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“解三角形”试题（自我测试）
一、选择题：（每小题5分，计40分）

1．（2008北京文）已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于（ ）
（A）135° (B)90° 　(C)45° (D)30°

2.（2007重庆理）在中，则BC =（ ）
A. B. C.2 D.

3.(2006山东文、理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=( )
（A）1 （B）2 （C）—1 （D）

4．(2008福建文)在中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若，则角B的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或

5．（2005春招上海）在△中，若，则△是（ ）
（A）直角三角形. （B）等边三角形. （C）钝角三角形. （D）等腰直角三角形.

6.（2006全国Ⅰ卷文、理）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．

7．（2005北京春招文、理）在中，已知，那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c
成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=（ ）
A． B． C． D．

二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.（2007重庆文）在△ABC中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC＝ 。

10. (2008湖北文)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知
则A＝ .

11.（2006北京理）在中，若，则的大小是___ __.

12.（2007北京文、理) 在中，若，，，则________．

13．(2008湖北理)在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC的值为 .

14．（2005上海理）在中，若，，，则的面积S=_______

三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
15．(2008全国Ⅱ卷文) 在中，，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求的面积．

16.（2007山东文）在中，角的对边分别为．
（1）求； （2）若，且，求．

17、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。

18.（2006全国Ⅱ卷文）在,求
（1） (2)若点

19.（2007全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2bsinA
(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求的取值范围.

O
北
东O
y
线
岸
O
x
Q
r(t)）
P

海
20.（2003全国文、理，广东）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计40分）

二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.； 10. 30° ； .11. __ 60O _. 12. ； 13． ； 14．
三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
15．解：（Ⅰ）由，得，由，得．
所以．
（Ⅱ）由正弦定理得．
所以的面积．

16.解：（1）
又 解得．
，是锐角． ．
（2）∵，即abcosC= ，又cosC= ．
又 ． ．
． ．

17．解：（Ⅰ）因为，，所以．
所以．
（Ⅱ）在中，，
由正弦定理．
故

18．解：（1）由

由正弦定理知
（2），
由余弦定理知

19.解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，，．
解得 所以，
所以．由此有，
所以，的取值范围为．

20.解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，|PQ|=20t，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，
O
北
东O
y
线
岸
O
x
Q
r(t)）
P

海
由，可知，
cos∠OPQ=cos(θ-45o)= cosθcos45o+ sinθsin45o
=
在 △OPQ中，由余弦定理，得

=
=
若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
，
整理，得，解得12≤t≤24,
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

1．正弦定理：
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ；
3 .射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA
4.（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos=sin, sin=cos
（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB
5．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：
bsinA<a<b时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；a<bsinA时无解。
6．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
　　（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
7．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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