第三章-平面力系的合成与平衡.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,第三章平面力系的合成与平衡,1,2,4,3,3,5,第一节平面汇交力系,第二节平面力偶系,第三节平面一般力系,第四节平面平行力系,第五节物体系统的平衡,返回,第三章平面力系的合成与平衡,教学,:,通过本章内容的学习，掌握力在坐标轴上的投影原理，掌握平面汇交力系、平面力偶系、平面一般力系、平面平行力系的合成与平衡条件，掌握物体系统的平衡条件。,能力,:,1.,理解合力投影定理，能熟练计算力在坐标轴上的投影。,2.,能用几何法和解析法求解平面汇交力系的合力。,3.,能根据力偶的等效性求解平面力偶的合成结果。,4.,能对平面一般力系简化结果进行讨论。,5.,能列出平面一般力系的平衡方程。,6.,能利用平衡方程求解支座的约束反力。,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。在工程中经常遇到平面汇交力系。例如在施工中吊车的吊钩所受各力就构成一平面汇交力系，如,图,3-1,所示。,一、力在平面直角坐标轴上的投影,如,图,3-2,所示，设力,F,作用在物体上某点,A,处，用,AB,表示。通过力,F,所在的平面的任意点,O,作直角坐标系,xOy,。从力,F,的起点,A,及终点召分别作垂直于,x,轴的垂线，得垂足,a,和,b,，并在,x,轴上得线段,ab,，线段,ab,的长度加以正负号称为力,F,在,x,轴上的投影，用,X,表示。同理可以确定力,F,在,y,轴上的投影为线段,a,1,b,1,用,Y,表示。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,当力的始端投影到终端的投影方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值，反之，当力的始端投影到终端的投影方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。从图,3-2,中的几何关系得出，力在某轴上的投影，等于力的大小乘以该力与该轴正向间夹角的余弦，即,式中，,为力,F,与,X,轴所夹的锐角，,90,时力在,x,轴上的投影值为正，,90,时力在,x,轴上的投影值为负，,90,时力在,x,轴上的投影等于零。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,由式,(3-1),可知：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；当力与坐标轴平行时，力在该轴上投影的绝对值与该力的大小相等。,如果已知力,F,的大小及方向，就可以用式,(3,-,1),方便地计算出投影,X,和,Y,；反之，如果已知力,F,在,x,轴和,y,轴上的投影,X,和,Y,，则由图,3,-,2,中的几何,关系,，,可用式,(3,-,2),确定力,F,的大小和方向,。,式中，,为力,F,与,x,轴所夹的锐角，力,X,的具体方向可由,X,、,Y,的正负号确定。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,此外，必须要注意的是，不能将力的投影与分力两个概念混淆，分力是矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量。力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。,【,例,3-1】,已知力,F1=100V,F2=50V,F3=80V,F4=60V,，各力的方向如,图,3-3,所示，试求各力在,x,轴和,y,轴上的投影。,【,解,】,F1,的投影：,X,1,=0,Y,1,=100N,F2,的投影：,X,2,=F,2,cos45=50 X 0.707=35.36(N),Y,2,=F,2,sin45=50 X 0.707=35.36(N),上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,F3,的投影,:,X,3,=-F,3,cos30=-80 X 0.866=-69.28(N),Y,3,=F,3,sin30=80 X 0.5=40(N),F4,的投影,:,X,4,=-F4cos60=-60X0.5=-30(N),Y,4,=-F4sin60=-60X0.866=-51.96(N),二、合力投影定理,合力在任一轴上的投影，等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。,如,图,3-4,(a),所示，设有一平面汇交力系,F,1,、,F,2,、,F,3,作用在物体的,O,点。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,从任一点,A,作力多边形,ABCD,。在其平面内任取一坐标轴,x,，则各分力及合力在,x,轴上的投影,X,1,X,2,X,3,X,4,，由图,3-4(b),可知,X,1,=-ab,X,2,=,bc,，,X,3,=,cd,，,X,R,=ad,而,ad=-,ab,十,bc,十,cd,所以,X,R,=X,1,十,X,2,十,X,3,三、用几何法求平面汇交力系的合力,1.,两个汇交力的合成,如,图,3-5,(a),所示，设在物体上作用有汇交于,A,点的两个力,F,1,和,F,2,，根据力的平行四边形法则可求得合力,R,。用作图法求合力矢量时，可以不作图,3-5(a),所示的力的平行四边形，而采用作力三角形的方法得到。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,做法是,:,选取适当的比例尺表示力的大小，按选定的比例尺依次作出两个分力矢量,F,1,和,F,2,，并使二矢量首尾相连。再从第一个矢量的起点向另一矢量的终点引矢量,R,，它就是按选定的比例尺所表示的合力矢量，如图,3-5(b),所示。上述方法又称为力的三角形法则。,我们可以利用几何关系计算出合力,R,的大小和方向。如果给定两个分力,F1,和,F2,的大小及它们之间的夹角,，应用余弦定理，如图,3-5(b),所示，可求得合力,R,的大小为,再用正弦定理确定合力,R,与分力,F,1,的夹角,:,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,2.,多个汇交力的合成,如图,3-6,所示，设作用于物体上,A,点的力,X,1,X,2,X,3,X,4,组成平面汇交力系，现求其合力。,应用力的三角形法则，首先将,F,1,和,F,2,合成得,R,1,，然后把,R,1,与,F,3,合成得,R,2,，最后将,R,2,与,F,4,合成得,R,，力,R,就是原汇交力系,F,1,、,F,2,、,F,3,、,F,4,的合力，图,3-6 (b),所示即是此汇交力系合成的几何示意图，矢量关系的数学表达式为,R=F,1,+F,2,+F,3,+F,4,实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力,R,1,和,R,2,，只要按照一定的比例尺将表达各力矢量的有向线段首尾相接，就形成一个不封闭的多边形，如图,3-6(c),所示。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,然后再画一条从起点指向终点的矢量,R,，即为原汇交力系的合力，如图,3-6 (d),所示。这种由各分力和合力构成的多边形,abcd,。称为力多边形。按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点，这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法。,上述方法可以推广到包含,n,个力的平面汇交力系中，得出结论如下,:,平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，即,由此可见，合力的作用线通过各力的汇交点。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,值得注意的是，作力多边形时，改变各力的顺序，可得不同形状的力多边形，但合力矢的大小和方向并不改变。,四、用解析法求平面汇交力系的合力,当平面汇交力系为已知时，可选定直角坐标系求得力系中各力在,x,、,y,轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力,R,在,x,、,y,轴上的投影,R,X,R,Y,。则合力的大小及方向,(,合力,R,与,x,轴所夹的锐角为,),由下式确定。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,此外，必须注意的是，力的投影是标量。合力,R,的指向由,Rh,R,.,的正负号确定。合力的作用线通过原力系的汇交点。,例,3-2,某平面汇交力系如,图,3-7,所示，已知,F,1,=520,kN,F,2,=30kN,F,3,=10,kN,F,4,=,kN,，万试求该力系的合力。,【,解,】(1),建立坐标轴系,xOy,为如图所示，计算合力在,x,、,y,轴上的投影。,R,X,=,X,=F,1,cos30,-F,2,cos60,-F,3,cos45,+F,4,cos45,=20X0.866-30 X 0.5-10 X 0.707+2;X 0.707,=12.93 (,kN,),R,Y,=,Y,=F,1,sin30,+F,2,sin60,-F,3,sin45,-F,4,sin45,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,=20X0.+30 X 0.866-10 X 0.707-25X 0.707,=11.24(,kN,),(2),计算合力的大小与方向。,由于,X0,艺,Y0,，所以合力,R,指向右上方，作用线通过原汇交力系的汇交点,O,如图,3-7,所示。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,五、平面汇交力系平衡的解析条件,物体在平面汇交力系作用下处于平衡的充分必要条件是,:,合力,R,的大小等于零，即,式中,(X),2,、,(Y),2,均为非负数，要使上式成立则要使,R=0,，即,上式表明，平面汇交力系平衡的充分和必要的解析条件为：力系中各力的两个坐标轴上投影的代数和均等于零。称为平面汇交力系的平衡方程。这是相互独立的两个方程，所以只能求解二个未知量。,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,解题时未知力指向有时可以预先假设，若计算结果为正值，表示假设力的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设力的指向与实际指向相反。在实际计算中，适当地选取投影轴，可使计算简化。,下面举例说明平面汇交力系平衡条件的应用。,【,例,3-3】,简易起重机如,图,3-8,(a),所示，被匀速吊起的重物,G=20kN,，杆件自重、摩擦力、滑轮大小均不计。试求,AB,、,BC,杆所受的力。,【,解,】(1),选择研究对象，画其受力图。,AB,杆和,BC,杆是二力杆，不妨假设两杆均受拉力，绳索的拉力,T,BD,和重物的重力,G,相等，所以选择既与已知力有关，又与未知力有关的滑轮犅为研究对象，其受力图如图,3-8(b),所示。,(2),建立坐标轴系狓,O,狔如图,3-8(b),所示，列平衡方程,上一页,下一页,返回,第一节 平面汇交力系,求解得到,负号表示受力图中,S,BC,的方向与实际相反，在斜杆中实为压力。,上一页,返回,第二节 平面力偶系,一、力对点的矩及合力矩定理,力对点的矩,从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动。力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑轮、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以扳手拧螺母为例来加以说明。如,图,3-9,所示，在扳手上加一力,F,，可以使扳手绕螺母的轴线旋转。,实践经验表明扳手的转动效果不仅与力,F,的大小有关，而且还与,O,点到力作用线的垂直距离,d,有关。当,d,保持不变时，力,F,越大，转动越快。当力,F,不变时，,d,值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用,F,与,d,的乘积和适当的正负号来表示力,F,使物体绕,O,点转动的效应。,下一页,返回,第二节 平面力偶系,实践总结出以下规律：力使物体绕某点转动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离,d,成正比，这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心,(,简称矩心,),。力大小与力臂的乘积称为力,F,对点,O,之矩，简称力矩，记作,M,。,(F),，计算公式为：,式中的正负号可作如下规定,:,力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之取负号。,由,图,3-10,可以看出，力对点的矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的两倍来表示，计算公式为,:,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。,显然，力矩在下列两种情况下等于零,:,力等于零,;,力臂等于零，就是力的作用线通过矩心。,力矩的单位是牛顿,米,(,Nm,),或千牛顿,米,(,kNm,),。,【,例,3-4】,分别计算,图,3-11,所示的,F,1,F,2,对,O,点的力矩。,2.,合力矩定理,平面汇交力系的作用效应可以用它的合力来代替。作用效应包括移动效应和转动效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对点的矩来度量。,由此可得，平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于该力系中的各分力对同一点之矩的代数和，这就是平面汇交力系的合力矩定理。,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,证明,:,如,图,3-12,所示，设物体,O,点作用有平面汇交力系,F,1,F,2,其合力为,F,。在力系的作用面内取一点,A,，点,A,到,F,1,F,2,合力,F,三力作用线的垂直距离分别为,d,1,d,2,和,d,以,OA,为,x,轴，建立直角坐标系，,F,1,F,2,合力,F,与二轴的夹角分别为,1,、,2,、,，则：,等式两边同时乘以长度,OA,得,:,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,上式表明,:,汇交于某点的两个分力对,A,点的力矩的代数和等于其合力对,A,点的力矩。,上述证明可推广到,n,个力组成的平面汇交力系，即,:,上式就是平面汇交力系的合力矩定理的表达式。利用合力矩定理可以简化力矩的计算。,二、力偶与力偶矩,1.,力偶,在生产实践中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加两个大小相等、方向相反、不共线的平行力。例如钳工用丝锥攻丝时两手加力在丝杠上，如,图,3-13,所示。,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,由此，得出力偶的定义,:,大小相等、方向相反且不共线的两个平行力称为力偶。用符号,(F,F),表示。两个相反力之间垂直距离,d,叫力偶臂，如,图,3-14,所示。两个力的作用平面称为力偶面。,2.,力偶矩,力偶矩是用来度量力偶对物体转动效果的大小。它等于力偶中的任一个力与力偶臂的乘积。以符号,m(F,，,F),表示，或简写为,m,，即,力偶矩与力矩一样，也是以数量式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定,:,若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。,力偶矩的单位和力矩的单位相同，是牛顿,米,(N m),或千牛顿,米,(,Nm,),。作用在某平面的力偶使物体转动的效应是由力偶矩来衡量的。,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,力偶的作用效果取决于以下三个要素,:,(1),构成力偶的力的大小。,(2),力偶臂的大小。,(3),力偶的转向。,3.,力偶与力偶矩的基本性质,(1),力偶没有合力，所以不能用一个力来代替，也不能用一个力来与之平衡。,由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线平行，如果求它们在任一轴上的投影，如图,3-15,所示，设力与轴二的夹角为,，由,图,3-15,可得,:,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,由此得出，力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上的投影的代数和恒为零，所以力偶对物体只有转动效应，而一个力在一般情况下对物体有移动和转动两种效应。因此，力偶与力对物体的作用效应不同，不能用一个力代替，即力偶不能和一个力平衡，力偶只能和转向相反的力偶平衡。,(2),力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。,力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。如,图,3-16,所示，一力偶,(F,F),作用于某物体上，其力偶臂为,d,，逆时针转向，其力偶矩为,m=,Fd,，在该力偶作用面内任选一点,O,为矩心，设矩心与,F,的垂直距离为,x,。,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,由此力偶对,O,点的力矩为,:,(3),同一平面的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效，称为力的等效性。,三、平面力偶系的合成,作用在物体上的一群力偶或一组力偶，称为力偶系。作用在物体上同一平面内的两个或两个以上的力偶，称为平面力偶系。,平面力偶系合成可以根据力偶的等效性来进行。其合成的结果为,:,平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。即,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,若计算结果为正值，则表示合力偶是逆时针方向转动,;,若计算结果为负值，则表示合力偶是顺时针方向转动。,【,例,3-5】,如,图,3-17,所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设,F,1,=200N F,2,=400N m=150Nm,，求其合成的结果。,【,解,】,三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各分力偶矩为,合力偶矩,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,因此合力偶矩的大小等于,250Nm,，转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。,四、平面力偶系的平衡条件,平面力偶系合成的结果只能是一个合力偶，当平面力偶系的合力偶矩等于零时，表明使物体顺时针方向转动的力偶矩与使物体逆时针方向转动的力偶矩相等，作用效果相互抵消，物体必处于平衡状态,;,反之，若合力偶矩不为零，则物体必产生转动效应而不平衡。这样可得到平面力偶系平衡的必要和充分条件是,:,力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即,:,M=m=0,【,例,3-6】,三铰刚架如图,3-18,所示，求在力偶矩为,m,的力偶作用下，支座,A,和,B,的约束反力。,上一页,下一页,返回,第二节 平面力偶系,【,解,】(1),取分离体，作受力图。取三铰刚架为分离体，其上受到力偶及支座,A,和,B,的约束反力的作用。由于,BC,是二力杆，支座,B,的约束反力,N,B,的作用线应在铰,B,和铰,C,的连线上。支座,A,的约束反力,N,A,的作用线是未知的。考虑到力偶只能用力偶来与之平衡，由此断定,N:,与,N,:,必定组成一力偶。即,N,A,与,N,B,平行，且大小相等方向相反，如,图,3-18,所示。,(2),列平衡方程，求解未知量。,分离体在两个力偶作用下处于平衡，由力偶系的平衡条件，得,:,上一页,返回,第三节 平面一般力系,在平面力系中，若各力的作用线都处于同一平面内，它们既不完全汇交于一点，相互间也不全部平行，此力系称为平面一般力系,(,也称为平面任意力系,),。平面一般力系是工程中很常见的力系，很多实际问题都可简化成一般力系问题得以解决。,一、力的平移定理,作用在刚体上的一个力,F,，可以平移到同一刚体上的任一点,O,，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力,F,对新作用点,O,的矩。这就是称为力的平行移动定理，简称力的平移定理。,下面对定理进行论证。首先，设在刚体,A,点上作用有一力,F,，如,图,3-19,(a),所示，然后在刚体上任取一点,B,，现要将力,F,从,A,点平移到刚体,B,点。,下一页,返回,第三节 平面一般力系,在召点加一对平衡力系,F,1,与,F,1,，其作用线与力,F,的作用线平行，并使,F,1,=,F,1,=F,如图,3-19 (b),所示。由加减平衡力系公理知，这与原力系的作用效果完全相同，此三力可看做一个作用在召点的力,F,1,和一个力偶,(F,F,1,),，其力偶矩,m=M,B,(F)=,Fd,，如图,3-19(c),所示。,这表明，作用于刚体上的力可平移至刚体内任一点，但不是简单的平移，平移时必须附加一力偶，该力偶的矩等于原力对平移点之矩。,根据力的平移定理可说明一个力可以和一个力加上一力偶等效。因此，也可将同平面内的一个力和一个力偶合为另一个力。,力的平移定理是力系简化的基本依据，不仅是分析力对物体作用效应的一个重要手段，而且还可以用来解释一些实际问题。,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,二、平面一般力系的简化,设在物体上作用有平面一般力系,F,1,F,2,，,F,n,，如,图,3-20,所示。为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点,O,作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到,O,点后其就得到一个作用于,O,点的平面汇交力系,F,1,F,2,，,F,n,和力偶矩为,m,1,m,2,，,m,n,的附加平面力偶系。,其中平面汇交力系,F,1,F,2,，,F,n,中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即,F,1,=F,1,，,F,2,=F,2,，,，,F,n,=F,n,各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心,O,点的矩，即,m,1,=M,O,(F,1,),，,m,2,=M,O,(F,2,),，,，,m,n,=,M,O,(F,n,),上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,由平面汇交力系合成的理论可知，,F,1,F,2,，,F,n,可合成为一个作用于,O,点的力,F,并称为原力系的主矢量，简称主矢，即,F=F,1,+F,2,+F,n,=F,1,+,F,2,+F,n,F=F,1,=0,显然，主矢量并不能代替原力系对刚体的作用，因而它不是原力系的合力。其大小和方向利用合力投影定理计算公式如下,主矢的大小,:,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,主矢与,x,轴所夹的锐角,:,F,指向由,F,x,F,y,的正负号判断。附加的平面力偶系可以合成一合力偶，并称为原力系向,O,点简化的主矩,由此可以得出，平面一般力系向作用内任一点简化的结果是一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和,;,这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,此外，必须注意的是，作用于简化中心的力,F,一般并不是原力系的合力，力偶矩为,M,O,的力偶也不是原力系的合力偶，只有,F,与,M,O,两者相结合才与原力系等效。,三、平面一般力系简化结果的讨论,平面一般力系向作用面内一点简化的结果，一般可得到一主矢和一主矩，但这并非简化的最后结果，根据主矢和主矩是否存在，有可能出现以下四种情况,:,(1),主矢不为零，主矩为零，即,F,0,，,M,O,=0,这种情况下说明作用于简化中心的,F,即为原力系的合力，作用线通过简化中心。,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,(2),主矢、主矩均不为零，即,F,0,，,M,O,0,这种情况下说明，力系等效于一作用于简化中心,O,的力,F,和一力偶矩为,M,O,的力偶。由力的平移定理知，一个力可以等效地变换成为一个力和一个力偶，反之也可将一个力和一个力偶等效地变换成为一个力，如,图,3-21,所示。,将力偶矩为,M,O,的力偶用两个反向平行力,F,F,表示，并使,F,和,F,等值，共线，使它们构成一平衡力，如图,3-21,所示，为保持,M,O,不变，取力臂,d,为,将,F,和,F,这一平衡力系去掉，这样就只剩下力,F,与原力系等效。合力,F,在,O,点的哪一侧，由,F,对,O,点的矩的转向与主矩,M,O,的转向相一致来确定。,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,(3),主矢为零，主矩不为零，即,F=0,，,M,O,=0,这种情况下说明，平面任意力系中各力向简化中心等效平移后，所得到的汇交力系是平衡力系，原力系与附加力偶系等效。原力系简化为一合力偶，该力偶的矩就是原力系相对于简化中心,O,的主矩,M,O,由于原力系等效于一力偶，而力偶对平面内任意一点的矩都相同，因此当力系简化为一力偶时，主矩与简化中心的位置无关，向不同点简化，所得主矩相同。,(4),主矢与主矩均为零，即,F=0,，,M,O,=0,这种情况下说明，此时力系处于平衡状态。,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,四、平面一般力系的平衡条件及平衡方程,(,一,),平面一般力系的平衡条件,平面一般力系向平面内任一点简化，若主矢,F,和主矩,M,O,同时等于零，表明作用于简化中心,O,点的平面汇交力系和附加力平面力偶系都自成平衡，则原力系一定是平衡力系,;,反之，如果主矢,F,和主矩,M,O,中有一个不等于零或两个都不等于零时，则平面一般力系就可以简化为一个合力或一个力偶，原力系就不能平衡。因此，平面一般力系平衡的必要与充分条件是，力系的主矢和力系对平面内任一点的主矩都等于零，即,F=0,，,M,O,=0,(,二,),平面一般力系的平衡方程,1.,基本形式,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,平面一般力系平衡的必要与充分的解析条件是,:,力系中所有各力在任意选取的两个坐标轴中的每一轴上投影的代数和分别等于零,;,力系中所有各力对平面内任一点之矩的代数和等于零，即,上式表明，平面一般力系处于平衡的必要和充分条件是,:,力系中所有各力分别在,x,轴和,y,轴上的投影的代数和等于零，力系中各力对任意一点的力矩的代数和等于零。式又称为平面一般力系的平衡方程。这三个方程是彼此独立的，利用它可以求解出三个未知量。,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,【,例,3-7】,如,图,3-22,(a),所示的刚架,AB,受均匀分布风荷载的作用，单位长度上承受的风压为,(,qN/m,),，称,(q,为均布荷载集度。给定,(q,的大小和刚架的尺寸，求支座,A,和召的约束反力。,【,解,】(1),取分离体，作受力图，如图,3-22(b),所示。取刚架,A,为分离体。它所受的分布荷载用其合力,Q,代替，合力,Q,的大小等于荷载集度,(q,与荷载作用长度之积。,合力,Q,作用在均布荷载作用线的中点，如图,3-22,所示。,(2),列平衡方程，求解未知力。刚架受平面任意力系的作用，三个支座反力是未知量，可由平衡方程求出。取坐标轴如图,3-22(b),所示。列平衡方程，得,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,解得,负号说明约束反力,Y,A,的实际方向与图中假设的方向相反。,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,2.,其他形式,平衡方程式并不是平面一般力系平衡方程的唯一形式，它只是平面一般力系平衡方程的基本形式。除此以外，还有以下两种形式。,(1),二力矩式。用另一点的力矩方程代替其中一个投影方程，则得到以上两个力矩方程和一个投影方程的形式，称为二矩式，即,式中，注意,A,B,两点的连线不能与,x,轴垂直，如,图,3-23,所示。,(2),三力矩式。即三个平衡方程都是力矩方程，即,上一页,下一页,返回,第三节 平面一般力系,式中三矩心,A,B,C,三点不能共线。,由上可知，平面一般力系共有三种不同形式的平衡方程组，均可用来解决平面一般力系的平衡问题。每一组方程中都只含有三个独立的方程式，都只能求解三个未知量。任何再列出的平衡方程，都不再是独立的方程，但可用来校核计算结果。应用时可根据问题的具体情况，选用不同形式的平衡方程组，以达到计算方便的目的。,上一页,返回,第四节 平面平行力系,在平面力系中，若各力的作用线在同一平面内且相互平行，这样的力系称为平面平行力系。,平面平行力系在工程中经常遇到，如梁等结构所受的力系，常常都可简化成平面平行力系问题来解决。,如,图,3-24,所示，设物体受平面平行力系,F,1,F,2,，,F,n,的作用。如选取、二轴与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在、二轴上的投影恒等于零，即,X=0,。于是，平面平行力系只有两个独立的平衡方程，即,平面平行力系的平衡方程，也可以写成二矩式的形式，即,下一页,返回,第四节 平面平行力系,式中，,A,B,两点的连线不与力线平行。,平面平行力系只有两个独立的平衡方程，只能求解两个未知量。,【,例,3-8】,某房屋的外伸梁尺寸如,图,3-25,所示。该梁的,AB,段受均匀荷载,q,1,=20,kN/m,，,BC,段受均布荷载,q,2,=25,kN/m,，求支座,A,B,的反力。,【,解,】(1),选取,AC,梁为研究对象，画其受力图。,外伸梁,AC,在,A,B,处的约束一般可以简化为固定铰支座和可动铰支座，由于在水平方向没有荷载，所以没有水平方向的约束反力。在竖向荷载,q,1,和,q,2,作用下，支座反力,R,A,、,R,B,沿铅垂方向，它们组成平面平行力系。,(2),建立直角坐标系，列平衡方程。,上一页,下一页,返回,第四节 平面平行力系,(3),校核。利用不独立方程,上一页,返回,第五节 物体系统的平衡,在工程中，常常遇到由几个物体通过一定的约束联系在一起的系统，这种系统称为物体系统。,图,3-26,是机械中常见的曲柄连杆机构，,图,3-27,是一个拱的简图，,图,3-28,是一个厂房结构的简图。这些都是物体系统的实例。,在研究物体系统的平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作用力，同时还应分析系统内部物体之间的相互作用力。通常将系统以外的物体对这个系统的作用力称为外力，系统内各物体之间的相互作用力称为内力。例如,图,3-29,(a),所示，荷载及,A,C,支座处的反力就是组合梁的外力，而在铰召处左右两段梁之间的相互作用力就是组合梁的内力。应当注意的是，内力和外力是相对的概念，也就是相对所取的研究对象而言。,下一页,返回,第五节 物体系统的平衡,例如图,3-29 (b),所示组合梁在铰召处的约束反力，对组合梁的整体而言，就是内力，而对图,3-29(c),(d),所示的左、右两段梁来说，召点处的约束反力就成为外力了。,当物体系统处于平衡状态时，该体系中每一个物体也必定处于平衡状态。在解决物体系统的平衡问题时，可以选取整个物体系统作为研究对象，也可以选取物体系统中某部分物体,(,一个物体或几个物体组合,),作为研究对象，以建立平衡方程。但是，对由几个物体组成的物体系统来说，不论是整个系统或其中几个物体的组合或个别物体写出的平衡方程，总共只有,3n,，个独立的。因为作用于系统的力满足,3n,，个平衡方程之后，整个系统或其中的任何一部分必成平衡。,上一页,下一页,返回,第五节 物体系统的平衡,求解物体系统的平衡问题，关键在于恰当地选取研究对象，正确地选取投影轴和矩心，列出适当的平衡方程。总的原则是,:,尽可能地减少每一个平衡方程中的未知量，最好是每个方程只含有一个未知量，以避免求解联立方程。,上一页,返回,谢谢观赏,图,3-1,平面汇交力系,返回,图,3-2,力在直角坐标系的投影,返回,图,3-3,例,3-1,示意图,返回,图,3-4,合力投影定理应用,返回,图,3-5,两个汇交力合成,返回,图,3-6,多个汇交力的合成,返回,图,3-7,例,3-2,示意图,返回,图,3-8,例,3-3,示意图,返回,图,3-9,扳手上作用力,F,返回,图,3-10,力矩,返回,图,3-11,例,3-4,示意图,返回,图,3-12,平面汇交力系,返回,图,3-13,攻丝作用力,返回,图,3-14,力偶,返回,图,3-15,力偶在,x,轴投影,返回,图,3-16,力偶的转动效应,返回,图,3-17,例,3-5,示意图,返回,图,3-18,例,3-6,示意图,返回,图,3-19,力的平移,返回,图,3-20,平面一般力系简化,返回,图,3-21,力系等效,返回,图,3-22,例,3-7,示意图,返回,图,3-23,二矩式示意图,返回,图,3-24,平面平行力系,返回,图,3-25,例,3-8,示意图,返回,图,3-26,曲柄连杆机构,返回,图,3-27,拱简图,返回,图,3-28,厂房结构简图,返回,图,3-29,物体系统平衡,返回,