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2023年第6期 福建中学数学 25 由一道期末试题引发的对数学概念教学的思考由一道期末试题引发的对数学概念教学的思考 金国成1 左天鑫2 1 浙江省嘉兴市文贤学校（314001）2 浙江省嘉兴市秀洲区王店镇中学（314000）笔者曾经参与嘉兴市秀洲区七年级数学期末考试阅卷工作，其中填空题的第 17 题：写出一个只含有字母x的二次三项式 ，让我印象深刻，这道题目本身不算是个难题，但是这道题的错误率极高，一个考场（30 人）当中能做对的人数寥寥无几 回来以后我对自己任教的班级也做了个初步统计，全班 37 个同学，做对的只有 6 个人，大部分学生写的是22xxx+或者是212x+这样的两种答案，最后的结果都是没有合并同类项，虽然课本上对二次三项式的概念没有做出说明，只是提出了几次多项式的概念，但是我想作为教师应该引起反思，是不是我们在平时的教学中对概念的教学还没有进行深入地研究？才会导致学生对概念没有进行深一层次的理解 我在教学二元一次方程组的解法时出示了这样一道题：已知关于x y，的二元一次方程组 234+=，xyaxby与224+=+=axbyxy，有相同的解，求a b，的值经过分析，在这两个方程组中，把和组成一个新的方程组，解出x y，再代入列出关于a b，的二元一次方程组，自然就解出a b，的值我详细地把解题过程写出，给学生解题做个示范，强调要求a b，的值就是要先求出x y，的值，可是这时有个学生提出：为什么和可以合并成一个新的方程组，它们本来不是在一起的呀，因为它们之间没有用大括号连起来呀？我给他解释了因为题目说了它们具有相同的解，但是学生似乎还是有点似懂非懂课后我就在想：为什么学生会提出这个问题？还有其他同学有这样的问题吗？还是在分析问题时我没有把问题讲清楚？经过反思，我认识到学生对这个问题比较困惑的关键还是对方程组的解的概念上，在讲授方程组的解时，我对这个概念只是一笔带过，没有花一定的时间让学生去深入地理解，而只是注重了如何去解方程组，这导致了学生对为什么可以将和合并起来求x y，的值感到困惑，如果学生理解了方程组的解的概念，知道了这两个方程组的解能够使方程两边相等，学生对本道题的求解自然而然就不会产生疑问 数学概念是客观对象的数量关系和空间形式的本质属性的反映，是形成数学知识体系的基本要素，是基础知识的核心内容，正确理解概念是学好数学的基础在初中数学教学中，数学概念的教学是重要的一环，对于概念本质的理解是学生学习数学的一个难点，一些学生之所以数学成绩差，概念不清往往是直接的原因，因此抓好概念教学是提高教学质量的最基本的方式，是推进“轻负高质”的有效途径那么在教学中如何进行概念教学呢？1 创设生活背景，提供现实模型创设生活背景，提供现实模型 义务教育数学课程标准（2022 年版）（以下简称标准）指出：数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律 初中数学中的很多概念来源于现实世界，对于这类概念，要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程 如在学习数轴的概念时可以借助生活当中学生比较熟悉的温度计来引入，引导学生通过观察温度计的结构回答问题：（1）你是如何读出温度计上的温度的？（2）温度计上的正负是怎么规定的？是以什么为基准的？基准刻度线表示多少度？（3）温度计上的刻度之间的距离有什么特点？再将具体的物体抽象成数学中的数轴，让学生自己模仿温度计画出直线，标出原点、刻度以及正方向，在此基础上学生对数轴的概念中三要素的理解自然会很深刻 函数概念是初中学生最难掌握的内容，在教学这节内容时，我尝试设计了如下的两个问题情境：情境情境 1 我校要召开运动会，八年级（1）班学生准备买某种水果，若水果的单价是 10 元/千克，买了x千克，所需金额为y元，请完成表 1：26 福建中学数学 2023年第6期 表 1 数量x（千克）15 20 25 30 x 金额y（元）能否用含有x的代数式表示y？情境情境 2 小华在本届运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关根据经验，跳远的距离0.085(0svv=10.5)，填写表 2 表 2 助跑速度v（米/秒）7.5 8 8.5 跳远的距离s（米）通过以上两个问题情境的设置，让学生在身边的情境中探究新知识，体会情境中两个变量的关系，可以让学生亲身经历函数概念的形成过程，这种联系现实世界引入概念的方式，有助于学生将客观现实材料和数学知识融于一体，实现“概念性的数学化”2 类比相关概念，理解本质异同类比相关概念，理解本质异同 类比是根据两类事物的一些相同或相似的属性猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法在初中数学学习中有大量的概念，如果孤立地去理解与记忆这些概念，会成为学生学习的一个负担，但从概念的定义形式上看，有一部分概念的定义形式是相似的，通过这些概念之间的类比，能有效驱动学生的思维于最近发展区，便于概念的初步建构，进一步理解概念的本质，可有拨云见日之效如初中阶段各类方程的概念，一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程概念分别为：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫一元一次方程；方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是一次的方程叫二元一次方程；方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程 从概念的相似点看都要求是整式，不同点是未知数的个数以及未知数的次数之间的差别 通过这样的类比，学生能从一个新的角度与高度对这三个概念进行认识与理解，进一步理解概念的本质 再比如，有这样一道题：因式分解：416abcab+4a 有一个学生这样做的：原式4(41)a bcb=+=4164abcaba+这种错误看起来很滑稽，其实还是对因式分解的概念没有弄清楚 因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，而整式的乘法恰恰是因式分解的逆运算，在教学因式分解的概念时，如果能将这两个互逆关系的概念通过类比的方式加以比较，从本质上去理解因式分解的概念，相信学生就不会犯这样的错误 3 明确概念内涵，廓清概念外延明确概念内涵，廓清概念外延 一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻画了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体在教学中通过对概念的抽象化、形式化来掌握概念的内涵，廓清概念的外延，是形成概念思维活动过程中关键的一步 3.1 运用变式材料运用变式材料 通过对变式材料的辨析，可以更鲜明地揭示概念的外延，促使学生认识深化在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与概念形成的过程，让学生自己去发现，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生观察分析能力如学习了“梯形”和“等腰梯形”的定义后，提出：（1）有一组对边平行的四边形是梯形吗？（2）一组对边平行加一组对边相等的四边形是等腰梯形吗？通过变式进行反面刺激，使学生更明确的理解和掌握“梯形”“等腰梯形”“平行四边形”等概念 3.2 借助反例衬托借助反例衬托 数学概念的学习中，出现认知的偏颇在所难免，而学生往往自己又难以察觉有时不仅需要正面的例子深刻阐明，而且需要通过反例凸显概念的内涵，在自我否定与自我认同中，明晰概念，正如张奠宙先生说的“一个好的例子胜过一打名言”正例突出概念的内涵，而反例揭示概念的外延如在教学因式分解的概念时我出示了如下的反例让学生来辨析：下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？为什么？（1）2(1)+=+aaa a；（2）231(3)xxx x+=1+；（3）11()xx xx+=+；（4）321836a bca b ac=；（5）4(2)(2)=+xxx 这样，讲授概念后及时地举出正、反例或容易使人走入误区的例子，有效地让学生加深理解，从而正确运用概念做题 通过一系列反例让学生进一步廓清概念的外延，反过来又能进一步加强对内涵2023年第6期 福建中学数学 27 的把握 概念是一种思维形式，如果对学习概念重视不够，将直接影响思维能力的发展，就会表现出思路闭塞、逻辑混乱的后果因此，数学概念的教学是整个数学教学的重要环节，正确的理解概念是掌握数学知识的前提，不断提高数学概念的教学质量是我们从教者共同奋斗的目标 参考文献参考文献 1中华人民共和国教育部制定义务教育数学课程标准（2022 年版）M北京：北京师范大学出版社，2022 2林崇德21 世纪学生发展核心素养研究M北京：北京师范大学出版社，2016 3占星星，纪宪禹专访文章：让数学核心素养在教材、教学和训练中落地生根J中国数学教育（初中版），2017（5）：2-5，29 4章建跃章建跃数学教育随想录M杭州：浙江教育出版社，2017 基于深度学习的单元复习课教学策略探究基于深度学习的单元复习课教学策略探究 以八年级上册分式单元为例 黄叮薇 福建省厦门双十中学思明分校（361000）1 问题的背景问题的背景 深度学习是以学科核心内容为线索，聚焦学生的高级思维和创造性解决问题能力培养的学习 怎样确定一个学习内容中应当聚焦的高阶思维和关键能力，需要对学习内容进行单元整体分析1 单元复习课教学作为一类对所学知识进行系统复习整理的课型，其目的就是通过对知识的复习整理使学生对所学知识形成整体结构化的认知和个性化、创造性地内化，其育人价值与深度学习的观点不谋而合目前单元复习课主要面临三类问题：一是习题课替代复习课；二是教师替代学生；三是复习课效率低下2 2 基于深度学习的单元复习课教学策略基于深度学习的单元复习课教学策略 深度学习不是表层学习、浅层学习，不是机械学习、死记硬背深度学习是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程1 因此单元复习课不是知识的汇总课，不是习题的堆积课，不是教师个人的舞台秀，而是学生围绕着复习对象，运用已有经验进行主动知识网络建构，在教师精心设计的问题牵引下挖掘本质，完善知识结构，实现核心素养的发展和迁移应用能力的提升 基于上述分析，笔者结合教学实践，提出基于深度学习的单元复习课教学策略 2.1 整体设计，积累整理经验整体设计，积累整理经验 深度学习强调整体学习，关注单元教学，而不是碎片化，单元复习课作为整个单元的闭环，乃至整个数学知识网络体系的纽带，不应割裂开单独设计 教师应在单元整体教学设计时做好整个知识框架结构的设计，为学生自主进行单元复习整理打好知识基础和方法铺垫 单元整体设计应注意以下两个方面：一是在单元起始课以已有的知识和方法为认知起点，揭示研究新知的必要性，建立整章节知识框架，为本单元后续研究提供先行组织者，也为单元复习时知识的串联做好铺垫；二是在后续新授课的学习中注重新知产生的合理性及寻找解决新问题路径的方向，为单元复习课知识和方法的迁移和应用打下了基础 以分式单元整体教学设计为例，在分式单元起始课上复习上一章整式的乘除运算，并思考整式对除法运算是否封闭，由此引出分式产生的必要性；结合分式的形式和名称引导学生联想到分数，类比分数的研究以及数学对象研究的基本框架，确定本章节分式研究的框架：概念性质运算应用在分式的概念、性质、运算的学习中，重视以分数为先行组织者进行类比研究，体会数式通性，这是数到式的扩充在分式的应用课中，整数指数幂和分式方程的研究都是类比整式的研究，这是式的扩充这样的单元整体设计，让学生在新授课中逐渐加深本单元知识之间的联系，以及本单元知识与已有知识的联系，渗透数学思想，为单元复习课自主复习和迁移提升做好铺垫 2.2 问题串联，创设复习情境问题串联，创设复习情境 深度学习强调学生的主动参与、积极建构，复习课的效能体现在学生知识结构的自我完善，而这一切需要在教师搭建的阶梯下逐步实现 因此复习