同作用下所受库仑库仑力与速度力与速度大小成正比,比例系数大小成正比,比例系数为为
10、k,经过时间经过时间t0静止,求小静止,求小环环在直在直轨轨道上运道上运动动的距离的距离x。解析:解析:设设某某时时刻刻t小小环环运运动动速度速度为为v时时加速度加速度为为 a=(mg+kv)/m取一段取一段时间时间微元微元t,a=v/t 有:有:v=(gt+kvt/m)=(gt+kx/m)v=(g t+k/m x)v0=gt0kx/m x=m(v0gt0)/k11.练习练习2,电电量量Q均匀分布在半径均匀分布在半径为为R的的圆环圆环上(如上(如图图3所示),求在所示),求在圆环轴线圆环轴线上距上距圆圆心心O点点为为x处处的的P点的点的电电场场强强度和度和电势电势 图3解析:解析:选电选电荷元
11、荷元 空空间间元元注意矢量和注意矢量和标标量不同的叠量不同的叠加方法加方法它在它在P点点产产生的生的电场电场的的场场强强的的x分量分量为为:根据根据 对对称性称性 电电荷元在荷元在P点的点的电势为电势为 12.(三)、微元法在(三)、微元法在电电磁感磁感应应中的中的应应用用 例例3.如如图图4,两根足,两根足够长够长的光滑固定平行金属的光滑固定平行金属导轨导轨与水平面成与水平面成角,角,导轨间导轨间距距为为d,两,两导导体棒体棒a和和b与与导轨导轨垂直放置,两根垂直放置,两根导导体棒的体棒的质质量都量都为为m、电电阻阻都都为为R,回路中其余,回路中其余电电阻不阻不计计。整个装置。整个装置处处于
12、垂于垂直于直于导轨导轨平面向上的匀平面向上的匀强强磁磁场场中,磁感中,磁感应应强强度的度的大小大小为为B。在。在t=0时时刻使刻使a沿沿导轨导轨向上作速度向上作速度为为v的的匀速运匀速运动动,同,同时时将将b由静止由静止释释放,放,b经过经过一段一段时间时间后也作匀速运后也作匀速运动动。已知。已知d=1m,m=0.5kg,R=0.5,B=0.5T,=30,g取取10m/s2,不,不计计两两导导棒棒间间的相互作用力。的相互作用力。bBFa图413.(三)、微元法在(三)、微元法在电电磁感磁感应应中的中的应应用用 为为使使导导体棒体棒b能沿能沿导轨导轨向下运向下运动动,a的速度的速度v不能不能超超
13、过过多大?多大?bBFa图4GFANb解析:解析:设设a的速度的速度为为v1,由于,由于b初初态态速度速度为为零,零,则则 I=E1/2R=Bdv1/2R 对对b:FA=BId=B2d2v1/2R b要下滑要下滑 FAmgsin 将将式代入式代入式得:式得:v110m/s 14.(三)、微元法在(三)、微元法在电电磁感磁感应应中的中的应应用用 例例3.如如图图4,两根足,两根足够长够长的光滑固定平行金属的光滑固定平行金属导轨导轨与水平面成与水平面成角,角,导导轨间轨间距距为为d,两,两导导体棒体棒a和和b与与导轨导轨垂直放置,两根垂直放置,两根导导体棒的体棒的质质量都量都为为m、电电阻都阻都为
14、为R,回路中其余,回路中其余电电阻不阻不计计。整个装置。整个装置处处于垂直于于垂直于导轨导轨平平面向上的匀面向上的匀强强磁磁场场中,磁感中,磁感应应强强度的大小度的大小为为B。在。在t=0时时刻使刻使a沿沿导轨导轨向上作速度向上作速度为为v的匀速运的匀速运动动,同,同时时将将b由静止由静止释释放,放,b经过经过一段一段时间时间后后也作匀速运也作匀速运动动。已知。已知d=1m,m=0.5kg,R=0.5,B=0.5T,=30,g取取10m/s2,不,不计计两两导导棒棒间间的相互作用力。的相互作用力。若若a在平行于在平行于导轨导轨向上的力向上的力F作用下,以作用下,以v1=2m/s的速度沿的速度沿
15、导轨导轨向上向上运运动动,试导试导出出F与与b的速率的速率v2的函数关系式并求出的函数关系式并求出v2的最大的最大值值;bBFa图4解析:解析:设设a的速度的速度为为v1,b的速度的速度为为v2,回,回路路电电流流为为I,则则:I=(E1+E2)/2R=Bd(v1+v2)/2R 对对a:mgsin+FA=F mgsin+B2d2(v1+v2)/2R=F 代入数据得代入数据得:F=3+v2/4(N)设设b的最大速度的最大速度为为vm,则则有:有:B2d2(v1+vm)/2R=mgsin代入数据得代入数据得:vm=8m/s GFNFAaGFANb15.(三)、微元法在(三)、微元法在电电磁感磁感应
16、应中的中的应应用用 在在中中,当当t=2s时时,b的的速速度度达达到到5.06m/s,2s内内回回路路中中产产生生的的焦焦耳耳热热为为13.2J,求,求该该2s内力内力F做的功(做的功(结结果保留三位有效数字)。果保留三位有效数字)。解析:解析:对对b:mgsinFA=ma 即即 mgsinB2d2(v1+v2)/2R=ma 取取一段一段时间时间微元微元t,a=v/t ,mg sinB2d2(v1+v2i)/2R=mv2i/t 代入数据并整理得代入数据并整理得:8v2i=2v2i/t 等式求和得等式求和得:8tv2it=2v2i 8tx2=2v2 将将t=2s,v2=5.06m/s代入上式得代
17、入上式得:x2=5.88m 解法解法1:a的位移:的位移:x1=v1t=22=4m由由动动能定理知:能定理知:mv22/20=WFmgx1sinmgx2sinWA WA=Q 代入数据得:代入数据得:WF=14.9J解法解法2:棒:棒a有一很小位移有一很小位移x1时时,力,力F做的功做的功为为Wi=Fix1=mgsin30 x1+B2d2(v1+v2i)x/2R代人数据得代人数据得 Wi=3x1+0.25v2ix1 式中式中v2i可由可由式求得:式求得:v2i=82v2i/t得:得:Wi=3x1+(82v2i/t)0.25x1=5x10.5v2 ix1/t式中式中v2i为为棒棒b在在t时间时间内
18、的速度增量,内的速度增量,x1为为棒棒a在在t时间时间的位移,所以的位移,所以x1/t=v1=2m/s,代入,代入式并求和得式并求和得 WF=5x10.5 v1v2i=5 x10.5 v1v2=54J15.06J=14.9J两种解法,其中第二种解法并未使两种解法,其中第二种解法并未使用用“2s内回路中内回路中产产生的焦耳生的焦耳热为热为13.2J,”这这一条件,所以,一条件,所以,这这是一个有多是一个有多余已知条件的高考模余已知条件的高考模拟题拟题。在条件充分的情况下,微元法并不在条件充分的情况下,微元法并不是唯一是唯一选择选择,不要形成遇到,不要形成遇到电电磁感磁感应应必用微元必用微元这样这
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