概率论与数理统计(浙大版)第七章第八章PPT参考课件.ppt

,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,跳转到第一页,*,*,第七章 参数估计,关键词：,矩估计法,极大似然估计法,置信区间,置信度,点估计,区间估计,1,2025/1/6 周一,2,2025/1/6 周一,1,参数的点估计,3,2025/1/6 周一,主要内容,:,一,.,矩估计法,二,.,极大似然估计,三,.,估计量的评选标准,一,.,矩估计法,矩思想,:,利用样本矩作为相应总体矩的估计量,估计,矩估计法,:,4,2025/1/6 周一,5,2025/1/6 周一,6,2025/1/6 周一,7,2025/1/6 周一,二、极大似然估计法,极大似然估计法是在,总体的分布类型已知,的条件下所使用的一种参数估计方法,.,它首先是由德国数学家,高斯,在,1821,年提出的,.,Gauss,Fisher,然而，这个方法常归功于,英国统计学家,费歇,.,费歇,在,1922,年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质,.,8,2025/1/6 周一,极大似然原理：,一个随机试验有若干个可能结,果,A,B,C,。若在一次试验中，结果,A,发生，,则一般认为试验条件对,A,最有利,，即,A,发生的,概率 最大,条件,自然，认,为从甲箱取更合理,9,2025/1/6 周一,极大似然估计法：,又如，兔龟赛跑，得第一名的最有可能是谁？,（,1,）,X-,离散型，,已知,X,的分布,样本 取到观测值,事件,A,独立,10,2025/1/6 周一,Xi,与,X,同分布,对给定,的样本值,是参数 的函数，称为,似然函数,，记做,11,2025/1/6 周一,改,结构：,n,项连乘，总体分布,A,已经发生，由极大,似然原理，达到最大，所以 的最合理,估计值 应满足：,定义,对给定的样本值 ，若,12,2025/1/6 周一,如何求？即求 的最大值点问题,方法一,:,若 为可导函数,13,2025/1/6 周一,回忆：,(1),单调性相同，从而,最大值点相同,.,n,项连乘,求导麻烦,n,项,相加，求导简单,方法二：,从而，,对数似然函数,14,2025/1/6 周一,（,2,）连续型总体似然函数的求法,设,X,为连续型总体，其概率密度为：,对来自总体的样本 ，其观测值为 ，作为与总体,X,同分布且相互独立的,n,维随机变量，样本,的,联合概率密度为,:,其中 未知,15,2025/1/6 周一,于是，样本 落入点,邻域内的概率为 ，由极大似然原,理，最合理的 的估计值 应该是使,达到最大，由于 是不依赖于,的增量，所以我们只需求使,似然函数,达到最大,16,2025/1/6 周一,求 的步骤：,17,2025/1/6 周一,例,1:,设总体,X,的分布律为：,0p1,p,未知,求参数,p,的极大似然估计量,.,X,0,1,p,k,1-p,p,解,:,总体,X,的分布律为：,设,(,X,1,X,2,X,n,),是来自总体,X,的样本。,18,2025/1/6 周一,似然函数为：,19,2025/1/6 周一,解得,p,的极大似然估计量为：,说明：,p,的极大似然估计值为：,20,2025/1/6 周一,解：,的似然函数为：,取对数,例,2:,设,(,X,1,X,2,X,n,),是来自总体,X,的一个样本,求,的极大似然估计量,21,2025/1/6 周一,求导并令其为,0,从中解得,即为,的极大似然估计量。,22,2025/1/6 周一,推广：,23,2025/1/6 周一,例,3:,的极大似然估计量,给定一组样本,求,解,24,2025/1/6 周一,25,2025/1/6 周一,26,2025/1/6 周一,27,2025/1/6 周一,三、衡量估计量好坏的标准,的点估计量 一般是不唯一的,如何选择好的,?,首先我们要对估计量提出衡量其好坏的标准,.,标准,:,无偏性,有效性,一致性,1,、无偏性,28,2025/1/6 周一,即 取值在真值 附近来回摆动,证明,:,(1),6,29,2025/1/6 周一,30,2025/1/6 周一,31,2025/1/6 周一,32,2025/1/6 周一,是,的两个,无偏估计量,，若,2,、有效性,33,2025/1/6 周一,34,2025/1/6 周一,相合性,(,一致性,),35,2025/1/6 周一,36,2025/1/6 周一,37,2025/1/6 周一,38,2025/1/6 周一,39,2025/1/6 周一,40,2025/1/6 周一,41,2025/1/6 周一,42,2025/1/6 周一,43,2025/1/6 周一,2010,年数学,1,44,2025/1/6 周一,45,作业题,P120,：,5,，,11,2025/1/6 周一,46,3,区间估计,点估计,:,的真值,的真值,缺点：无法确定误差。,区间估计：,估计,的真值所在的区间。,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,最大误差：,2025/1/6 周一,47,成立，那么称随机区间 为参数的置信度为,1,的（双侧）置信区间。,设,为总体分布的一个未知参数，,X,1,X,2,X,n,是来自总体的一个样本，,如果对于给定的,1,（,0 1,）能由样本确定出两个统计量：,（双侧）置信下限,（双侧）,置信上限 置信度,1,、定义,使,的真值,（,）,一、区间估计的基本概念,2025/1/6 周一,48,2.,说明,通常,取得很小，因而,落在区间 内的概率很大。一般地，,越小，则,落在区间 内的可靠程度越大，但在样本容量相同的情况下，这个区间长度也就越大，从而估计的误差也就越大。,置信区间的意义：当样本容量,n,固定时，做,N,次抽样，得到,N,组样本观察值，从而得到,N,个置信区间。这,N,个置信区间中，包含,的真值在其内部的约占,100(1-,),例如，,N=1000,=0.05,则,1000,个置信区间中大约有,950,个包含,的真值。,问题,如何确定？,一般从,的点估计量出发，减去某个量构成，加上某个量构成。,的真值,2025/1/6 周一,49,单侧置信区间,2025/1/6 周一,50,复习：,常用的统计量分布,2025/1/6 周一,51,t,分布的极限分布是标准正态分布,2025/1/6 周一,52,2025/1/6 周一,复习四个定理：正态总体统计量的分布,定理,1,设总体,标准化，得到,53,2025/1/6 周一,54,受到,1,个约束，独立的变量个数为,n-1,独,2025/1/6 周一,55,2025/1/6 周一,56,二、正态总体未知参数的区间估计,1.,一个正态总体的情况,1),均值,的置信区间,2,已知，,的置信区间,的真值,的一个无偏估计量是什么？,前面遇到过的哪个统计量既含有又含有,且分布已知？,2025/1/6 周一,57,(x),所以，,的,1,置信区间为,2025/1/6 周一,58,得置信区间,置信度为,1-,的置信区间不是唯一的！,在置信度相同的情况下，置信区间的区间长度越小越好！,注,可以证明，当总体的概率密度函数为偶函数时，采用对称的上,分位点所得的置信区间长度最小。,2025/1/6 周一,59,2,未知，的置信区间,当,2,未知时,用,2,的无偏、一致估计量,样本方差,来代替,2,从而得一新的统计量,.,这样就得到了置信度为,1,的置信区间,2025/1/6 周一,60,2,）方差,2,的置信区间,若,已知,可用,未知时,可用,可得,2,的置信度为,(1-,),的,置信区间为,:,2025/1/6 周一,61,单个总体的情形总结：,2,已知,估计,2,未知,估计,用,用,未知,估计,2,用,3),求,的置信度为,(1,),的置信区间的步骤,:,根据,Z,的分布的上分位点,解出的置信区间,寻求一个含有,(,而不含其它未知参数,),的样本函数,Z=Z(X,1,，,X,2,Xn),),且,Z,的分布已知,;,2025/1/6 周一,62,例,1,已知样本值为,(3.3,-0.3,-0.6,-0.9),，求,(1),当,=3,时，正态总体均值,的置信度为,95,的,置信区间；,(2),当,未知时，正态总体均值,的置信度为,95,的,置信区间。,解,：,由样本值计算可得,(1),当,=3,时，,因为,故,所以，均值,的置信度为,95,的,置信区间为,代入,样本值可得,请您注意学习解题过程的写法,！,请准备好计算器和练习本,4),应用举例,2025/1/6 周一,63,(2),当,未知时，,由,知,所以，均值,的置信度为,95,的,置信区间为,代入,样本值可得,查表,可得,2025/1/6 周一,64,例,2:,用某仪器间接测量温度,重复测量,5,次,所得温度值为,1250,。,1265,。,1245,。,1260,。,1275,。,试问真值在什么范围内,?(,置信度为,95%),分析,:,用随机变量,X,表示温度的测量值,它通常是一个正态变量,.,假定仪器无系统误差,则,E(X)=,就是温度的真值,.,设,XN(,2,),问题即为估计,的范围,(,未知,),查,t,分布表,(,=0.05,自由度是,n-1=4,得,2025/1/6 周一,65,温度真值的置信度为,95%,的置信区间为,(1244.2,1273.8),2025/1/6 周一,66,2025/1/6 周一,67,2.,两个总体的情形,1,）两个正态总体均值差,1,-,2,的置信区间,样本分别为,(,X,1,，,X,2,Xn,1,),(Y,1,，,Y,2,Yn,2,),1,2,2,2,已知,估计,1,-,2,2025/1/6 周一,68,2025/1/6 周一,69,1,2,2,2,都未知,但,1,2,=,2,2,=,2,均值差,1,-,2,区间估计,1,2,2,2,都未知的一般情况,此时，当,n,1,n,2,都很大时（实用中大于,50,）,均值差,1,-,2,区间估计为,2025/1/6 周一,70,2,）两个正态总体方差比 的置信区间,:,一样,第二个稳定,第一个稳定,现需找一个包含,且分布为已知的统计量,.,方差比的意义,:,如比较两个灯泡厂,(,寿命均值相等,),的质量哪个稳定,.,2025/1/6 周一,71,2025/1/6 周一,72,要求,:,掌握方法,而不是死记硬背,明确置信区间的实际意义,能结合到实际问题中去,2025/1/6 周一,73,例,3,设有两个工厂独立地生产同一种产品，其质量指标均服从正态分布。现从它们某天的产品中随机抽取,60,只，测得其样本均值分别为,10.3,和,9.9,，样本方差,S,2,依次为,0.84,和,1.25,。试以,95,的可靠性判断两工厂生产质量水平的差异？,分析：,要判断两工厂生产质量水平的差异，首先需要比较两总体的均值的大小，以反映平均质量水平的高低；其次还可以比较总体方差的大小，以反映质量水平波动的程度。,先估计总体均值差,1,-,2,的大小：,因样本容量较大，故近似地有,由此可得,1,-,2,置信区间：,2025/1/6 周一,74,代入样本值可得,：,再估计总体方差比,1,2,/,2,2,的大小：,由,知,这一结果说明什么？,由此可得,1,2,/,2,2,的置信区间：,代入样本值可得,：,这一结果又说明什么？,2025/1/6 周一,待估,参数,其他,参数,W,的 分 布,置信区间,单侧置信限,一个正态总体,两个正态总体,正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限,75,2025/1/6 周一,实际应用,76,2025/1/6 周一,（,1,）用金球测定观察值为：,6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672,（,2,）用铂球测定观察值为：,6.661 6.661 6.667 6.667 6.664,设测定值总体为,，,和,为未知。对,(1),、,(2),两种情况分别求,和,的置信度为,0.9,的置信区间。,X=6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672;,Y=6.661 6.661 6.667 6.667 6.664;,mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(X,0.1)%,金球测定的估计,MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI=normfit(Y,0.1)%,铂球测定的估计,mu=6.6782 sigma=0.0039,muci=6.6750 6.6813,sigmaci=0.0026 0.0081,MU=6.6640 SIGMA=,0.0030,MUCI=6.6611 6.6669,SIGMACI=0.0019 0.0071,77,2025/1/6 周一,78,2025/1/6 周一,作业题,P120,：,2,79,2025/1/6 周一,课件结束,!,80,2025/1/6 周一,