第4章-数据分布特征的度量.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4.1 集中趋势的度量,4.2 离散程度的度量,4.3 偏态与峰态的度量,第4章,数据分布特征的度量,学习目标,集中趋势各测度值的计算方法,集中趋势各测度值的特点及应用场合,离散程度各测度值的计算方法,离散程度各测度值的特点及应用场合,偏态与峰态的测度方法,用,Excel,计算描述统计量并进行分析,数据分布的特征,集中趋势,(位置),偏态和峰态,（形状）,离中趋势,(分散程度),4.1 集中趋势的度量,4.1.1 众数,4.1.2 中位数和分位数,4.1.3 平均数,4.1.4 众数、中位数和平均数的比较,集中趋势,一,组数据向其中心值靠拢的倾向和程度,测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值,不同类型的数据用不同的集中趋势测度值,低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,众数,(mode),一组数据中出现次数最多的变量值,适合于数据量较多时使用,不受极端值的影响,一组数据可能没有众数或有几个众数,主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,众数(不惟一性),无众数,原始数据:10 5 9 12 6 8,一个众数,原始数据:6,5,9 8,5 5,多于一个众数,原始数据:25,28 28,36,42 42,分类数据的众数(例题分析),解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值,所调查的,100,人中，购买可口可乐的人数最多，为,35,人，占被调查总人数的,35%,，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即,M,o,可口可乐,不同饮料品牌的频数分布,饮料品牌,频数,汇源果汁,百事可乐,可口可乐,娃哈哈,15,20,35,30,合计,100,顺序数据的众数(例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”,甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为,108,户，因此众数为“不满意”这一类别，即,M,o,不满意,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),百分比 (%),非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,8,36,31,15,10,合计,300,100.0,1.由众数的定义可知，在单项数列的情形求众数，只需通过观察，找出频数最多的变量值，则该变量值即为众数。,2.在组距数列的条件下，则要先确定众数所在组，然后按下面的近似公式计算。,数值型数据的众数,数值型数据的众数(例题分析),某企业职工月工资资料表,职工月工资（元）,职工人数（人）,80,0,1000,10,10,001200,20,120,01400,50,140,01600,30,160,01800,10,合计,120,解：,确定众数组。,由于12001400组频数最多，故该组即为众数组。,根据近似公式计算众数值。,中位数(median),按大小排序后处于中间位置上的值,M,e,50%,50%,不受极端值的影响,主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据,各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数(位置和数值的确定),位置确定,数值确定,顺序数据的中位数(例题分析),解：中位数的位置为,(300+1)/2150.5,从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中,中位数为,M,e,=一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,数值型数据的中位数(9个数据的算例),【例】,9个家庭的人均月收入数据,原始数据:,1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,排 序:,750 780 850 960,1080,1250 1500 1630 2000,位 置:,1 2 3 4,5,6 7 8 9,中位数 1080,数值型数据的中位数(10个数据的算例),【例】：,10个家庭的人均月收入数据,排 序:,660,750 780 850,960 1080,1250 1500 1630 2000,位 置:,1 2 3 4,5 6,7 8 9 10,数值型数据的中位数(分组数据的算例),身高（cm）,人数（人）,某班级学生身高资料表,身高（cm）,人数（人）,人数累积,向上累积,向下累积,160,165,170,175,180,185,2,4,5,6,3,1,2,6,11,17,20,21,21,19,15,10,4,1,合计,21,解,：确定中位数位次：,确定中位数组：,按人数向上累积（或向下累积）知，中位数在第三组。,确定中位数：,中位数组只有唯一的变量值170cm，故它就是所求的中位数。,数值型数据的中位数(组距数列),在组距数列的情况下，确定中位数组后，由于这时中位数组是一区间，可用下面的近似公式计算中位数：,数值型数据的中位数(分组数据的算例),某企业职工月工资资料,职工月工资（元）,职工人数（人）,向上累积,80,0,1000,10,10,10,001200,20,30,120,01400,50,80,140,01600,30,110,160,01800,10,120,合计,120,确定中位数位次。,确定中位数组。,从向上累积栏中，找出首个大于等于中位数位次60的组，该组即为中位数组，因此中位数组为12001400元。,按近似公式计算中位数值。,四分位数(quartile),排序后处于,25%,和,75%,位置上的值,不受极端值的影响,主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据,Q,1,Q,2,Q,3,25%,25%,25%,25%,四分位数(位置的确定及计算),的位次,=,，,的位次,=,第,i,个四分位数可按如下近似公式计算：,顺序数据的四分位数(例题分析),解：,Q,1,位置,=,(300)/4,=,75,Q,3,位置,=,(3300)/4,=,225,从累计频数看，,Q,1,在“不,满意”这一组别中；,Q,3,在,“一般”这一组别中,四分位数为,Q,1,=,不满意,Q,3,=,一般,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,数值型数据的四分位数(9个数据的算例),【例】：,9个家庭的人均月收入数据,原始数据:,1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,排 序:,750,780 850,960 1080 1250,1500 1630,2000,位 置:,1,2 3,4 5 6,7 8,9,数值型数据：平均数（简单平均数）,设一组数据为：,x,1,，,x,2,，,x,n,(总体数据,x,N,),样本平均数,总体平均数,设各组的组中值为：,x,1,，,x,2,，,x,k,相应的频数为：,f,1,，,f,2,，,f,k,样本加权平均,总体加权平均,数值型数据：平均数（加权平均数）,加权平均数(例题分析),某电脑公司销售量数据分组表,按销售量分组,组中值(,M,i,),频数(,f,i,),x,i,f,i,140,150,150,160,160,170,170,180,180,190,190,200,200,210,210220,220230,230240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,580,1395,2640,4725,3700,3315,2050,1720,900,1175,合计,120,22200,加权平均数(权数对均值的影响),甲乙两组各有10名学生，考试成绩及其分布数据如下:,甲组：考试成绩（,x,）:0 20 100,人数分布（,f,）：1 1 8,乙组：考试成绩（,x,）:0 20 100,人数分布（,f,）：8 1 1,平均数(数学性质),1.各变量值与平均数的离差之和等于零,2.各变量值与平均数的离差平方和最小,中位数和平均数数学性质的验证,几何平均数(geometric mean),n,个变量值乘积的,n,次方根,适用于对比率数据的平均,主要用于计算平均增长率,计算公式为,5.可看作是平均数的一种变形,几何平均数(例题分析),【例】,某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率,年平均增长率114.91%-1=14.91%,几何平均数(例题分析),【例】,一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率,算术平均：,几何平均：,众数、中位数和平均数的关系,左偏分布,均值,中位数,众数,对称分布,均值,=,中位数,=,众数,右偏分布,众数,中位数,均值,众数、中位数、平均数的特点和应用,众数,不受极端值影响,具有不惟一性,数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用,中位数,不受极端值影响,数据分布偏斜程度较大时应用,平均数,易受极端值影响,数学性质优良,数据对称分布或接近对称分布时应用,数据类型与集中趋势测度值,数据类型和所适用的集中趋势测度值,数据类型,分类数据,顺序数据,定距数据,定比数据,适,用,的,测,度,值,众数,中位数,平均数,平均数,四分位数,众数,几何平均数,众数,中位数,中位数,四分位数,四分位数,众数,4.2 离散程度的度量,4.2.1 分类数据：异众比率,4.2.2 顺序数据：四分位差,4.2.3 数值型数据：方差和标准差,4.2.4 相对离散程度：离散系数,离中趋势,数据分布的另一个重要特征,反映各变量值远离其中心值的程度,(,离散程度,),从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度,不同类型的数据有不同的离散程度测度值,异众比率,1.对分类数据离散程度的测度,2.非众数组的频数占总频数的比例,3.计算公式为,4.用于衡量众数的代表性,异众比率(例题分析),解：,在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,不同品牌饮料的频数分布,饮料品牌,频数,比例,百分比(%),可口可乐,旭日升冰茶,百事可乐,汇源果汁,露露,15,11,9,6,9,0.30,0.22,0.18,0.12,0.18,30,22,18,12,18,合计,50,1,100,四分位差(quartile deviation),对顺序数据离散程度的测度,也称为内距或四分间距,上四分位数与下四分位数之差,Q,d,=,Q,3,Q,1,反映了中间,50%,数据的离散程度,不受极端值的影响,用于衡量中位数的代表性,四分位差(例题分析),解：,设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为 4,非常满意为5,。已知,Q,1,=,不满意,=,2,Q,3,=,一般,=,3,四分位差为,Q,d,=,Q,3,-,Q,1,=,3 2,=,1,甲城市家庭对住房状况评价的频数分布,回答类别,甲城市,户数 (户),累计频数,非常不满意,不满意,一般,满意,非常满意,24,108,93,45,30,24,132,225,270,300,合计,300,极差(range),一组数据的最大值与最小值之差,离散程度的最简单测度值,易受极端值影响,未考虑数据的分布,R,=max(,x,i,)-min(,x,i,),计算公式为,平均差(mean deviation),各变量值与其平均数离差绝对值的平均数,能全面反映一组数据的离散程度,数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差(例题分析),某电脑公司销售量数据平均差计算表,按销售量分组,组中值(,M,i,),频数(,f,i,),140150,150 160,160 170,170 180,180 190,190 200,200 210,210 220,220 230,230 240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,40,30,20,10,0,10,20,30,40,50,160,270,320,270,0,170,200,240,160,250,合计,120,2040,方差和标准差(variance and standard deviation),数据离散程度的最常用测度值,反映了各变量值与均值的平均差异,根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差，记为,2,(),；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差，记为,s,2,(s),样本方差和标准差,(,simple,variance,and,standard deviation,),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组据数,方差的计算公式,标准差的计算公式,注意：,样本方差用自由度,n,-1去除!,自由度(degree of freedom),自由度是指附加给独立的观测值的约束或限制的个数,从字面涵义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数,当样本数据的个数为,n,时，若样本平均数确定后，则附加给,n,个观测值的约束个数就是,1,个，因此只有,n,-1,个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值,按着这一逻辑，如果对,n,个观测值附加的约束个数为,k,个，自由度则为,n,-,k,自由度(degree of freedom),样本有,3,个数值，即,x,1,=2,，,x,2,=4,，,x,3,=9,，,则,x,=5,。,当,x,=5,确定后，,x,1,，,x,2,和,x,3,有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如,x,1,=6,，,x,2,=7,，,那么,x,3,则必然取,2,，而不能取其他值,为什么样本方差的自由度是,n,-1,呢？因为在计算离差平方和时，必须先求出样本均值,x,，,而,x,则是附加给离差平方和的一个约束，因此，计算离差平方和时只有,n,-1,个独立的观测值，而不是,n,个,样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差,s,2,去估计总体方差,2,时，它是,2,的无偏估计量,样本标准差(例题分析),某电脑公司销售量数据平均差计算表,按销售量分组,组中值(,M,i,),频数(,f,i,),140150,150 160,160 170,170 180,180 190,190 200,200 210,210 220,220 230,230 240,145,155,165,175,185,195,205,215,225,235,4,9,16,27,20,17,10,8,4,5,40,30,20,10,0,10,20,30,40,50,160,270,320,270,0,170,200,240,160,250,合计,120,55400,总体方差和标准差,(Population,variance,and,Standard deviation,),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,数据分布数量的估计（经验法则）,经验法则表明：当一组数据对称分布时,约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内,约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内,约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内,切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式,，,它对任何分布形状的数据都适用,切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”,对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有,1-1/,k,2,的数据落在,k,个标准差之内。其中,k,是大于,1,的任意值，但不一定是整数,切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality),对于,k,=2，3，4，该不等式的含义是,至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内,至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内,至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内,离散系数(coefficient of variation),1.,标准差与其相应的均值之比,2.,对数据相对离散程度的测度,3.,消除了数据水平高低和计量单位的影响,4.,用于对不同组别数据离散程度的比较,5.,计算公式为,离散系数(例题分析),某管理局所属8家企业的产品销售数据,企业编号,产品销售额（万元）,x,1,销售利润（万元）,x,2,1,2,3,4,5,6,7,8,170,220,390,430,480,650,950,1000,8.1,12.5,18.0,22.0,26.5,40.0,64.0,69.0,【例】,某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数(例题分析),结论：计算结果表明，,v,1,0,为右偏分布,5.,偏态系数,0,为左偏分布,6.,偏态系数大于,1,或小于,-1,，被称为高度偏态分布；偏态系数在,0.5,1,或,-0.5,-1,之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近,0,，偏斜程度就越低,峰度系数(coefficient of skewness),2.峰度的判别：按上面公式计算出来的峰度指标，可以用来判定分布的形态特征。其判别标准为：,1.峰度系数的计算公式：,峰态(kurtosis),统计学家,Pearson,于,1905,年首次提出,数据分布扁平程度的测度,峰态系数,=0,扁平峰度适中,峰态系数,0,为尖峰分布,偏态系数和峰态系数(例题分析),某百货公司所属各商店年销售额偏度系数和峰度系数计算表,组中值,商店个数,65,20,1300,92.29,14890.20,-406289.85,11085908.88,75,40,3000,11951.84,-206596.03,3571160.03,85,60,5100,3184.90,-23204.26,169059.58,95,80,7600,589.39,1599.77,4342.22,105,48,5040,7759.35,98654.55,1254322.19,115,20,2300,10318.78,234383.62,5323856.40,125,12,1500,12842.69,420139.56,13744565.50,280,25840,61537.14,118687.35,35153214.81,偏态系数和峰态系数(例题分析),因 ，数值不是很大，说明分布略为右偏；，数值很小，说明比具有同方差的正态分布略为平坦。,用Excel计算描述统计量,MODE计算众数,MEDIAN计算中位数,QUARTILE计算四分位数,AVERAGE计算平均数,HARMEAN计算简单调和平均数,GEOMEAN计算几何平均数,AVEDEV计算平均差,STDEV计算样本标准差,STDEVP计算总体标准差,SKEW计算偏态系数,KURT计算峰态系数,TRIMMEAN计算切尾均值,数据分布特征和描述统计量,数据分布特征,集中趋势,离散程度,分布形状,中位数,平均数,异众比率,四分位差,极差,偏态系数,平均差,方差或标准差,峰态系数,众数,离散系数,本章小结,1.数据水平的概括性度量,2.数据离散程度的概括性度量,数据分布形状的度量,用,Excel,计算描述统计量,End of Chapter 4,