用COMSOL模拟网球拍效应.pdf

第第期大学物理 年月收稿日期：；修回日期：基金项目：复旦大学校级教学改革项目（）资助作者简介：冯睿骐（），男，福建福州人，复旦大学物理学系级本科生通信作者：白翠琴，：櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻大学生园地用模拟网球拍效应冯睿骐，白翠琴（复旦大学 物理学系，上海）摘要：网球拍效应（）指刚体绕第二惯量主轴旋转时的不稳定现象，它作为生活中常见的现象，在物理教学中常被提及，但有关的定量实验较为缺乏本文中，我们在约化相空间中给出了的直观解释，并利用软件对该现象进行了研究，研究了不同初始条件参数和刚体设置对翻转周期的影响我们发现“翻转耗时”对初始扰动不敏感，用它代替整个翻转周期可以减少测量和仿真模拟中误差的影响，从而在仿真中实现了的测量误差此外我们利用手机进行实验，观察到了且定量结果与理论预期一致本工作有助于学生形成关于的物理图像，有助于的物理教学定量实验设计关键词：网球拍效应；数值模拟；约化相空间中图分类号：文献标识码：文章编号：（）【】网球拍效应（又名效应，后文简记作），由年报告了这个现象的宇航员 命名它指刚体绕第二惯量主轴的不稳定旋转现象，在航天器控制等工程领域有重要应用根据经典力学较成熟的理论，关于此现象的原理已有较多研究如等人研究了的几何起源，而中刚体的翻转周期也已经被给出作为一个生活中常见但反直觉的物理现象，在科普和物理教学中有重要意义，但在物理实验教学中对它的定量涉及较少，也缺乏直观的图像解释我们利用仿真软件验证和研究了一个扳手形状刚体的网球拍效应我们用约化相空间给出了较简明的几何解释，并研究了发生的条件和各个参数对翻转周期的影响最后，我们通过对椭圆积分的分析提出，用部分翻转过程耗时代替翻转周期可以增加测量的稳定性，从而避免在仿真模拟中精度不足和实际实验中的扰动导致测量值的剧烈偏差此方法得到的翻转耗时倒数对初始角速度斜率的理论斜率和模拟值误差约，这个稳定的测量方法可以用于物理教学实验中网球拍效应原理分析刚体旋转的稳定性和几何解释根据动力学方程，在坐标轴与惯量主轴固连（）的直角坐标系中，刚体的自由转动可以用以下方程组描述：，（）其中，表示角速度在方向的分量，是绕惯量主轴的转动惯量如果刚体初始角速度几乎只有某一惯量主轴方向分量（不失一般性地假设），在初始状态附近，上式近似为，（）（）第期冯睿骐，等：用模拟网球拍效应 式（）中的是角速度初始值的方向分量当或，即取中间值时，随着时间演化，角速度会以双曲函数的方式发散，此时绕第二惯量主轴（轴）的旋转是不稳定的；而当不取中间值时，旋转是稳定的接下来给出关于上述旋转稳定性的几何解释：假设系统无耗散，能量守恒和角动量大小守恒被表示为：，（）其中是角动量的轴分量，是总角动量，是总动能将式（）表示在由角动量分量，张成的约化相空间中，则角动量守恒是一个球面，能量守恒是一个椭球面，如图所示在给定初始条件的某次运动中，相点被限制在图中的球和椭球面的交线上，于是相点的运动被确定了，而且由对称性可看出运动的周期性0.901.001.500.901.001.50yxz角动量分量变号0.901.001.500.901.001.50yxz角动量分量变号图约化相空间中的种模式当椭球面第二长轴（轴）接近球半径时，初始角动量几乎只有分量，但随时间推移会沿着相点轨迹向 的对称点运动并在此后周期性震荡，这个现象对应着如图所示，由于初始条件（，方向扰动）的不同，椭球第二长轴大于或小于球半径，相点轨迹有种模式，它们的区别类似单摆相空间中临界附近的“振动”和“旋转”的区别此外，椭球最短轴恰比球半径稍小或最长轴比球半径稍大时，对应着刚体的稳定旋转，这与式（）给出的结果相同动力学方程的理论解和翻转周期消去式（）中的和可得关于的微分方程，将其积分可得“翻转”周期即从最大值变为最小值的用时可用椭圆积分表示（）（）（）（槡）（）其中（）op，op，分别是，方向的初始角速度特别地，当，式（）中的周期发散，此时有（）（）（）当初始扰动满足上式时，前述相空间中的椭球第二长轴等于球半径，是“旋转”模式和“振动”模式的临界点模拟设置刚体设置研究的刚体是由个均匀圆柱体组成的型扳手，如图所示圆柱的半径均为，高分别为 与 此刚体的惯量主轴与图示坐标轴重合，转动惯量 ，轴是第二惯量主轴扳手顶端点如图所示，在节中，顶端点的坐标将被用于指示刚体翻转初始参数设置为了研究，假设刚体初始角速度的个分量满足 ，模 大学物理第卷CopyCrCrxzycmcm图型扳手模型示意图拟的时间步长为，根据初始条件不同，每个模拟的总时间在 到 之间结果和分析的发生条件通过改变长圆柱的高改变转动惯量，可以验证只有是中间值时才能发生由理论计算可得，是 的临界值取分别为 ，和 进行模拟，如图和图所示，可以发现 ，即时，扳手顶端坐标和角速度分量稳定，没有发生；，即时，扳手顶端坐标绕质心、角速度分量绕作周期性翻转，发生；，即接近的临界情况时，翻转周期无限长CopyriiigightCopyr(iigightCopyrocigoght)c i cio(c5)yZ/htt/s图不同转动惯量下顶端坐标随时间变化不同初始角速度分量时的翻转周期我们对不同初始角速度下的翻转进行仿真模拟，其翻转频率如图所示，翻转频率与初始角速度L1=7.000 0 cmL1=7.300 0 cmL1=7.140 1 cm604020040206001234567t/s图不同转动惯量下角速度分量随时间变化分量显示出比较好的线性关系为了从理论上分析其原因，将式（）中周期的椭圆积分对展开，得翻转周期的一阶近似（）（）（）（）（）（）（）（）槡（）()槡（）图给出由理论值的一阶近似和式（）的数值积分给出的翻转频率可以发现一阶近似和近似前的结果基本重合，因此式（）是较精确的近似解此外仿真模拟结果和理论结果也基本一致观察式（）的形式可以发现，其中 槡，当较大时，对数部分增长比较慢，函数趋于线性自变量变化范围较大时，翻转频率和它的线性关系逐渐减弱图翻转频率随初始角速度分量变化第期冯睿骐，等：用模拟网球拍效应 不同初始扰动时的翻转周期初始扰动对翻转周期有很大影响同时改变，记作，进行模拟并计算周期长度，结果如图所示可以看出，虽然在扰动较小时，模拟精度不足导致偏差较大，但在 时，仿真模拟和理论解符合得很好CopyCorpCoyyroipropyrorproyygoipgopyyoyyoryohyotyo(goyc)2)0-2B)e图翻转周期随初始扰动变化从图还可以看出，随着增大，翻转周期减小当从增加到 时，翻转周期理论值从约 迅速下降到约 ，而从 增加到 时，翻转周期从 缓慢下降到 从相空间的观点看，翻转周期和负相关的原因在于，图的模式中，随着增加，椭球放大比例小于球的放大比例，相点轨迹向远离临界点方向变化，而在较小时相点轨迹在临界点附近，周期对初始扰动较为敏感，因而翻转周期下降较快两种翻转模式如图所示，不同的初始条件下，会出现种模式：恒正（翻转）和恒正（翻转）从相空间的观点可以进行解释：根据初始条件不同，图中存在被限制在和的卦限内的相轨迹为了具体研究初始条件怎样影响翻转模式，我们注意到相空间中的临界点对应着式（）的等号成立，对应的初始条件为 当 时，相空间中椭球的第二长轴长于球半径，导致相点轨迹不能穿过 的平面，不变号，这便是图给出的翻转模式相对应地，若，则是翻转模式更稳定的测量：翻转耗时如和所述，在仿真模拟或实际实验中，翻转周期对扰动敏感，定量实验容易遇到困难这ijnjjnjij6jj1n3i567/(rad/s)/rad/sx(x=1j y)y(x=1j y)6jxyt/st/sijnjjnjij6jj1n3i5676jxy图两种翻转模式是由于扳手顶端在坐标最大（）和坐标最小（）时，相点处在相空间中的临界点附近为了找到更稳定的测量值，我们不希望计算扳手顶端坐标在临界点附近运动的耗时因此我们定义扳手角速度分量在槡槡 槡槡 之间的时间间隔为“翻转耗时”槡为了计算“翻转耗时”，只需将式（）的积分上限改为槡展开此时的椭圆积分并保留到的阶项得槡，其中只和转动惯量有关于是“翻转耗时”的倒数槡槡（）（）槡（槡）（）大学物理第卷且在阶近似下不依赖于初始扰动，是更稳定的测量值对模拟结果进行线性拟合，结果如图所示CoCpCyripopyypyoyiyryCyyCpyCoyCiygyht(c)t200Ctt(Ct20,图“翻转耗时”倒数随初始角速度变化可以看出，模拟结果的线性很好，且和理论值接近模拟结果的线性拟合斜率 ，与理论值 相差，显著减小了模拟误差用手机测量翻转耗时我们通过应用程序记录手机的角速度，进行网球拍效应的实验将手机近似看成长方体，分别将第一、二、三长的边的方向记为，轴的方向其中方向为第二惯量主轴的方向计算得手机的转动惯量为 ，实验竖直向上抛掷手机，并使手机初始绕方向转动，手机在空中的运动可以近似看作自由转动，于是可以观察到效应在实验中根据初始角速度比值的不同，我们观察到了两种不同的翻转模式，分别对应于，变号或不变号，和节中的讨论相符图中给出了手机沿个方向角速度的一次实验结果，图中可以直观看到效应，且变号、不变号，即翻转模式由于初始扰动较小，直接测量周期误差较大，所以利用节中提出的方法，将翻转耗时槡对 拟合进行了次实验，结果如图所示拟合斜率为（），和将手机的转动惯量带入式（）计算出的理论斜率相差我们推测，误差主要源于空气阻力等耗散的积累，以及初始，不够小，导致刚体运动偏离条件，使得式（）的近似引入的误差CoCpCyrigihiigihiririhri.4hri.6hri.8hrh.ihrh.gC/rad/st/s图手机角速度随时间变化（圆点表示和，叉形表示槡和槡）0.120.110.100.090.060.080.070.0250.0300.0350.0400.0450.050?/?z/rad1.s2T1 /s,图翻转耗时与初始角速度关系的理论和实验对比总结为了研究，我们在约化相空间中给出直观解释，并利用进行模拟，验证了发生需要初始状态下刚体绕第二惯量主轴转动 运动学方程的解给出的理论翻转周期是第一类椭圆积分的形式通过它的展开近似，我们验证了翻转频率和初始角速度的关系同时，根据理论结果我们预测有种模式并通过模拟进行了验证我们还发现翻转过程耗时的倒数和初始角速度有很好的线性关系，模拟给出的斜率和理论斜率误差约为并且我们利用手机进行实验，直观地观测到了效应，验证了翻转耗时的倒数与初始角速度线性相关，与理论预期一致这一对扰动不敏感的测量方法和我们对中各个参数的研究补充了有关定量测量的物理教学实验设计，配合在约化相空间中对的几何解释，有助于学生形成清晰的物理图像第期冯睿骐，等：用模拟网球拍效应 参考文献：，（）：，：，：，：，：，：，“”，林炯辉，刘玉颖，宋 敏刚体运动三维可视化模拟和复摆相关问题探讨大学物理，（）：邵瀚雍刚体一般运动的描述大学物理，（）：楼晨煊，周婧琳，郑雪瑶，等利用手机传感器测定刚体的惯性张量大学物理，（）：，（，）：（），：；（上接页）”，：；