钢管切割(最优化).doc

一问题重述
用若干8米长角钢材料切割钢窗用料100副，每副钢窗分别需2根1.5m2根1.45m3根1.3m12根0.35m用料，试建立下料最节省的数学模型或方法。
二符号说明
Xi:第i种切割模式所用的8米长的钢管数。
X(ij)：第i种切割方式一根8米长钢管生产j原件的个数。
C(i)：第i种用料的长度。
三基本假设
（1） 假设8米长的原材料充足。
（2） 假设所切割下的用料全部合格。
（3） 假设有四种不同的切割方式。
四问题分析
根据原材料的切割要求及所提问题，该问题可以转化为一个以总材料最省为目标函数的优化模型。由于切割用料的规格不同，为最节省材料，所以假设有四种不同的切割方式。最终建立目标函数。
五模型的建立与求解
根据假设（三）列出表格：
切割方式
钢管类型
1（1.5m）
2（1.45m）
3（1.3m）
4（0.35m）
1
X11
X12
X13
X14
2
X21
X22
X23
X24
3
X31
X32
X33
X34
4
X41
X42
X43
X44
根据表格及以上分析建立模型：
目标函数：min=x1+x2+x3+x4;
x1*x11+x2*x21+x3*x31+x4*x41=200;
x1*x12+x2*x22+x3*x32+x4*x42=200;
x1*x13+x2*x23+x3*x33+x3*x43=300;
x1*x14+x2*x24+x3*x34+x4*x44=1200;
1.5*(x1*x11+x2*x21+x3*x31+x4*x41)=300;
1.45*(x1*x12+x2*x22+x3*x32+x4*x42)=290;
1.3*(x1*x13+x2*x23+x3*x33+x4*x43)=390;
0.35*(x1*x14+x2*x24+x3*x34+x4*x44)=420;
x11*1.5+x12*1.45+x13*1.3+x14*0.35<=8;
x21*1.5+x22*1.45+x23*1.3+x24*0.35<=8;
x31*1.5+x32*1.45+x33*1.3+x34*0.35<=8;
x41*1.5+x42*1.45+x43*1.3+x44*0.35<=8;
x11*1.5+x12*1.45+x13*1.3+x14*0.35>7.65;
x21*1.5+x22*1.45+x23*1.3+x24*0.35>7.65;
x31*1.5+x32*1.45+x33*1.3+x34*0.35>7.65;
x41*1.5+x42*1.45+x43*1.3+x44*0.35>7.65;
@gin(x11);
@gin(x12);
@gin(x13);
@gin(x14);
@gin(x21);
@gin(x22);
@gin(x23);
@gin(x24);
@gin(x31);
@gin(x32);
@gin(x33);
@gin(x34);
@gin(x41);
@gin(x42);
@gin(x43);
@gin(x44);
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
运用lingo软件对此模型求解，可得（原始结果见附录一）：
切割方式
钢管类型
1（1.5m）
2（1.45m）
3（1.3m）
4（0.35m）
1
1
1
2
7
2
2
2
0
6
3
3
2
0
1
4
2
3
0
1
附录一：
Local optimal solution found.
Objective value: 175.0000
Objective bound: 175.0000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 91
Total solver iterations: 4787

Variable Value
X1 150.0000
X2 25.00000
X3 0.000000
X4 0.000000
X11 1.000000
X21 2.000000
X31 3.000000
X41 2.000000
X12 1.000000
X22 2.000000
X32 2.000000
X42 3.000000
X13 2.000000
X23 0.000000
X33 0.000000
X43 0.000000
X14 7.000000
X24 6.000000
X34 1.000000
X44 1.000000

Row Slack or Surplus
1 175.0000
2 0.000000
3 0.000000
4 0.000000
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 0.000000
9 0.000000
10 0.000000
11 0.000000
12 0.2500000
13 0.3000000
14 0.3500000
15 0.3500000
16 0.1000000
17 0.5000000E-01