一种保单调的有理逼近细分算子.pdf
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1、 第4 1卷 第4期 佳 木 斯 大 学 学 报(自 然 科 学 版)V o l.4 1N o.4 2 0 2 3 年0 7月 J o u r n a l o f J i a m u s iU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u l y 2 0 2 3文章编号:1 0 0 8-1 4 0 2(2 0 2 3)0 4-0 1 7 5-0 6一种保单调的有理逼近细分算子朱 洪,王翠翠(安徽三联学院 基础部,安徽 合肥2 3 0 6 0 1)摘 要:在研究插值逼近细分算法的基础上,提出一种具体的五点有理逼近算子,
2、利用生成多项式的方法对其光滑性进行分析,其可产生C5连续的极限曲线。并进一步对该算法的保单调性进行理论分析,阐述详细的推导过程。同时给出数值实验,结果表明在控制点集严格单调递增(递减)的情况下,可以保证在数据允许范围内极限曲线的单调性不发生改变。关键词:细分算子;生成多项式;光滑性;保单调性中图分类号:T P 3 9 1 文献标识码:A0 引 言细分算法是指对初始的控制多边形按照一定的规则进行不断的细化而逐步得到的光滑曲线或曲面,其在计算机动画、计算机辅助几何设计等相关领域中已有广泛的应用。而在几何设计造型中,曲面或曲面的保单调性也是值得研究的课题。近年来,L i等1构造出一种保单调的细分格式
3、,该插值细分方案保持局部不变和仿射不变的性质。刘永春等2讨论了含有可调节参数的有理插值样条,通过选取适当的形状参数使曲线保持单调性。李闪闪3提出了参数方程函数的有理插值,利用插值曲线表示数据时,保持了原有数据的单调性。S i d d i q i等4构造出动态的四点插值细分算法,并进行了保形性分析。孙庆华等5提出了一种含有形状参数的有理样条分形插值曲线,通过约束迭代函数的参数,给出了单调曲线的插值系统。P e r v e z等6对含有张力参数的四点三重动态插值细分算法进行了保形性研究。Z h a n g等7构造了动态五点三重插值和逼近混合的细分算法,生成的极限曲线可以达到C4连续。黄丙耀等8得到
4、一种C4连续的混合型五点三重曲线细分方法,通过对参数的调整能够灵活地处理极限曲线的形状。T a n等9提出了一种动态的三重四点保形性的插值细分算法,利用张力参数可以有效地处理尖点,并对其保形性进行了证明。针对提出的五点细分格式,对其光滑性进行简单分析,主要分析在原始给定的控制点集是严格单调递增(递减)的情况下,利用提出的细分方案,可以保证在数据允许范围内生成的极限曲线仍满足单调递增(递减)。1 光滑性分析定理11 0 设 二 重 细 分 格 式S的 掩 模a=aj i和相应的第j阶差分格式Sj(j=1,2,n+1)的掩模为a(j)=a(j)i i满足ia2i=ia2i+1,ia(j)2i=ia
5、(j)2i+1,j=1,2,n且存在一正整数L,使得(12Sn+1)L1,则由该细分格式生成的极限曲线是Cn连续的。对于细分格式pk+12i=1+3 36 4(1-2)pki-2+2 16 4pki-1+3 5-1 6 86 4(1-2)pki+7+4 26 4(1-2)pki+1+76 4(1-2)pki+2pk+12i+1=76 4(1-2)pki-2+7+4 26 4(1-2)pki-1+3 5-1 6 86 4(1-2)pki+2 16 4pki+1+1+3 36 4(1-2)pki+2(1)收稿日期:2 0 2 3-0 5-1 7基金项目:安徽省高校自然科学研究重点项目(K J 2
6、0 2 0 A 0 8 1 3);安徽省高校优秀青年骨干教师国内访问研修项目(g x g n f x 2 0 2 1 1 7 1);安徽省高校自然科学研究重点项目(K J 2 0 1 9 A 0 8 8 7)。作者简介:朱洪(1 9 8 5-),女,安徽亳州人,副教授,硕士,研究方向:计算机辅助几何设计。佳 木 斯 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2 0 2 3年此时,取=-11 6时,得如下五点细分格式:pk+12i=-1 71 1 5 2pki-2+2 16 4pki-1+7 2 81 1 5 2pki+7 01 1 5 2pki+1-71 1 5 2pki+2pk+12i+1=-71
7、 1 5 2pki-2+7 01 1 5 2pki-1+7 2 81 1 5 2pki+2 16 4pki+1-1 71 1 5 2pki+2(2)定理 由五点二重细分格式(2)生成的极限曲线是C5连续的。证明:细分格式(2)的生成多项式为:(z)=17 2-71 6z-5-1 71 6z-4+7 01 6z-3+1 8 98z-2+9 12z-1+9 12+1 8 98z+7 01 6z2-1 71 6z3-71 6z4 所以 (1)(z)=2z1+z(z)=13 6-71 6z-4-58z-3+5z-2+1 4 98z-1+2 1 58+1 4 98z+5z2-58z3-71 6z4 (2
8、)(z)=2z1+z 2(z)=11 8-71 6z-3-31 6z-2+8 31 6z-1+2 1 51 6+2 1 51 6z+8 31 6z2-31 6z3-71 6z4 (3)(z)=2z1+z 3(z)=19-71 6z-2+14z-1+7 91 6+1 72z+7 91 6z2+14z3-71 6z4 (4)(z)=2z1+z 4(z)=29-71 6z-1+1 11 6+1 74z+1 74z2+1 11 6z3-71 6z4 (5)(z)=2z1+z 5(z)=49-71 6+98z+2 58z2+98z3-71 6z4 (6)(z)=2z1+z 6(z)=89-71 6z+2
9、 51 6z2+2 51 6z3-71 6z4 有iZa(j)2i=iZa(j)2i+1=1,j=0,1,2,3,4,5,612S1=17 2m a x2-11 6+25+2 1 58,2-58+21 4 98 =7 71 4 4112S2=13 6m a x-71 6+8 31 6+2 1 51 6+-31 6 =7 71 4 4112S3=11 8m a x2-71 6+27 91 6,214+1 72 =4 37 2112S4=19m a x-71 6+1 74+1 11 6 =4 37 2112S5=29m a x2-71 6+2 58,298 =89112S6=49m a x-71
10、6+2 51 6 =891 根据定理1知,该细分格式(2)生成的极限曲线是C5连续的。2 保单调性分析定理2 设一组点列是f0i iZ满足 f0-1f00f01f0n-1f0n0,1Qk,k0,kZ,iZ(3)证明:利用数学归纳法,当k=0时,有D0i=671第4期朱 洪,等:一种保单调的有理逼近细分算子f0i+1-f0i0,1Q0显然成立,假设n=k时,(3)式成立,欲证n=k+1时,(3)式也成立。以下先证Dk+12i0和Dk+12i+10当11 4 95时,Dk+12i=fk+12i+1-fk+12i=-1 01 1 5 2(fki-1-fki-2)+2 9 81 1 5 2(fki-f
11、ki-1)+2 9 81 1 5 2(fki+1-fki)-1 01 1 5 2(fki+2-fki+1)=-1 01 1 5 2Dki-2+2 9 81 1 5 2Dki-1+2 9 81 1 5 2Dki-1 01 1 5 2Dki+1=11 1 5 2Dki-1-1 0qki-2+2 9 8+2 9 8qki-1-1 0qki-1qki 11 1 5 2Dki-12 9 8-1 0+(2 9 8-1 0)qki-1 11 1 5 2Dki-12 9 8-1 0+(2 9 8-1 0)1 =11 1 5 2Dki-1-1 02+2 8 8+2 9 80(4)当11 6 6+4 5 0 2
12、84 2时,Dk+12i+1=fk+12i+2-fk+12i+1=-71 1 5 2(fki-1-fki-2)+8 01 1 5 2(fki-fki-1)+4 3 01 1 5 2(fki+1-fki)+8 01 1 5 2(fki+2-fki+1)-71 1 5 2(fki+3-fki+2)=-71 1 5 2Dki-2+8 01 1 5 2Dki-1+4 3 01 1 5 2Dki+8 01 1 5 2Dki+1-71 1 5 2Dki+2=11 1 5 2Dki-1-7qki-2+8 0+4 3 0qki-1+8 0qki-1qki-7qki-1qkiqki+1 11 1 5 2Dki-
13、1-7+8 0+4 3 0+(8 0-7)1 1 =11 1 5 2Dki-1-73+8 02+4 2 3+8 02(5)令F()=-73+8 02+4 2 3+8 0,F()0,则F()F(1)0,即有Dk+12i+10。再证1Qk+1。(I)qk+12i=Dk+12i+1Dk+12i=-7qki-2+8 0+4 3 0qki-1+8 0qki-1qki-7qki-1qkiqki+1-1 0qki-2+2 9 8+2 9 8qki-1-1 0qki-1qkiqk+12i-=8 0-2 9 8+1 01qki-2-7qki-2+4 3 0qki-1-2 9 8qki-1+(8 0qki-7qk
14、iqki+1+1 0qki)qki-1-1 0qki-2+2 9 8+2 9 8qki-1-1 0qki-1qki 要使得上式小于零,由公式(4)知,分 母为1 1 5 2Dk+12iDki-1大于零,现证分子小于零。当12 1 8-3 0 6 0 42 0时,8 0-2 9 8+1 01qki-2-7qki-2+4 3 0qki-1-2 9 8qki-1+(8 0qki-7qkiqki+1+1 0qki)qki-18 0-2 9 8+(1 0-7)+(4 3 0-2 9 8)+(8 0-71+1 0)qki-18 0-2 9 8+1 02-7+(1 02-2 1 8+4 2 3)=(-1)(
15、1 02-1 9 8-8 0)0当2 1 8-3 0 6 0 42 02 1 8+3 0 6 0 42 0时,8 0-2 9 8+1 01qki-2-7qki-2+4 3 0qki-1-2 9 8qki-1+(8 0qki-7qkiqki+1+1 0qki)qki-18 0-2 9 8+1 02-7+(1 02-2 1 8+4 2 3)1=(-1)(1 02-2 8 5-4 2 3)0因此,当12 1 8+3 0 6 0 42 0时,有qk+12i。771佳 木 斯 大 学 学 报(自 然 科 学 版)2 0 2 3年(I I)qk+12i+1=Dk+12i+2Dk+12i+1=-1 01qk
16、i-11qki+2 9 81qki+2 9 8-1 0qki+1-71qki-21qki-11qki+8 01qki-11qki+4 3 01qki+8 0-7qki+1qk+12i+1-=2 9 8-8 0+(7-1 0)qki+1+(2 9 8-4 3 0)1qki+(-8 0-1 0)1qki-11qki+71qki-21qki-11qki-71qki-21qki-11qki+8 01qki-11qki+4 3 01qki+8 0-7qki+1 根据公式(5)知,分母为1 1 5 2Dk+12i+1Dki+1大于零,分子满足当11 07时,2 9 8-8 0+(7-1 0)qki+1+(
17、2 9 8-4 3 0)1qki+(-8 0-1 0)1qki-11qki+71qki-21qki-11qki2 9 8-8 0+(7-1 0)qki+1+(2 9 8-4 3 0)+(-8 0-1 0)1+711qki2 9 8-8 0+(7-1 0)qki+1+(2 1 8-1 0-4 2 3)12 9 8-8 0+(7-1 0)1+(2 1 8-1 0-4 2 3)1=(-1)(-8 02-1 9 8+1 0)20 当1 071 6 6+4 5 0 2 84 2时,2 9 8-8 0+(7-1 0)qki+1+(2 9 8-4 3 0)1qki+(-8 0-1 0)1qki-11qki+
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