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第十二章 轴对称1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做_对称点_.一.轴对称图形1、轴对称图形：2、轴对称：2.3 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形轴对称 区别联系图形 (1)(1)轴对称图形是指()()具 有特殊形状的图形,只对()图形而言;(2)(2)对称轴()()只有一条(1)(1)轴对称是指()()图形 的位置关系,必须涉及 ()()图形;(2)(2)只有()()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.一个一个不一定两个两个一条知识回顾：3.4、轴对称的性质：关于某直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4.练习：1 1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（）A.A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.B.加拿大、瑞典、澳大利亚C.C.加拿大、瑞典、瑞士 D.D.乌拉圭、瑞典、瑞士 加拿大 韩国 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士C5.2、小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“”的样子，请你判断这个英文单词是（）(A)(B)(C)(D)A6.3 3、ABCABC与DEFDEF关于直线L L成轴对称，则CC是多少度？L6507507.解:3.8.1 1、什么叫线段垂直平分线？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2 2、线段垂直平分线有什么性质？线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 （纯粹性）。你能画图说明吗？二.线段的垂直平分线9.3.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）4.线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。10.MNAFMNAF于P PAP=AFAP=AF1 1、图中的对称点有哪些？2 2、点和的连线与直线MNMN有什么样的关系？图中的两个三角形关于直线图中的两个三角形关于直线MNMN对称对称QQp pGG直线MNMN垂直且平分线段定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。MMN NABCFDE11.轴对称的性质：如果两个图形关于某如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。段的垂直平分线。即对称点的连线被对称轴垂即对称点的连线被对称轴垂直平分。直平分。直线MNMN垂直平分线段AFAF、CDCD、BEBE类似地类似地，轴对称图形的对称，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。连线段的垂直平分线。MMN NQQp pGGABCFDEP.Q12.画画线段线段ABABABAB的垂直平分线的垂直平分线L L L L，在，在L L L L上取任意点上取任意点P P P P，量量一量一量点点P P P P到到A A A A与与B B B B的的距离距离，你有什么，你有什么发现发现？再取几个点试试。你？再取几个点试试。你能能说明说明理由吗？理由吗？动动手，你也会有发现！动动手，你也会有发现！结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等 反过来反过来,若若AP=BPAP=BPAP=BPAP=BP，结论：与一条线段两个端点距离相等的结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合距离相等的所有点的集合.则则P P P P在线段在线段ABABABAB的垂直平分线上。的垂直平分线上。13.1 1 1 1、因为、因为 ，所以，所以ABABABABACACACAC。理由：理由：2 2 2 2、因为、因为 ，所以，所以A A A A在线段在线段BCBCBCBC的中垂线上的中垂线上 理由：理由：ADADADAD为为BCBCBCBC的中垂线的中垂线ABABABABACACACAC线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。B B B BC C C CA A A AD D D D3 3、如图，NMNMNMNM是线段是线段ABABABAB的中垂线的中垂线,下列说法正确的有下列说法正确的有：。ABMN,AD=DBABMN,AD=DBABMN,AD=DBABMN,AD=DB，MNAB MNAB MNAB MNAB，MD=DNMD=DNMD=DNMD=DN，ABABABAB是是MNMNMNMN的垂直平分线的垂直平分线ABMND14.4 4 4 4、下列说法：、下列说法：若直线若直线PEPEPEPE是线段是线段ABABABAB的垂直平分线，的垂直平分线，则则EAEAEAEA=EBEBEBEB，PAPAPAPA=PBPBPBPB；若若PAPAPAPA=PBPBPBPB，EAEAEAEA=EBEBEBEB，则直线，则直线PEPEPEPE垂直垂直平分线段平分线段ABABABAB；若若PAPAPAPA=PBPBPBPB，则点，则点P P P P必是线段必是线段ABABABAB的垂直平的垂直平分线上的点；分线上的点；若若EAEAEAEA=EBEBEBEB，则过点，则过点E E E E的直线垂直平分线的直线垂直平分线段段ABABABAB其中正确的个数有（）其中正确的个数有（）A A A A1 1 1 1个个 B B B B2 2 2 2个个 C C C C3 3 3 3个个 D D D D4 4 4 4个个C C15.同步导学P26P26第1 1题到第8 8题 8 8 8 8、如图，若、如图，若AC=12AC=12AC=12AC=12，BC=7BC=7BC=7BC=7，ABABABAB的垂直平分的垂直平分线交线交ABABABAB于于E E E E，交，交ACACACAC于于D D D D，求，求BCDBCDBCDBCD的周长。的周长。DCBEA解：EDEDEDED是线段是线段ABABABAB的垂直平分线的垂直平分线 BCD BCD BCD BCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCD BCD BCD BCD的周长的周长=BD=ADBD=ADAD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=1912+7=1916.17.例 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？18.练习：如图，与图形A A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴。19.问题：对于轴对称图形而言，如何作出它们的对称轴呢？只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。20.你能作出五角星的其它对称轴吗？21.教材P35P35页第2 2题：如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请画出来。22.如图，A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站。使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？学生练习：P37P37页第9 9题23.某地有两所大学和两条相交叉的公路OAOA，OBOB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。24.变式训练：某地有两所大学和两条相交叉的公路OAOA，OBOB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。25.教材P37P37页第1111题。如图：请找出一点P P，使点P P到A A，B B两点的距离相等，并且点P P在ACBACB的平分线上。26.如图，AOBAOB内一点P P，P P1 1P P2 2分别为P P关于OAOA，OBOB的对称点，P P1 1P P2 2交OAOA于M M，交OBOB于N N，若P P1 1P P2 2=5cm=5cm，求PMNPMN的周长。27.如图，E E为AOBAOB的平分线上一点，ECOAECOA，EDOBEDOB，垂足分别为C C，D D。求证：OEOE为CDCD的垂直平分线。28.如图，长方形ABCDABCD沿着AEAE折叠，使点D D落在BCBC边上的F F点处，如果BAF=60BAF=600 0求DAEDAE，AEFAEF的度数。29.如图，把一张长方形纸片ABCDABCD对折，使点C C落在E E处与ADAD交于点O O，请写出图中所有相等的线段。30.三.用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为_.(x,y)(x,y)31.1、完成下表.已知点(2,-3)(-1,2)(-6,-5)(0,-1.6)(4,0)关于x轴的对称点关于y轴的对称点(-2,-3)(2,3)(-1,-2)(1,2)(6,-5)(-6,5)(0,-1.6)(0,1.6)(-4,0)(4,0)2、已知点P(2a+b,-3a)与点P(8,b+2).若点p与点p关于x轴对称，则a=_ b=_.若点p与点p关于y轴对称，则a=_ b=_.练 习246-20(抢答)32.例：已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(-4，1),C(-1，3)，作出ABC关于y轴对称的图形。解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，关于y轴对称点的坐标分别为A(3,5),B(4,1),C(1,3).依次连接AB,BC,CA,就得到ABC关于y轴对称的ABC.A31425-2-4-1-301 2 3 4 5-4-3-2-1cBBAC 归纳:（P44）先求出已知图形中的 特殊点(如多边形的顶点或端点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可 得到这个图形的轴对称图形.x y 33.思考：如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点,你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗?1531425-2-1 012345-4-3-2-1x=1P(-2,4)M(-1,1)N(5,-2)N(-3,-2)M(3,1)P(4,4)x y 点（x,y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x,y）34.如图，分别作出 ABC关于直线x=1（记为m)和直线y=-1（记为n）对称的图形，它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？如图：点（x,y）关于直线x=1对称的点的坐标为（2-x,y）关于直线y=-1对称的点的坐标为（x,-2-y）点（x,y）关于直线x=m对称的点的坐标为（2m-x,y）,关于直线y=n对称的点的坐标为（x,2n-y）M(-4,-3)N(-4,-7)YmXOA(-4,5)B(-1,3)C(-4,1)xnD(6,5)E(6,1)F(3,3)G(-1,-5)35.类似:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于直线y=n对称，则 ;归纳:若两点(x1，y1)、(x2，y2)关于 直线x=m对称，则;y1=y2x1=x2X2=2m-x1y2=2n-y1(m=)(n=)36.1.如图，ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？APCB结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。37.4.利用轴对称变换作图：如图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？ABLP38.1.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。ABC利用轴对称变换作图：39.由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连接任意一 对对于的对应点的线段被对称轴垂直平分。归纳：40.如果有一 个图形和一条直线，如何作出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？思考41.如何画线段AB关于直线l 的对称线段AB?ABAB作法：1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA=OA，点A就是点A关于直线l的对称点；2、类似地，作出点B关于直线l的对称点B；3、连接AB.线段AB即为所求。42.1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA=OA，例1：如图，已知 ABC和直线l，作出与 ABC关于直线l对称的图形。BAC 分析：ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形。l作法：2、类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B、C；3、连接AB、BC、CA。ABC即为所求。ABCO点A就是点A关于直线l的对称点；43.我行了：如图，已知 ABC和直线l，作出与 ABC关于直线l对称的图形。BACBAClBCBACABABC即为所求。作法：1、分别作出点B、C关于直线l的对称点B、C；2、连接AB、BC、CA。BACl作法：1、分别作出点A、B关于直线l的对称点A、B；2、连接AB、BC、CA。ABC即为所求。44.归纳 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。45.利用轴对称，可以设计出精美的图案。请你用所学的知识来欣赏下列美丽的图案46.要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？哈，我知道怎样作ABC47.下面的第二个时间可由第一个怎样变换而得到48.2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合.练习1.如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形。49.1.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）.ABMNE50.作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得 BN EM 且BN=EM,MN=CD,BD CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在 ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。ABMNECD51.2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点，作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,点B.C关于直线 a 对称,点D.E在直线 a上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处，CDABEa52.某中学七（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D,2.作点C关于直线 OB 的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOB.EDMNGH53.证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接 点D,点C关于直线OA对称，点G.H在OA上，DG=CG,DM=CM,同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HCCM+CN+MN即CM+CN+MN最短AOB.EDMNGH54.4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线，作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点F,2.作点D关于直线 OB 的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH55.证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接 点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，GF=GC,FM=CM,同理HD=HE，ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形EFGH中，FG+GH+HEFE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HDCM+MN+ND即CM+MN+ND最短FAOBD CEMNGH56.4、如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，点D为BC的中点，DEAB，垂足为点E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AD CF （2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由。AFBDEFC57.5.如图，在RtABC中，C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，CAE：DAE=1：2，求B的度数。AEDBC58.6.如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC59.7.7.如图：在ABCABC中，DEDE是ACAC的垂直平分线，AC=5AC=5厘米，ABDABD的周长等于1313厘米，则ABCABC的周长是 。ABDEC18厘米60.三.（等腰三角形)知识点回顾1.1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）2 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）61.四.（等边三角形)知识点回顾1.1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60600 0 。2 2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60600 0的等腰三角形是等边三角形。3.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30300 0，那么它所对的直角边等于斜边的一半。62.1、如图，在ABC中，AB=AC时，(1)ADBC _=_;_=_(2)AD是中线_;_=_(3)AD是角平分线_ _;_=_BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD练习：63.2 2、“有一个等腰三角形的两条边长分别是4cm和8cm，则周长为 20cm64.3 3、若等腰三角形的一个角为40400 0，则另外两个角的度数为700,700 或 400，100065.4 4、已知，如图:AB=AC :AB=AC AD=DC=BCAD=DC=BC则A=A=ABCD36066.5、已知，如图AB=AB=CD AD=BD则BAC=ABCD108067.1、哪个在镜子中的像跟原来的一样？(直线表示进镜子、垂直放置在纸条前)口 木 E 目 人 晶 S N 中 田课堂练习：68.6、如图，在 ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么 BCD的周长是_cm.ABCDE26cm69.7、如图，P、Q是ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求BAC的度数。PABCQ70.6、等腰三角形的一个角为100，底角为_7、等腰三角形的周长为16cm，腰比底长2cm，则腰长为_8、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。9、如下图ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC71.作业布置：已知，如图：ABC中 AB=AC E为AC延长线上的一点且CE=BD DE交BC于F 求证：DF=EFABCDEF(提示:过D作DGAE交BC于G证DFGEFC即可)G72.