高等数学 知识点串讲.doc

高等数学 知识点串讲

I、高数知识点框架

一元函数极限、连续
一元函数微分学
一元函数微积分 （导数与微分、中值定理以及导数的应用）
一元函数积分学
（不定积分、定积分以及定积分的应用）
一元函数微积分的应用：常微分方程

多元函数极限、连续
多元函数微分学
多元函数微积分 （偏导数与全微分及多元微分学的应用）
多元函数积分学：重积分，曲线面积分
多元函数微积分的应用：无穷级数

II、高数各章节知识点

一、函数、极限、连续
1、函数：单调性（定义，判定），
有界性，
周期性（定积分），
奇偶性（定积分，二重积分的简化运算）；
2、极限：各种计算方法
（有界与无穷小的乘积，夹逼准则，单调有界有极限，重要极限，单函数及两函数差的等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒展开式；定积分的定义，导数定义）
无穷小的比较（高阶+同阶+等价）
3、连续：定义，闭区间连续函数的性质（零点定理，有界，介质，最值），间断点类型判断。
二、导数与微分
1、导数的定义：增量比的极限；
2、基本求导公式+常见函数的导数（复合函数，反函数，分段函数，幂指函数，隐函数，变上限积分函数）+高阶导；
3、微分，一阶微分形式不变性
三、微分中值定理及应用
1、罗尔，拉格朗日，柯西：定理内容，区别，关系
（导数定义--费马---罗尔---拉格朗日----柯西）
2、三大中值定理在考研中的应用
罗尔：含有中值等式的证明，导数或者高阶导数零点存在性证明和零点个数的估计；
拉格朗日：含有端点函数值的中值等式证明，不等式的证明，利用拉格朗日研究函数有界性问题；
柯西：含有两个函数的中值等式证明；
（双中值定理的证明）
3、 导数的应用（单调性，凹凸性；极值点，拐点以及各自的第一、二充分条件和必要条件；曲率，渐近线3类）
四、 不定积分
1、 相关概念（不定积分、原函数，涉及奇偶性、单调性、周期性的客观题）；
2、 基本积分公式（必须熟悉）
3、 不定积分的计算
凑微分法+第二换元积分法（三角代换、幂代换、倒代换）+分部积分法（“指三幂对反”的顺序选择v）+特殊类型函数的积分（有理函数--拆项法、三角函数、简单无理函数）。
五、 定积分及其应用
1、定积分的定义（2条件，四步骤，应用：无穷和式的极限）；
2、定积分的计算：方法相同于不定积分+牛顿-莱布尼茨公式+积分中值定理；
3、反常积分（无穷区间上的广义积分+无界函数的广义积分）；
4、定积分的应用（平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积、旋转体的侧面积、平行截面面积已知的立体体积，物理应用）。
六、常微分方程
1、一阶微分方程：变量可分离，齐次微分方程，一阶线性微分方程（各类方程的形式以及求解方法）；
2、可降阶微分方程（n阶导，不显含y，不显含x,--不显含x,y）;
3、二阶线性微分方程
性质：齐次通解+非齐次特解=非齐次通解；
齐次通解的求解方法：特征方程法；（解的表示）
非齐次的特解假设（待定系数法）（指数+多项式+三角函数）。
七、 多元函数微分法及其应用
1、多元函数的概念、极限、连续；
2、多元函数的偏导数（偏导的定义，隐函数+复合函数的偏导，二阶偏导）；
3、多元函数的全微分（可微等价定义+全微分形式不变性）
连续、偏导、可微之间的关系
4、 多元函数的极值（一般极值，条件极值，多元连续函数在有界闭区域上的最值）。
八、 重积分
1、二重积分的概念（参照定积分理解几何意义），性质；
2、二重积分的计算（直角坐标，极坐标，特殊简化运算）。
3、三重积分的计算
（直角：投影&平面截割；柱坐标，球坐标，简化运算）。
九、 无穷级数
1、正项级数、交错项级数敛散性判别；
2、幂级数求和（半径、收敛区间、收敛域，方法：）；
3、函数的幂级数展开式。
十、 曲线、曲面积分
1、I型曲线、曲面积分计算；
2、II型曲线、曲面计算；
3、三大公式(格林、高斯、斯托克斯)
（条件不满足时格林、高斯的应用计算题：补线&面；挖洞）