岩石强度准则的主应力显式表达式几何推导及应用.pdf
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1、千佳信等尝石强度准则的主应力显式美达式几何推及应田力学上守战20224512):56534引用格式付白国本化2023年力与6月第45卷第3期实践学岩石强度准则的主应力显式表达式几何推导及应用1)付自国*,李化*,t,2)王佳信*邓建辉*,十陈菲(四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室,成都6 10 0 6 5)(四川大学地质工程与地质灾害研究所,成都6 10 0 6 5)(昆明理工大学国土资源工程学院,昆明6 50 0 9 3)(成都大学建筑与土木工程学院,成都6 10 0 6 5)摘要主应力是岩石强度准则的基本量,然而,给定应力张量求解主应力的三次特征方程通常难以求解。本文通过几何关
2、系将主应力的三次代数方程转化为三元一次方程组的求解,最终建立了三个主应力关于应力张量不变量的显式表达式,并着重推演了其在静水压力效应的刻画、三维强度准则的推导和空间屈服面的绘制中的应用。可为岩石真三轴试验数据可视化提供参考,同时丰富了弹塑性力学教学内容。关键词同岩石,主应力公式,强度准则,屈服面中图分类号:0 3 4文献标识码:Adoi:10.6052/1000-0879-22-400A GEOMETRIC DERIVATION OF THE EXPLICIT EXPRESSIONS WITHRESPECTTOTHEPRINCIPAL STRESSESFORROCKSTRENGTHCRITER
3、IA AND ITS APPLICATIONS1)FU Ziguo*tLI Hua*,t,2)WANG Jiaxin*DENG Jianhui*,tCHEN Feitt(State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering,Sichuan University,Chengdu 610065,China)t(Institute of Geo-engineering and Geohazards,Sichuan University,Chengdu 610065,China)*(Faculty of Land Resou
4、rce Engineering,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China)+t(College of Architecture and Civil Engineering,Chengdu University,Chengdu 610065,China)Abstract Principal stresses are essential variables to establish strength criteria for rocks.However,it isusually difficult to so
5、lve the cubic characteristic equation to obtain the principal stresses for a given stresstensor.In this paper,explicit expressions of the principal stresses with respect to stress invariants are derived bytransforming the cubic algebraic equation of principal stresses into the three-dimensional firs
6、t-order equationsthrough a geometric relation.Then,we emphatically introduce the applications of the derived formula in thedomain of rock strength criteria,including quantitative characterization of hydrostatic pressure effect for rocks,derivation of three-dimensional failure criteria and drawing yi
7、eld surface of the rock in the principal stress space.The research not only presents a visualization method for triaxial test data of rock samples but also enhancesthe teaching content of elastic-plastic mechanics.Keywordsrocks,principal stress formula,strength criteria,yield surface作为岩体工程强度设计的理论依据,
8、岩石强度准则是以三个主应力为变量的函数关系,描述了岩石破坏时的应力状态。其中,主应力公式在强度准则和本构模型等研究中起到非常重要的2022-07-07收到第1稿,2 0 2 2-0 9-2 3 收到修改稿。1)国家自然科学基金青年基金项目(42 10 2 3 2 0)与区域创新发展联合基金(U19A2098)资助。2)李化,博士研究生,研究方向主要涉及岩石动力学理论与应用。E-mail:h u a l i s c u.e d u.c nJ手寸天歧,2 0 2 0,40(0:0 2 0Fu Ziguo,Li Hua,Wang Jiaxin,et al.A geometric derivation
9、 of the explicit expressions with respect to the principal stressesfor rock strength criteria and its applications.Mechanics in Engineering,2023,45(3):526-534527付自国等:岩石强度准则的主应力显式表达式几何推导及应用第3 期转换作用,然而其推导过程却往往被忽视。应力张量通过旋转变换得到对角矩阵,其对角线元素即为主应力分量,因此主应力求解可以归结为应力张量特征值求解问题,需要解一个以三个不变量为系数的三次代数方程。虽然不变量为已知量,简单
10、易求,然而关于主应力的一元三次方程在不能因式分解的情况下很难求解。笔者发现,大部分国内外相关教材没有给出主应力的解析表达式 2,极少教材也只是直接给出了主应力值的三角函数解 3,但未给出具体的推导过程。另外,大量研究论文在推导过程中直接使用了主应力关于不变量的公式 4-5。这势必会给刚接触强度理论的研究者在阅读相关文献的过程中增加门槛。求解一元三次方程虽然可以利用卡丹公式或盛金公式,然而繁琐的回代过程使其难以推广间。由此可见,直接求解代数方程的方法较为复杂。学者注意到可以将应力张量分解为球张量和偏应力张量之和,通过求解这两个张量的应力主值来间接求解应力张量的主应力。例如,文献 7 中直接给出了
11、偏应力张量的主值表达式。文献 8 也是采用卡丹公式求解偏应力张量的主值,虽然偏应力张量的特征方程没有二次项,但是求解过程中分情况讨论和三角函数的运算仍然复杂。再者,在塑性力学教材中,多见主应力表示不变量,少见不变量表示主应力。鉴于此,同时受力学几何化思想的启发 9,本文采用直观的几何方法详细推导了主应力显式表达式,并介绍了主应力公式在岩石强度准则研究中的几个应用场景,另外讨论了推导过程中存在的一些问题。1主应力求解问题的引入旋转过一点的斜截面,使得斜截面上只有正应力而无剪应力,称该平面为主平面。设主平面上正应力(主应力)大小为,方向为=(m1,m2,m3),由斜截面上的柯西应力公式 3 得gm
12、=om(1)移项得(-aE)m=0(2)式中,E=ijei?ej为单位张量,ji为科罗内科符号,满足=(6,i+31,i=j。式(2)为关于m的齐次线性方程组,由于|m|=10,若方程有解,则系数矩阵行列式为O,即det(-E)=0,写为分量形式为det(gij-gdij)=0(3)根据张量运算,式(3)展开为Eijk(01i-001i)(2j-002i)(03k-003k)=0(4)进一步展开得Eijk01i02j03k-(01i02j03k+01i03k02j+02j03k01i)+(01i02j03h+02j01:03h+03h01:02)0201i02jd3k03=0(5)式中,ik为
13、列维-奇维塔符号,满足(1,ik为顺序排列Eiik=-1,ijk为逆序排列(0,其他式(5)是关于的三次代数方程,其三个根对应三个主应力的大小。将求得的。代入式(2)即可求得对应的主方向。利用张量运算规则,对式(5)进一步化简得3 Iig?+I20 I3=0(6)式中,I1,I 2 和I3分别为应力张量的第一、第二和第三不变量,定义为 7 Ii=trg1(7)2I3=deta由方程根与系数的关系知,他们与三个主应力之间满足I1=01+02+0312=0102+0103+0203(8)I3=010203应力张量可以分解为a=S+D(9)式中0m001S=00m0=trgE(1+02+03)。m3
14、3000mOm表示一点的平均应力,S称为球张量,其应变对应构形体积的改变。011-Om012013D=021022-0m023031032033-Om1troE3式中,D称为偏应力张量,其应变对应构形形状力528实2023年第45卷践学的改变。由推导可知,偏应力张量D的第二不变量J2和第三不变量J3与应力张量的三个不变量之间满足12J2=I2-3(10)12J3=I33一一I11213327按照式(7)中不变量的定义,同样可以计算J2=(a1-2)+(o2-03)+(1-03)0(11)在实际问题中,式(6)通常难以因式分解,即代数的求解过程相当繁琐。鉴于此,本文借用一种几何化的方法将问题转化
15、为求解一个三元一次方程组。2主应力表达式几何推导一点的应力状态可以用主应力(1,0 2,3)来表示,且更为简洁。如图1所示,在主应力空间中存在一条通过原点且与三个应力主轴夹角相等的线,该线上的点满足1=02=03=0应力状态,即各向等压的球应力状态,称该线为静水压力线。91hydrostatic pressure lineaiQQO03nplane02图1主应力空间中一点的应力状态与分解Fig.1 Stress state and decomposition of a given point inprincipalstress space由图1可知,在静水压力线上与原点O距离为r的Q点,存在通
16、过Q且与静水压力线垂直的一平面,该平面的法向量为n=(V3/3,V3/3,V3/3),设该平面上有一点P(o1,02,3),则该平面方程为O.n=r,即1+2+3=Vr,称该平面为元面。这样,主应力空间中的一点P用矢量OP表示,将OP沿静水压力线和元面分解,即OP=OQ+QP。将OQ称为元面上的正应力分量0 元,QP称为元面上的剪应力分量T元,则由几何关系得V3V30元=10 Q|=r:(01+02+03)(12)33T元=|QP|=V/OP|2-|OQ|2=2V3012+02+32(01+2+03)3-2J2(13)注意到,通过OQ|和QP|还不能唯一确定P点(P点可以绕着Q旋转),还需要规
17、定QP在元面内的旋转角,如图1所示,在元面内建立直角坐标系Qy(轴与1在元面上的投影重合),QP与轴的夹角为,称为应力洛德角。这样,主应力空间中一点的应力状态可以用元面上的3 个参数(元,T元,0)来描述。将应力主轴投影到元面,得到相互成120夹角的,轴。如图2 所示,角为静水压力线与主应力轴的夹角,由于静水压线与三个主应力轴夹角相等,则满足cos=V3/3,得到o;与;的关系为2g=disin=(14)Q9120-图2 主应力轴在元平面上的投影Fig.2Projection of principal stress axis on plane如图2 所示,应力o,在cQy坐标下的投影为=0i-
18、(o2+03)cos 60=21301-一J3(15)/2y=(o2-d3)cos 302因为=|QP|cos O=T cos 0)(16)y=|QP|sinQ=T元 sinQ J529付自国等:岩石强度准则的主应力显式表达式几何推导及应用第3 期联立式(12)和式(15),解关于1,2 和3的三元一次方程组,并通过式(16)消去和y得12V301-J2 cos 0331V302J2sinCOs 03312V32元J2COS(17)3331V30312-sincoOs G33112V32元J2COS+333根据J3=016263(18)333将式(17)代入式(18)得2V3J3=J2)3 c
19、os(30)(19)9故cos(30)=3V3J)3J3(20)2则可以表示为13V32arccos/-J2)3J3(21)132不失一般性,设10 2 0 3,由式(17)得cos cos(0-2元/3)cos(0+2元/3)(22)解得00元/3采用式(10)消去式(17)和式(2 1)中的J2和J3,得到主应力的最终表达式为12V301I2COs 333I12V32元I2COS333312V32元03333I2 COs+3(23)21313V12arccos3232F1313311327式(2 3)艮即为主应力关于应力张量的3 个不变量的显式表达式,式中的I1,I 2 和I3可通过式(7
20、)轻松求得。3应用举例本文推导的主应力显式公式除了为直接计算主应力的数值计算提供方便,在岩石强度理论的研究中也有众多的应用场景,限于篇幅,在此仅举如下几点来说明。(1)构建岩石在压缩子午面上的强度曲线。岩石材料存在明显的静水压力效应 10,即岩石的抗剪强度随着静水压力的增大而增大的现象。由静水压力轴与剪应力轴构成的平面称为子午面,子午面上的强度曲线能够较好地反映岩石材料的静水压力效应。学者提出了不同的强度模型来刻画岩石的这种静水压力效应,例如,Mohr-Coulomb准则 1与Mogi-Coulomb准则 12 描述了岩石的抗剪强度是静水压力的线性函数;Hoek-Brown准则 13 在子午面
21、上表现为抛物线形式;You准则 14 认为岩石的剪切强度与压应力呈指数关系;路德春 15提出的破坏函数描述了抗剪强度与静水压力满足幂函数关系。还有空间滑动面(spatial mobilized plane,SM P)强度准则 16、双剪强度理论 17 和Zhang-Zhu强度准则 18 等也刻画了岩石的抗剪强度与静水压力的非线性关系。因此,研究子午面上的强度曲线可以定量地揭示岩石的静水压力效应。然而,强度准则是关于主应力的函数,反映的是岩石破坏时的应力状态,不能反映其静水压力效应。若将本文推导的主应力公式代入到强度准则,则可以构建出子午面上的强度曲线关系。下面以Mogi-Coulomb准则和H
22、oek-Brown准则为例来说明。考虑中间主应力对岩石强度的影响,Mogil2对经典的Mohr-Coulomb准则进行修正,认为岩石是由于八面体剪应力超过某一值而发生破坏,并提出01+03Toct=mi+m2:(24)2式中,m1和m2为与岩石材料有关的参数,可通过试验确定;Toct为八面体剪应力,且满足Toct(25)力530实践2023年第45卷学结合大量的岩石三轴强度试验数据,Hoek和Brown提出了被工程界广泛应用的Hoek-Brown强度准则 13,其表达式为0301=03+c1mi+1(26)c式中,c为完整岩石单轴抗压强度,mi为反映岩石软硬程度的常数。由式(2 4)和式(2
23、6)很难看出岩石的静水压力效应,必须画出其子午面上的强度曲线。定义平均正应力(静水压应力)和广义剪应力q为1P0元13元3(27)V6T元-3J22将式(2 7)代入式(2 3)的前三式并化简得到用平均正应力和广义剪应力表示的主应力公式201=p+qcos 32202=p+qCOS0元(28)32203=p+一元3将式(2 8)禾和式(2 5)代入式(2 4)并化简得3m1.3m2q=V2-m2 cos(e+)PV2-m2 cos(元33(29)考虑到Hoek-Brown准则中2=03,则由式(2 8)知=0,并将此时的式(2 8)中的三个表达式代入式(2 6)并化简得m.2021-midc-
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