第2章--点、直线、平面的投影.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2016/9/28 Wednesday,#,01,第,2,章 点,、直线、平面的投影,2.1,点的投影,点的三面投影,点的投影与直角坐标的关系,1,2,两点的相对位置,3,作点的轴测图,4,点,、直线、平面是构成形体的基本几何元素。,2.1,点的投影,面,B,C,D,A,线,点,1.,点的三面投影,2.1,点的投影,W,投影面展开,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a,Y,a,Z,a,X,a,a,V,H,Y,W,H,面向下旋转,90,H,W,面向右旋转,90,O,X,Z,Y,H,a,x,a,z,a,a,y,a,y,a,a,V,面不动,1.,点的三面投影,2.1,点的投影,点的投影规律：,(1),点,的投影连线，必定垂直于相应的投影轴。,(2),点,的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即“影轴距等于点面距”。,2.,点的投影与直角坐标的关系,2.1,点的投影,点,的空间位置，可用直角坐标来表示，点,A,坐标的规定书写形式为：,A(x,y,z),。,点到各投影面的距离，为相应的坐标数值,X,，,Y,，,Z,。,例,1:,已知点,A(12,，,10,，,15),，判定点,A,的空间位置，并求点,A,点的三面投影图。,2.1,点的投影,1.,作投影轴,；,2.,量取：,Oa,x,=12,、,Oa,z,=15,、,Oa,YH,=Oa,YW,=10,得,a,x,、,a,z,、,Oa,YH,、,Oa,YW,等点；,作图步骤,:,a,a,a,O,X,Y,W,H,Y,Z,a,Z,15,YW,a,YH,a,10,a,X,12,3.,过,a,x,、,a,z,、,a,YH,、,a,YW,等点分别作所在轴的垂线，交点,a,、,a,、,a,既为所求。,例,2,：已知点的两个投影，求第三投影。,2.1,点的投影,a,a,a,x,a,a,a,a,x,a,z,a,z,解法一,:,解法二,:,a,通过作,45,线使,a,a,z,=aa,x,用圆规直接量取,a,a,z,=aa,x,3.,两点的相对位置,2.1,点的投影,两点的相对位置指两点在空间的,左右、前后、上下,位置关系。,x,坐标大的在左；,y,坐标大的在前；,z,坐标大的在上。,判断方法：,B,点在,A,点,的,左、前、下方。,上,下,后,左,右,前,两点重影,2.1,点的投影,当空间两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。,(),H,面重影，,被挡住的投影加,(),2.2,直线的投影,直线的三面投影,属于直线的点,1,2,各种位置平面的投影,3,两直线的相对位置,4,1.,直线的三面投影,2.2,直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。,2.,属于直线的点,2.2,直线的投影,如果一个点在直线上，则该点的各个投影必在该直线的同面投影上。反之，如果点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点一定在该直线上。,直线与点的相对位置,2.2,直线的投影,A,B,V,H,C,b,c,a,c,b,a,e,e,C,点,在,直线,AB,上；,D,点,不在,直线,AB,上。,D,例,1,：判断点,K,是否在线段,AB,上。,2.2,直线的投影,a,b,k,因,k,不在,a,b,上，,故,点,K,不在,AB,上。,a,b,k,a,b,k,3.,各种位置直线的投影,2.2,直线的投影,投影面平行线,平行于某一投影面而,与其余两投影面倾斜,投影面垂直线,正平线,（平行于面）,侧平线,（平行于面）,水平线,（平行于面）,正垂线,（垂直于面）,侧垂线,（垂直于面）,铅垂线,（垂直于面）,一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线,统称特殊位置直线,垂直于某一投影面,投影特性：,（,1,）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜；,（,2,）一般位置直线的各面投影的长度均小于实长,。,一般位置直线,2.2,直线的投影,2,、,投影面平行线,投影特性,：,1.,在其平行的那个投影面上的投影反映实长,，并,反映直线与另两投影面倾角。,2.,另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,2.2,直线的投影,与,H,面的夹角,:,与,V,面的角,:,与,W,面的夹角,:,2.2,直线的投影,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,水平线,侧平线,正平线,实长,实长,实长,b,a,a,a,b,b,3,、投影面垂直线,投影特性：,1.,在其垂直的投影面上，,投影有积聚性,。,2.,另外两个投影面上，,投影反映线段实长,。且,垂直于相应的投影轴。,2.2,直线的投影,2.2,直线的投影,铅垂线,正垂线,侧垂线,c,(,d,),c,d,d,c,a,b,a(b),a,b,e,f,e,f,e,(,f,),积聚为点,积聚为点,积聚为点,d,C,d,d,d,C,AB,为水平线,CD,为侧平线,2.2,直线的投影,例,2,：判断下列直线的空间位置,例,3,在立体的投影上判断直线的位置,AB,水平,线；,SB,侧平,线；,AC,侧垂,线；,SA,一般位置,线。,2.2,直线的投影,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各,同面投影必相互平行,，反之亦然。,4.,两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：,平行、相交、交叉。,2.2,直线的投影,a,b,c,d,a,b,c,d,例,4,：判断图中两条直线是否平行。,对于,一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,结论：,AB/CD,X,2.2,直线的投影,对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,结论,:AB,与,CD,不平行,例,5,：判断图中两条直线是否平行,2.2,直线的投影,c,b,a,d,d,b,a,c,b,d,c,a,2.,两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,2.2,直线的投影,H,V,X,A,B,C,D,a,b,c,d,a,b,c,d,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,交点是两直线的共有点,k,k,K,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,例,6,：过,C,点作,水平线,CD,与,AB,相交,先作正面投影,2.2,直线的投影,3.,两直线交叉,同名投影可能相交，但,“交点”不符合点的投影规律，,是两直线上的一 对,重影点的投影。,、,是面的重影点，,、,是,H,面的重影点。,AB,与,CD,两直线相交吗,结论：,AB,与,CD,两直线不相交,2.2,直线的投影,1,2,d,b,a,a,b,c,d,c,1,(,2,),3(4),3,4,平面的表示法,各种位置平面的投影,1,2,平面上直线和点的投影,3,2.3,平面的投影,1.,平面的表示法,不属于同一直线的三点可确定一平面。因此平面可以用如图所示的任何,一组几何要素的投影来表示。在投影图中，常用平面图形来表示空间的平面。,2.3,平面的投影,2.,各种位置平面的投影,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,特殊位置平面,正垂面,侧垂面,铅垂面,正平面,侧平面,水平面,2.3,平面的投影,一般位置平面,投影,特性,:,三面投影都是小于原平面图形的类似形,a,b,c,c,a,b,b,a,a,a,b,b,c,c,b,a,c,A,B,C,2.3,平面的投影,铅垂面,投影特性：,1.H,面投影积聚成一直线,反映平面与,V,面夹角,和与,W,面夹角,；,2.V,面和,W,面投影是类似形。,2.3,平面的投影,正垂面,投影特性：,1.V,面投影积聚为一直线,反映直线与,H,面夹角,和与,W,面夹角,；,2.,H,面投影和,W,面投影为,类似形。,2.3,平面的投影,侧垂面,投影特性：,1.W,面投影积聚为一直线,反映平面与,V,面的夹角,和与,H,面的夹,；,2.V,面投影和,H,面投影为,类似形。,2.3,平面的投影,投影面垂直面,投影特性,总结,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,2.3,平面的投影,投影面平行面,投影特性：,(1),水平投影,abc,反映,ABC,实形；,(2),a,b,c,、,a,b,c,积聚为一条线,。,C,A,B,a,b,c,b,a,c,a,b,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,水平面,2.3,平面的投影,直线的位置,直 观 图,正平面,投 影 图,投影特性,侧平面,水平面,C,B,A,b,c,a,b,b,a,c,1,水平投影反映实形。,2,正面投影积聚成平行于,X,轴的直线。,3,侧面投影积聚成平行于,Y,轴的直线。,1,正面投影反映实形。,2,水平投影积聚成平行于,X,轴的直线。,3,侧面投影积聚成平行于,Z,轴的直线。,1,侧面投影反映实形。,2,正面投影积聚成平行于,Z,轴的直线。,3,水平投影积聚成平行于,Y,轴的直线。,投影面平行面,投影特性,总结,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,2.3,平面的投影,例,1,在立体的投影上判断平面的位置,SAB,面,？,ABC,面？,SAC,面,？,水平面,一般位置,侧垂面,2.3,平面的投影,条件 一,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,1,、属于平面的直线,3.,平面上直线和点的投影,M,N,2.3,平面的投影,条件 二,若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,A,B,M,2.3,平面的投影,有无数解,a,b,b,a,a,b,n,b,n,a,d,m,n,n,m,d,例,2,：已知平面由直线,AB,、,AN,所确定，试在平面,内,任作一条直线。,解法一：,解法二,：,根据条件一,有多少解,根据条件二,2.3,平面的投影,属于平面的点（平面上取点）,方法,：先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,条件：若一点属于平面内一条线，则此点属于该平面。,2.3,平面的投影,例,3,：已知,K,点在平面,ABC,上，求,K,点的水平投影。,b,a,c,a,k,b,c,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,d,d,a,b,c,a,b,k,c,k,2.3,平面的投影,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,例,4,：已知,AC,为正平线，补全,平行四边形,ABCD,的水平投影。,2.3,平面的投影,换面法的概念,点的投影变换,1,2,直线的投影变换,3,2.4,投影变换,a,1,c,1,b,1,V,1,X,1,X,1,换面法,空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。,V,/,H,体系变为,V1,/,H,体系,c,1,b,1,a,1,bc,a,b,a,c,X,1.,换面法的概念,新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：,1新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。,2,新投影面必须垂直于一个不变投影面。,新投影面的选择原则,2.,点的投影变换规律,1,点的一次变换,2,点的投影变换规律,3,点的两次变换,X,1,V,1,a,1,点的一次变换,a,1,X1,V,1,a,1,X,1,H,V,1,V,1,a,1,点的一次变换,点,的投影变换,规律,（,1,）点,的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。,（,2,）点,的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。,点的一次变换,H,1,X,1,X,1,H,1,V,a,1,a,1,点在,V/H1,体系中的投影,a,2,点的两次变换,X,2,H,2,V,1,2,X,2,a,2,V1,X1,2.,直线的,投影,变换,a,1,b,1,a,1,b,1,X,1,V,1,H,例题,1,把一般位置直线变为,H,1,投影面平行线,X,1,H,1,V,a,1,b,1,a,c,X,V,H,b,b,a,c,4.,平面的投影变换,c,d,d,D,X,1,H,1,a,1,c,1,b,1,d,1,d,X,1,H,1,V,d,b,1,a,1,c1,d,1,k,1,X,1,H,1,V,b,1,a,1,c,1,d,1,s,1,例题,2,求点,S,到平面,ABC,的距离,距离,Thanks,