12-微分方程习题优秀PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,*,1,第十二章习题课,基本概念,一阶方程,类 型,1.,直接积分法,2.,可分离变量,3.,齐次方程,4.,可化为齐次,方程,5.,全微分方程,6.,线性方程,7.,伯努利方程,可降阶方程,线性方程,解的结构,定理,1;,定理,2,定理,3;,定理,4,欧拉方程,二阶常系数线性,方程解的结构,特征方程的根,及其对应项,f(x),的形式及其,特解形式,高阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,2,第十二章习题课,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程,非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,3,第十二章习题课,1,、基本概念,微分方程,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最,高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,4,第十二章习题课,通解,如果,微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件,用来确定任意常数的条件,.,初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,5,第十二章习题课,(1),可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2,、一阶微分方程的解法,(2),齐次方程,解法,作变量代换,6,第十二章习题课,齐次方程,（其中,h,和,k,是待定的常数）,否则为非齐次方程,(3),可化为齐次的方程,解法,化为齐次方程,7,第十二章习题课,(4),一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的,.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,8,第十二章习题课,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,(5),伯努利,(Bernoulli),方程,方程为线性微分方程,.,方程为非线性微分方程,.,9,第十二章习题课,解法,需经过变量代换化为线性微分方程,其中,形如,(6),全微分方程,10,第十二章习题课,注意：,解法,应用曲线积分与路径无关,.,用直接凑,全微分的方法,.,通解为,11,第十二章习题课,(7),可化为全微分方程,形如,12,第十二章习题课,公式法,:,观察法,:,熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子,13,第十二章习题课,常见的全微分表达式,可选用积分因子,14,第十二章习题课,3,、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分,n,次，得通解,型,解法,代入原方程,得,15,第十二章习题课,特点,型,解法,代入原方程,得,、线性微分方程解的结构,（,1,）二阶齐次方程解的结构,:,16,第十二章习题课,（,2,）二阶非齐次线性方程的解的结构,:,17,第十二章习题课,18,第十二章习题课,、二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,19,第十二章习题课,特征方程为,20,第十二章习题课,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广：,阶常系数齐次线性方程解法,21,第十二章习题课,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法,.,22,第十二章习题课,23,第十二章习题课,7,、欧拉方程,欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换,可化为常系数微分方程,.,的方程,(,其中,形如,叫,欧拉方程,.,为常数,),，,24,第十二章习题课,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法,.,8,、幂级数解法,25,第十二章习题课,二、典型例题,例,1,解,原方程可化为,26,第十二章习题课,代入原方程得,分离变量,两边积分,所求通解为,27,第十二章习题课,例,2,解,原式可化为,原式变为,对应齐方通解为,一阶线性非齐方程,伯努利方程,28,第十二章习题课,代入非齐方程得,原方程的通解为,利用常数变易法,29,第十二章习题课,例,3,解,方程为全微分方程,.,30,第十二章习题课,(1),利用原函数法求解,:,故方程的通解为,31,第十二章习题课,(2),利用分项组合法求解,:,原方程重新组合为,故方程的通解为,32,第十二章习题课,(3),利用曲线积分求解,:,故方程的通解为,33,第十二章习题课,例,4,解,非全微分方程,.,利用积分因子法,:,原方程重新组合为,34,第十二章习题课,故方程的通解为,35,第十二章习题课,例,5,解,代入方程，得,故方程的通解为,36,第十二章习题课,例,6,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,37,第十二章习题课,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,38,第十二章习题课,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,39,第十二章习题课,例,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,40,第十二章习题课,由,解得,41,第十二章习题课,故原方程的通解为,由,即,42,第十二章习题课,例,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,43,第十二章习题课,（）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,44,第十二章习题课,解,例,这是一个欧拉方程,代入原方程得,(1),45,第十二章习题课,和,(1),对应的齐次方程为,(2),(2),的特征方程为,特征根为,(2),的通解为,设,(1),的特解为,46,第十二章习题课,得,(1),的通解为,故原方程的通解为,47,第十二章习题课,解,例,10,则由牛顿第二定律得,48,第十二章习题课,解此方程得,代入上式得,49,第十二章习题课,测 验 题,50,第十二章习题课,51,第十二章习题课,52,第十二章习题课,53,第十二章习题课,54,第十二章习题课,55,第十二章习题课,56,第十二章习题课,57,第十二章习题课,测验题答案,58,第十二章习题课,59,第十二章习题课,