汽车振动与噪声控制.pptx

,汽车振动与噪声控制,（第,3,版）,普通高等教育车辆工程专业“新工科”建设系列教材,Contents,第八章 汽车车身及整车噪声,第三章 汽车发动机的振动分析与控制,第五章 汽车平顺性,第七章 汽车底盘系统噪声,第二章 声学理论基础,第四章 汽车动力传动及转向系统振动,第六章 汽车发动机及动力总成噪声,第一章 振动理论基础,第一章 振动理论基础,第一节 概 述,第二节 单自由度系统,第三节 多自由度系统,第四节 连续系统振动,第五节 随机振动分析基础,概述,介绍线性振动理论的基本内容。从不同着眼点对振动系统简单分类，从单自由度振动系统出发，定义振动问题和振动系统的基本概念，分析自由振动与强迫振动、瞬态振动与稳态振动的解表达形式及其物理意义；从线性单自由度振动系统对任意激励的响应表达，通过模态分析，获得对多自由度系统问题的一般解形式，并进一步分析指出，该形式对于连续振动系统响应表达仍然有效；针对汽车振动问题分析的特定要求，介绍了线性随机振动响应分析的基本内容。,概述,振动理论是分析任何机器和结构的动态特性,(,又称为动力学特性,),的理论基础之一。,汽车是一种结构较为复杂的机器，虽然它在结构形式、工作状态方面有其特殊性，但在做动态力学性能分析时，仍将其看成一个振动系统。,所谓振动系统，是对一般机器或结构系统的一类抽象数学模型，当研究的目的是关于这个系统的振动性能时，所抽象的系统模型，就称为,振动系统,。,概述,同一切动力学系统一样，振动系统也有复杂和简单之分，而被抽象出的振动系统复杂与否主要由研究问题的目的决定。,一个构成相对复杂的机器系统，比如汽车，如果研究的目的只要求考虑其质心垂直方向的运动，则可将该汽车简化成相对简单的振动系统，如将整车质量假想集中于质心上而简化为单自由度系统，一个看似简单的汽车某梁状或板状零件，根据研究的目的要求，则可将其抽象为相对更加复杂的多自由度系统甚至连续系统。,概述,振动系统可以按自由度来分类，这是为数学处理的方便和自然而使用的振动问题分类描叙的方法之一。,按自由度来分，振动系统可分为,离散系统,和,连续系统,。,概述,离散系统,又称为,集中参数系统,，它的特点是描述运动状态的方程是多元常微分方程组。其自变量元的物理意义往往是系统中某质量点的空间运动坐标或空间运动增量坐标，而自变量元的个数就称为振动系统的自由度维数；,既然定义出适当个数的自变量元是利用运动方程完全地描述出系统的空间几何位置所要求的，振动系统的自由度数就定义为在运动全过程中能完全确定系统的空间几何位置所需的独立坐标元的数目。,有限个自变量元的系统通常称之为多自由度振动系统，如描述问题只要求有一个自变量元，则称为,单自由度系统,。,概述,连续系统,是指描述其运动状态的参数，如质量、刚度和阻尼都是连续定义的，对应的运动方程是多元偏微分方程组。,既然自变量元代表质量点的运动坐标或运动增量坐标，当考虑的点无限密布于考虑的结构区域时，系统运动微分方程由常微分方程组转化为偏微分方程组，自由度数由有限变为无限多个，系统模型也就由集中参数的离散系统转化为分布连续参数系统，连续振动系统由此而得名。,概述,在进行振动系统分析时，对所考虑的系统区分它是线性系统还是非线性系统，基本,决定了分析可用的方法,。,从物理实质上讲，大多数实际系统都是非线性的；但为了使分析能够基于成熟的数学工具方便地进行，并且在能够断定所得结论在给定工况下能够基本真实地反应出实际系统的主要特性的情况下，常常采用,线性化近似作为振动系统建模的第一步,。,概述,线性化的方式一般有三类：,一是将实际物理系统的各种非线性因素近似线性化，从而得线性动力学方程；,二是精确利用非线性关系获得非线性动力学方程，再将方程中的非线性小项忽略；,三,是将系统非线性动力学方程在系统的,平衡工作点附近展开,，在该平衡工作点附近用近似线性（包括几何运动和物理性态）增量关系代替原非线性关系。,概述,当实际动力学系统涉及某些随机变量或随机过程时，对应的系统动态特性分析要求运用随机振动理论。在工程中最常见的情况是机械或结构本身构成是确定性的，而它们所工作的环境是随机性的，即对确定性构成的物理系统的激励是随机性的。按自然发展因果关系论，系统的响应自然也应是随机性的。,汽车是这样一个随机振动系统的典型，因为汽车行驶工况的主要激励是它正在行驶的路面的不平度，路面不平度本身是随机性的。因此，作为设计者最为关心的汽车的响应输出，也是由随机路面不平度和汽车本身构成所决定的随机过程。,这里的关系是随机振动系统分析的内容，它包括系统输入（激励）、系统本身和系统输出（响应）三部分之间的关系。,概述,本章主要述及线性振动理论，它是振动理论中最成熟、最规范的部分，也是具有最广泛工程实际应用的部分。,其成熟和规范体现在：无论怎样的实际工程结构，当确定是需要解决线性振动理论范围内的动力学问题时，其着手处或出发点，甚至分析问题的主要工作是考虑,如何将该实际结构抽象或归类为线性振动理论所设计的理论模型形式,；,当得到了这样的理论模型后，其分析方法和可能得到的结论，就由“线性振动理论”这一类逻辑的,“模板”,确定了。,概述,由此可见，解决工程实际振动问题，其核心在“建模”上。因而，对于汽车振动问题分析，其相当大的部分也就是针对汽车各大总成具体不同的结构，研究如何合理地抽象为要求的振动模型。,概述,虽然这里强调实践应用时动力学建模的重要性，但线性振动理论本身主要致力于建立理论和分析方法的基础。内容主要包括：,在振动理论基本定义的基础上建好模型以后，用来处理这些模型的数学方法和分析逻辑，它给出了一个相当完美的,结果表达形式和分析方法流程,。,我们要强调的是，线性振动理论给出的数学方法和分析逻辑，特别是其基本概念定义和相互间关系，就是能够从复杂实际系统问题中建立出合理模型所必须正确理解和适当使用的基础。,概述,第一节结束,第一章 振动理论基础,第一节 概 述,第二节 单自由度系统,第三节 多自由度系统,第四节 连续系统振动,第五节 随机振动分析基础,第二节,单自由度系统,第二节,单自由度系统,一、自由振动,所谓自由振动是指某振动系统受到某种初始外界激励后，在所定义的时间零点开始后不再受外界激励情况下，系统表达的运动。既然系统此时已经不再遭受外界的影响，它的振动所表现出来的性质，就仅仅是系统本身的构造分布所决定的。,第二节,单自由度系统,正因为如此，系统自由振动所表达的运动学规律，对于我们理解系统构成与振动运动特征之间的关系，进而定义一些描述振动特征的量，就有重要的意义。考虑如图,1-2-1(a),所示的单自由度系统。,(a)(b),图,1-2-1,单自由度自由振动系统,第二节,单自由度系统,单自由度系统是最简单，也是最基础的有限自由度集中参数系统。这里引入了集中参数振动系统的,3,个最基本物理参数：质量,m,，弹簧,k,，阻尼,c,。,质量,m,是实际系统的惯性的代表，在模型中被抽象为仅有质量,m,（单位：千克（,kg,）的质点；弹簧,k,是系统的弹性的代表，被抽象为无质量的、有刚度系数为,k,（单位：牛顿,/,米（,N/m,）的弹簧。在线性振动范围内，认为是线性弹簧，即刚度系数,k,不随弹簧变形的大小而改变；阻尼,c,是实际系统振动运动中各种机械能耗散机制的代表，如各种阻力，像流体摩擦阻力，干摩擦阻力等。,第二节,单自由度系统,虽然实际结构系统振动运动时机械能耗散的物理机制很多，线性振动理论范围内的典型做法是将其等价为线性粘性阻尼，即假设阻尼力与阻尼器两端点间的相对运动速度成正比，比例系数为,c,（单位：牛顿,.,秒,/,米（,N.s/m,），称之为粘性阻尼系数。在单自由度系统中，运动只考虑一个方向，所有物理参数如,m,、,k,和,c,也只相对于所考虑的这个运动方向定义。,第二节,单自由度系统,建立图,1-2-1(a),所示系统的运动微分方程。其方法遵循以下步骤：,1,）取隔离体；,2,）进行受力分析；,3,）运用牛顿第二定律建立运动微分方程。,该系统的隔离体和受力分析如图,1-2-1(b),所示,其运动微分方程为,其中,x,st,质量块的初始静位移。将坐标原点放在质量块的静平衡位置，应有,整理上方程得,（,1-2-1,）,第二节,单自由度系统,先不考虑阻尼的效应，即假设,c,0,，并令,方程（,1-2-1,）成为,（,1-2-2,）,由常微分方程理论可知，方程,(1-2-2),的通解可表示为,其中,C,1,与,C,2,是任意常数，由系统初始条件确定。,第二节,单自由度系统,设系统初始条件如：,t,=0,时，,，两任意常数可确定为,则,系统,无阻尼自由振动解,为,（,1-2-3,）,其中,-,第二节,单自由度系统,方程（,1-2-3,）表明，质量块将作简谐振动运动，其,振动的圆频率,为,（,1-2-4,）,而振动的频率即为：,第二节,单自由度系统,由,f,n,的表达式可看出，此频率只与系统的刚度和质量有关，与外界的初始激励（系统初位移和,/,或初速度）无关，故称之为系统,固有频率,。,它是描述系统振动性能的一个非常重要的特征量，因为从（,1-2-3,）看出，系统受到初始激励后，将持续进行频率为,f,n,的往复运动，此往复运动的,频率仅由系统本身的质量和刚度分布决定,；往复运动的幅度大小（振幅）,B,及初相角,f,则取决于外界的初始激励以及系统本身的质量、刚度分布（注意,B,及,f,的表达式中包括,和,w,n,）。,第二节,单自由度系统,在前讨论中，略去了运动所受的阻力，系统在自由振动中机械能守恒，因而振幅,B,保持不变。实际系统能量耗散机制总是存在的，所以有必要考虑,存在阻尼,情况下（,c,0,）的自由振动。,第二节,单自由度系统,对,c,定义阻尼比,:,（,1-2-5,）,其中,。,根据,w,n,的定义（,1-2-4,）式，方程（,1.2-1,）可转化为,（,1-2-6,）,令方程（,1-2-6,）的特解为,代入该方程，得系统特征方程为,（,1-2-7,）,第二节,单自由度系统,由式,(1-2-7),可解得系统的特征根为,:,则方程（,1-2-6,）的通解为,(1-2-8),其中,C,1,与,C,2,仍是由系统初始条件确定的常数。,由于包括了能量耗散机制，由（,1-2-8,）代表的单自由度系统的自由振动总体表达为衰减运动，并随着阻尼比,z,不同的取值范围有所不同，这说明系统的运动衰减形态是由其阻尼比决定的。,第二节,单自由度系统,从阻尼比的定义式（,1-2-5,）可以看出，阻尼比并不仅仅取决于粘性阻尼系数，它还同系统的质量和刚度有关，因此阻尼比,z,与固有频率,w,n,一样，是描述系统振动特性的一个本质特征参数。正是这个特征参数，由其不同的取值范围，将,系统初始扰动后的衰减分为不同的运动形态,。,主要的形态有两种，当,z,1,时称之为欠阻尼形态，当,z,1,时为过阻尼形态；在欠阻尼到过阻尼的临界点,z,1,，称之为临界阻尼形态。以下分别讨论它们。,第二节,单自由度系统,1),欠阻尼形态，,z,1,，特征根成为,上式中,j,为虚数单位。应用欧拉公式，式（,1-2-8,）可转化为,（,1-2-9,）,或写为,（,1-2-10,）,第二节,单自由度系统,可见此时运动为衰减振动，其振动频率为,称之为系统的,阻尼固有频率,。该运动曲线如图,1-2-2,。,图,1-2-2,欠阻尼系统衰减振动曲线,第二节,单自由度系统,（,1-2-9,）中的常数,A,和,C,或（,1-2-10,）中的振幅,B,及初,相角,f,由系统初位移、初速度及系统本身参数确定，有,第二节,单自由度系统,2),过阻尼形态，,z,1,，此时特征根,s,1,和,s,2,为负实数。从运动表达式（,1-2-8,）可以看出，系统被初始扰动后的运动并不振荡，只是单调地以指数规律衰减趋于平衡位置。,第二节,单自由度系统,3),临界阻尼形态，,z,1,，此时,s,1,和,s,2,是重根，都等于,-,w,n,，则方程（,1.2-6,）的通解的形式为,这也是非振荡衰减运动。其中,D,和,E,为,由系统初始条件及系统本身参数确定的常数。,第二节,单自由度系统,可以想到，作为一个孤立的点，临界阻尼状态物理上是很少遇到的，但临界阻尼概念的提出实际是为了引入一个分析上更有意义的量：临界阻尼系数,c,c,。回顾式（,1-2-5,），对,z,1,，有,（,1-2-11,）,物理本质上,c,c,和系统的阻尼无关，如式,(1-2-11),，它是由系统的质量和刚度决定的量。定义出,c,c,实际是想说明：当系统的物理黏性阻尼系数,c,小于由该系统质量和刚度确定的量 时，初始扰动后系统会表现出振荡衰减运动，否则，运动将只衰减而不振荡。,第二节,单自由度系统,二,、,强迫,振动,谐波激励和周期激励,强迫振动是指系统有外部激励期间表现的振动，外界激励可以是作用在质量块上的力，如图,1-2-3,所示；也可以是系统支承的运动，如图,1-2-5,所示。,图,1-2-3,单自由度系统强迫振动,第二节,单自由度系统,第二节,单自由度系统,.,谐波激励响应,如果作用在质量块上的力是某个频率的简谐力，称系统的响应为谐波响应。单自由度系统的谐波响应是线性振动理论分析的基础之一。,对于图,1-2-3,),所示系统。设坐标原点在系统静平衡位置，略去平衡的质量重力和弹簧静反力，得隔离体受力分析图如图,1-2-3,),所示，系统运动微分方程为,（,1-2-12,）,第二节,单自由度系统,考虑谐波响应时，设,（,1-2-13,）,按常微分方程理论，方程（,1-2-12,）的解由该方程的齐次方程（即方程（,1-2-1,）的通解加该非齐次方程的任一个特解组成，系统的初始条件为方程整个解的定解条件。,第二节,单自由度系统,设系统有初始条件：，,f,(,t,),为（,1-2-13,）形式的简谐力，（,1-2-12,）完整的解为,第二节,单自由度系统,（,1-2-14,）,第二节,单自由度系统,由（,1-2-14,）可看出，完整的谐波振动响应包括,3,个部分。,（,1-2-14,）中的第,1,部分就是由系统初始扰动导致的自由振动响应。这里给出的是欠阻尼特征的系统响应表达。随着时间增加，这部分将衰减到零。,（,1-2-14,）中的第,2,部分称之为系统伴随自由振动，是由于初始条件和激励的引入而导致的系统本征振动（其振动频率为系统的阻尼固有频率,w,d,）。注意即使系统初始条件为零，此部分仍存在；由于代表阻尼效应的时间负幂指数函数作为乘子存在，此部分也随时间衰减到零。,（,1-2-14,）中的第,3,部分振动不随时间增加而衰减，它始终存在并且有和激励谐波力相同的频率。忽略前两部分仅由这一项所代表的系统振动就称为稳态振动或稳态响应，对应项称为,稳态项,。,包括所有三个部分并在初始时刻附近时段的系统振动称之为,瞬态振动,或,过渡过程响应,。（,1-2-14,）中的,前两部分称为瞬态项,。,第二节,单自由度系统,进一步讨论系统的稳态响应。重写式,(1-2-14),并忽略瞬态项，有,(1-2-15),注意响应振幅为,：,其中,X,s,F/k,为激励力幅值静态地作用于系统时可导致的变形位移，而,动态响应振幅则是系统静载变形位移的放大,，为,第二节,单自由度系统,这里：,（,1-2-16,）,为,动态放大因子,。它随频率比,l,w/w,n,和阻尼比,z,而变化。,另外,（,1-2-17,）,是响应,x,(,t,),滞后于谐波激励力,f,(,t,),的,相位角,。,第二节,单自由度系统,b,和,y,随,l,的变化曲线分别被称为系统的,幅频曲线,及,相频曲线,，它们给出在图,1-2-4,（,a,）和（,b,）中。,图,1-2-4,（,a,）幅频曲线,图,1-2-4,（,b,）相频曲线,第二节,单自由度系统,由两曲线可见：,(1),当激励频率远大于系统固有频率时，,l,1,，不论阻尼比,z,的大小，,b,趋于零。故系统工作于,l,1,称之为在,相对高频带,，此时响应振幅小于静载变形位移。动态响应振幅小是因为激振力变化太快而质量有惯性跟不上（见相频曲线，响应相位滞后趋于,180,o,，说明激振力与响应位移几乎反相），故认为在相对高频段系统响应主要由其质量惯性所决定。所谓相对高频是指激励频率相对于系统固有频率较高，并不是绝对意义上的激振频率高。,第二节,单自由度系统,(2),当激励频率远小于系统固有频率时，,l,1,，不论阻尼比,z,大小，,b,趋于,1,，响应振幅趋于静载变形位移。,l,1,就称为,相对低频段,。静载变形由系统刚度决定其大小，故在相对低频段，系统响应主要由其刚度决定。,第二节,单自由度系统,(3),当激励频率在系统固有频率附近时，,l,1,，阻尼比,z,的大小极大地影响,b,。这频段范围称为,共振区,。,b,的最大值,b,max,在,达到。实际系统中一般有,z,2,1,，故通常认为在,l,1,时响应位移达到最大值，即发生共振；此时有,X,max,=,X,s,/(2,z,),，可见阻尼比越小共振峰值越大，并且共振峰值非常敏感于阻尼比。因此，只有在共振频段范围内，阻尼才对响应的大小有很好的控制作用。,第二节,单自由度系统,注意，这里的阻尼指的是阻尼比,它实际代表系统的粘性阻尼系数和系统的质量及刚度之间的一个比例。,由阻尼比定义可见，即使粘性阻尼系数,c,不变，减少,k,和,m,同样可以增大阻尼比。,由相频曲线可注意到当,l,1,时无论,z,多大，总是有,y,90,o,这也是共振时的一个典型现象。,第二节,单自由度系统,.,支承谐波激励响应,单自由度系统支承运动激励的模型如图,-,-,所示。设支承运动的简谐运动为,（,1-2-18,）,由隔离体受力图，可得系统运动微分方程,（,1-2-19,）,图,-,-,支承运动激励,第二节,单自由度系统,可以利用复函数方法求解（,1-2-19,）的稳态振动。,令,，,代入（,1-2-19,），得,可求得,图,-,-,支承运动激励,第二节,单自由度系统,定义传递率,b,X,/,X,g,，其意义类似于放大因子。利用前文对,l,、,z,及,w,n,的定义，整理上两式后有,（,1-2-20,）,（,1-2-21,）,第二节,单自由度系统,支承谐波激励的稳态位移响应，由于（,1-2-18,）是正弦函数，故可取,x,复函数表达式中的虚部，仍为（,1-2-15,）的形式，可写为：,（,1-2-22,）,b,和,y,是支承谐波运动激励的幅频和相频响应曲线，如图,1-2-6,。,第二节,单自由度系统,由两曲线可见：,当时,b,3,以后,对相同阻尼比,z,，随,l,增加传递率,b,的下降不再明显,。,图,1-2-6,支承谐波激励的幅频和相频响应,第二节,单自由度系统,已讨论了系统运动方程如（,1-2-12,）的各种激励条件下的瞬态和稳态响应。很明显，对于实际问题的振动分析，首先要将问题的表达成方程（,1-2-12,）的形式，方程中加速度、速度和位移,项前的系数,，就是,等效,的“,质量,”、“,阻尼系数,”和“,弹簧常数,”。,目前还限于需把这些系数“归纳”为常数（虽然实际上有可能不是）。在做归纳和简化过程中，可以根据研究目标，或多或少地包含或省略某些实际存在的物理性质。这样的“包含或省略”的多少，就决定了“建模”精度。而建模精度又是决定所求取的响应是否符和实际的最关键因素。下面举一些建模的例子。,第二节,单自由度系统,例,-,如图,-,-,所示的串联弹簧系统，求取其等效刚度及等效质量。分别考虑两种情况,:,(,),不包括弹簧本身质量；,(,),包括弹簧本身质量,(,设,l,1,、,r,1,和,l,、,r,分别为弹簧,k,，,k,的长度和质量线密度,),，求系统自由运动微分方程。,图,-,-,串联弹簧系统,第二节,单自由度系统,解：在目前假设范围内，包括或不包括弹簧本身质量对系统的等效弹簧刚度无影响。,弹簧串联各弹簧所受力相等，图示情况皆为,mg,，则弹簧,k,1,的变形为,mg/k,1,，而弹簧,k,2,的变形为,mg/k,2,，设系统等效弹簧刚度系数为,k,e,，质量,m,的总变形应为各弹簧变形之和，故,则有,第二节,单自由度系统,(1),不考虑弹簧本身质量时，系统等效质量即为集中质量，,m,e,m,。,(,),包括弹簧本身质量时，设振动时弹簧的每点变形位移形态类同于静力,mg,作用时的位移形态。弹簧串联各弹簧受力相等，有,k,1,x,1,=k,2,(,x,m,x,1,),，,得,设弹簧,k,1,上距固定端的距离为,x,的点的变形位移为,x,x,，有,（,1-2-23,）,第二节,单自由度系统,同样，设弹簧,k,2,上距两弹簧连接处,x,1,的距离为,h,的点的变形位移为,x,h,，有,（,1-2-24,）,振动中弹簧分布质量产生的动能为,（,1-2-25,）,由式,(,-,-,),和式,(,-,-,),，有,和,第二节,单自由度系统,代入,(1-2-25),，积分后得：,系统总动能为,系统总势能为,不考虑阻尼系统为保守系统，有,第二节,单自由度系统,导得系统自由振动方程为：,其中等效质量和等效刚度分别为,解毕,。,第二节,单自由度系统,推导中设弹簧振动时每点变形位移形态类同于静力作用时的位移形态，这是一个对推导等效质量,起关键作用的假设,，实践证明此假设近似程度很高。,这种先假设振动系统动态变形形态，再来计算相关量的建模方法，称为,瑞利法,。很明显，此法的精度很大程度地取决于所假设动态变形形态的精度。,第二节,单自由度系统,例,-,一辆汽车拖车的悬架弹簧被它的载重压缩了,d,10.16,cm,，当拖车以,v,64.4,km,/,h,的速度的行驶在幅度,x,g,7.62,cm,、波长,l,14.63,m,的正弦波状路面上，不计阻尼，求拖车的振幅,?,重力加速度,g,9.8,m,/,s,2,。,解,:,拖车行驶路程可表示为,：,z,=,vt,支承激励函数可表示为,则激励的圆频率为,第二节,单自由度系统,拖车可简化为单自由度系统，设全部载重质量为,m,，悬架弹簧刚度为,k,，则有,因为,所以,不计阻尼，,z,=0,，由（,1-2-20,），可得拖车振幅为,解毕。,(,rad/s,),(cm),第二节,单自由度系统,例,-,讨论下列非黏性阻尼效应的线性化建模,:,(,),机械平面零件间干摩擦；,(,),物体在低黏性流体中以较大速度运动。,解,:,线性系统定义阻尼比,z,时利用的是物理黏性阻尼系数,c,与临界阻尼系数,c,c,之比。物理黏性阻尼系数,c,代表的是其阻尼力与其两端点的相对速度成正比的线性黏性阻尼器振动能量耗散机制。,第二节,单自由度系统,现实情况中存在着多种不是线性黏性阻尼的能量耗散机制，统称为,非黏性阻尼,。非黏性阻尼本质上是非线性的。为了使在非黏性阻尼情况下，以式,(,-,-,),表达的线性系统模型方程仍然可用，定义,等价黏性阻尼系数,c,eq,来近似表达非黏性阻尼情况。,这里的简化采用,能量等价,原则，即假设在相同谐波振动周期内，用等价黏性阻尼系数,c,eq,表达的耗散能量与拟简化的非线性阻尼耗散的能量相等。,第二节,单自由度系统,已知单自由度线性系统的粘性阻尼器产生的阻力为,则线性粘性阻尼器在稳态谐波响应,x,(,t,),=,X,sin(,w,t,-,y,),的一个振动周期,T,内所耗散的能量为,：,（,1-2-26,）,假设在相同振动周期内所考虑的非黏性阻尼的耗散功与等效黏性阻尼的耗散功相等,即令,E,nc,=,E,c,。这里,E,nc,为所考虑的拟简化非黏性阻尼在同一振动周期,T,内所耗散的能量，则由式,(1-2-26),可定义等效黏性阻尼系数,c,eq,为,（,1-2-27,）,第二节,单自由度系统,(1),干摩擦阻尼力是一种典型非粘性阻尼，已知干摩擦产生的阻力,f,d,与速度无关，表达式为：,f,d,=-,m,Nsgn,(),，其中,m,为干摩擦系数，,N,为摩擦平面间的正压力,sgn,(),为符号函数，其定义为,：,（,1-2-17,）,这样,因此,第二节,单自由度系统,(,),当物体在流体,(,如水、空气,),中以较大的速度,(,大于,3,m/s,),运动时，阻尼力与相对速度平方成正比，方向与速度方向相反，其值可近似表示为,：,式中,:,m,c,流体阻力系数。,此时有,就有,第二节,单自由度系统,注意到上述两种情况下的,c,eq,都是所设谐波,振动圆频率,w,的函数,。对其他类型的非黏性阻尼机制也可以类似方式来线性化简化,。,解毕。,第二节,单自由度系统,.,周期激励响应,上述谐波激励，考虑的是一个单频率的谐波力激励或支承激励。如果激励并不是单频谐波，而是周期函数的激励，则可利用周期函数的傅里叶级数展开，将问题转化为,求取基频加一系列倍频的谐波函数激励的响应,。,由于系统运动方程是常系数线性微分方程，叠加原理成立，整个响应也就是每个谐波函数激励响应的叠加。以下用一个例子说明这个过程。,第二节,单自由度系统,例,-,系统如图,-,-,所示。设激励力函数,f,(,t,),为如图,-,-,所示的周期性方波，设,T,T,n,/,，,T,n,为系统固有周期，求其稳态响应。,解,:,在一个周期内，激励力表达为,：,图,-,-,周期方波激励力函数,第二节,单自由度系统,设,f,(,t,),满足狄里赫利条件，可以有傅里叶级数展开,：,因为一个周期内,f,(,t,),总面积为零，故,a,0,=0,内,f,(,t,),对,/,反对称，而,cosi,w,t,1,对称，则,是,a,i,=0,第二节,单自由度系统,由,b,i,的计算表达式，可算得,：,图,-,-,系统的运动微分方程为,第二节,单自由度系统,由单频谐波响应表达式和叠加原理，记,：,，,可得,按题意 ，所以,解毕,第二节,单自由度系统,三、对任意激励的响应,.,单位脉冲响应,为便于描述脉冲力，引入,函数又称为单位脉冲函数。它的定义为,：,且有,（,1-2-17,）,它有所谓“筛选”性质，即,第二节,单自由度系统,对于在零时刻作用有单位脉冲函数并有零初始条件的单自由度系统运动方程为,：,（,1-2-28,）,将式,(1-2-28),左右两边对,dt,在微区间,(,e,e,),内积分，有,第二节,单自由度系统,在脉冲作用瞬时，质量来不及运动，初位移和位移增量为零，故上式左边后两项积分为零。由于力脉冲的作用，速度增量不为零。考虑,e,趋于零，上积分等式就是 ，故,。由于脉冲持续时间视为无穷小，脉冲作用时间后就成为有初始速度扰动的自由振动。其运动方程和初始条件为,：,（,1-2-29,）,这样，式,(,-,-,),代表的,零初始条件单位脉冲激励的强迫响应,问题就转化为式,(,-,-,),代表的,初始速度扰动的自由振动响应,问题,。,第二节,单自由度系统,对式,(,-,-,),的系统，根据式,(,-,-,),，响应为,：,（,1-2-30,）,式,(,-,-,),也是式,(,-,-,),的响应表达式。由于式,(,-,-,),是借助于单位脉冲函数这一理想化激励函数定义的，故称式,(,-,-,),为,单位脉冲响应,，以特别记法,h,(,t,),标记之。,h,(,t,),实际是系统的时域动态特性的一种表达。对于作用于时刻,t,t,且强度为,I,0,的脉冲响应，可借助,h,(,t,),表达为,（,1-2-31,）,第二节,单自由度系统,.,任意非周期激励响应,设运动方程为,：,（,1-2-32),）,而,f,(,t,),为任意非周期激励力函数，其形式示意如图,1-2-9,。,图,1-2-9,任意激励力函数,第二节,单自由度系统,可以利用式,(1-2-31),给出的在,t,t,时刻脉冲响应,h,(,t-,t,),得到系统对任意非周期激励力的响应。把任意激励力,f,(,t,),看作一系列冲量微元,f,(,t,),d,t,之和,如图,-,-,所示。,f,(,t,),d,t,相当于在,t,t,时作用的一个冲量微元。对于这一个冲量微元,f,(,t,),d,t,，,式,(,-,-32),系统的响应微元应为,：,dx=h,(,t-,t,),f,(,t,)d,t,根据叠加原理，系统对整个激励,f,(,t,),的响应为各响应微元的叠加。而微元叠加等价于积分，即,（,1-2-33,）,第二节,单自由度系统,此式表明，系统对任意激励的零初始条件下的响应等于激励与单位脉冲响应的卷积,h,(,t,),f,(,t,),。式,(1-2-33),又称为,杜哈梅积分,。将式,(1-2-31),代入式,(1-2-33),，得,（,1-2-34,）,由于卷积满足交换律，式,(1-2-34),也可写成,第二节,单自由度系统,上两式是零初始条件下的式,(1-2-32),的响应。包括了激励力引起的瞬态振动和稳态强迫振动。如果包括非零初始条件并假设为欠阻尼系统，整个响应为,（,1-2-35,）,第二节,单自由度系统,例,-,设激励为如图,-,-10,所示半正弦脉冲，求无阻尼单自由度系统零初始条件响应。,解,:,激励力表达为,图,-,-10,半正弦脉冲激励力,第二节,单自由度系统,由（,1.2-35,），有,z,0,，记 ，对 ，有,第二节,单自由度系统,对,t,t,1,，有,第二节,单自由度系统,记,l,/,w,n,，,X,s,F,/,k,，整理后有,解毕,第二节,单自由度系统,3.,频率响应函数和传递函数,对（,1.2-33,）两边进行傅立叶变换,F,(),，记,X,(,w,)=,F,(,x,(,t,),，,F,(,w,)=,F,(,f,(,t,),，,H,(,w,)=,F,(,h,(,t,),，注意卷积的傅立叶积分变换的性质，即,F,(,h,(,t,),*f(t,),=,F,(,h,(,t,),F,(,f,(,t,),=H,(,w,),F,(,w,),，,则,F,(,x,(,t,)=,F,(,h,(,t,)*,f,(,t,)=,F,(,h,(,t,),F,(,f,(,t,),，即,X,(,w,)=,H,(,w,),F,(,w,),就有,H,(,w,)=,X,(,w,)/,F,(,w,),（,1-2-36,）,H,(,w,),就是系统的,频率响应函数,。它定义为系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比。,第二节,单自由度系统,H,(,w,),和系统的单位脉冲响应函数，形成傅里叶变换对，即,H,(,w,)=,F,(,h,(,t,),),h,(,t,)=,F,-1,(,H,(,w,),),（,1-2-37,）,对于图,-,-,所示单自由度系统，对式,(1-,-,),两边进行傅里叶变换，有,(,k,m,w,2,jc,w,),X,(,w,)=,F,(,w,),H,(,w,)=,X,(,w,)/,F,(,w,),1/(,k,m,w,2,jc,w,),（,1-2-38,）,第二节,单自由度系统,频率响应函数,H,(,w,),的模,H,(,w,),的相角,可见，,H,(,w,),的模与前述放大因子,只相差一个常数,/,k,，而,H,(,w,),的相角函数就是前述相频曲线,。,第二节,单自由度系统,对式,(,-,-33),两边进行拉普拉斯变换,L,(),，可导得它和系统的单位脉冲响应函数，形成傅里叶变换对，即,H,(,s,)=,X,(,s,)/,F,(,s,),这里,X,(,s,),L,(,x,(,t,),，,F,(,s,),L,(,f,(,t,),，,H,(,s,),L,(,h,(,t,),。,H,(,s,),称为系统的,传递函数,，是系统响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比。它与单位脉冲响应函数形成拉普拉斯变换对，即,H,(,s,)=,L,(,h,(,t,),),h,(,t,)=,L,-1,(,H,(,s,),),不难证明，对传递函数,H,(,s,),令,s,j,w,，就得频率响应函数,H,(,w,),。上述两种变换和定义，都假设系统在零初始条件下。,第二节,单自由度系统,第二节结束,第一章 振动理论基础,第一节 概 述,第二节 单自由度系统,第三节 多自由度系统,第四节 连续系统振动,第五节 随机振动分析基础,第,三,节,多,自由度系统,第三节 多自由度系统,对实际系统动态特性的研究大多要深入到超出单自由度系统模型所能表达的范围，因此，需要用更复杂数学模型来描述系统，集中参数多自由度系统就是一种。,一、多自由度系统运动微分方程,考虑如图,-,-,所示轿车模型。,第,三,节,多,自由度系统,设要研究的是轿车车身的上下和俯仰振动。则可简化轿车车身为刚杆，其质量为,m,，相对于质心,C,的转动惯量为,J,C,，前后轮胎、悬架的弹性简化为弹簧，在前后轮胎处分别为,k,1,、,k,2,，前后轮胎支承处到车辆质心的距离分别为,l,1,、,l,2,。,图,-,-,轿车模型,第,三,节,多,自由度系统,利用拉格朗日方程建立系统的微分方程。,n,自由度系统的拉格朗日方程的一般表达为,式中，,q,i,(,i,=1,2,3,n,),为系统的独立广义坐标；,Q,i,(,i,=1,2,3,n,),为系统非有势力的广义力；,L,为拉格朗日函数：,L,=,T,U,，,T,为系统动能，,U,为系统势能。,第,三,节,多,自由度系统,对于图,-,-,所示系统，定义刚杆随体坐标系原点,O,位于刚杆质心,C,，随体坐标系原点相对大地固定坐标系的垂直位移为,x,(,向下为正,),，随体坐标系相对大地固定坐标系转角为,q,(,顺时针为正,),。有,则有,第,三,节,多,自由度系统,其中,p,x,，,p,q,分别为对应于广义坐标,x,，,q,的广义力,考虑自由振动情况时可设它们为零。,上式可写成矩阵形式。,（,-,-,）,简记为,（,-,-2,）,第,三,节,多,自由度系统,式,(,-,-,),可以推广视为是,n,自由度系统无阻尼运动微分方程的一般形式。推广后,x,为,n,维广义坐标列向量，,M,为,n,n,维质量矩阵，,K,为,n,n,维刚度矩阵，,p,为,n,维激励力列向量。,对式,(,-,-,),系统，质量阵,M,非对角项为零，,x,的加速度不会导致,q,维的惯性力，反之亦然，称为,惯性解耦,；刚度阵,K,非对角项不为零，位移,x,会导致角位移,q,维弹性力，反之亦然，称为,弹性不解耦,。,第,三,节,多,自由度系统,如果定义的随体坐标系原点,O,不置于刚杆质心,C,，放在刚杆纵向中心线上但相距,C,的距离为,e,。记此时随体坐标系原点相对大地固定坐标系的垂直位移为,x,e,，相对转角为,q,e,，并记前后轮胎支承处到此时,O,点的距离分别为,a,1,、,a,2,，可导得运动微分方程形式为,第,三,节,多,自由度系统,可见,惯性和弹性都不解耦,。,如果调节假想定义的随体坐标系原点的相对位置使得,k,2,a,2,k,1,a,1,，则上式的刚度矩阵,K,非对角项为零，,为弹性解耦；但此时不能保证惯性解耦,，因为虽然随体坐标系原点可以相对自由地定义放置，但实际车辆的物理参数如质量、刚度和质心位置等是相对固定的。,第,三,节,多,自由度系统,由此可见，描述物体运动的坐标系可以任意地定义，所用坐标系的不同只是用来度量运动的参考点的不同，并且随着使用坐标系的不同使得所获描述运动的微分方程组的,复杂程度不同,，例如会出现惯性和弹性都不解耦或惯性解耦但弹性不解耦或惯性不解耦但弹性解耦等。,第,三,节,多,自由度系统,现在要问,:,能不能一般地找到,一个“坐标系”,，使得所获运动微分方程组达到,一个“最简单”的形式,。,所谓“最简单”形式，是指其质量和刚度矩阵的,非对角项同时为零,。这样惯性和弹性都“解耦”。微分方程组实际变成一系列单变量微分方程而类似于一个个单自由度系统。,答案是可以的。下面就来寻找定义这样一个“坐标系”的一般方法。,第,三,节,多,自由度系统,二、实模态分析,.,主振动,研究,n,自由度系统的自由振动。设式,(,-,-,),右端激励力向量,p,。系统运动方程为,(,-,-3),讨论式,(,-,-,),系统在非零初始向量,扰动下的运动表现。首先考虑响应向量,x,的各分量,x,i,是否可能都比例于某一个形式的时域函数,?,如可能则需满足什么条件,?,该时域函数形式应是什么,?,第,三,节,多