第三章 微分中值定理与导数的应用.doc

第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 基本概念与内容提要
一、 微分中值定理
1、 费马定理

2、 罗尔中值定理

3、 拉格朗日中值定理

4、 柯西中值定理

5、 泰勒公式

二、 不定式的极限

三、 导数的应用
1、 平面曲线的切线与法线

2、 单调性

3、 极值(求极值的程序)

4、 最值(求最值的程序)

5、 凸性

6、 拐点

7、 渐近线

8、 曲率

9、 函数作图

10、 经济上的应用

第二节 中值定理与泰勒公式
一、 注解
1、 中值定理的条件、结论要清楚
2、 中值定理建立了一个函数与其（某点）导数之间的关系
3、 中值定理的应用，常与积分不等式联合出题，以大题为主
4、 中值定理的证明题中关键是辅助函数的构造，请注意构造的方法
二、举例
（一）、 比较含函数导数的大小
1、设在【0,1】上，则的大小顺序为

分析：

（二）、 结论为的命题的证明（证明方法有三：（1）证明有极值点，
后用费马定理（2）用罗尔定理（3）用泰勒公式或多次用罗尔定理
（4）用零点存在定理也可
1、设函数在【a,b】上可积，且，则在(a,b)内，存在，使得
分析：

2、设为n个实数，并满足：，证明：
存在使得，。
分析：

【3、设在上连续，在上可导，且，
求证：存在，使得】
分析：

3、设在【0,2】上连续，在（0,2）内二阶可导，
证明：存在使得
分析：

（三）、 含等式的证明（证明方法：构造辅助函数）
构造辅助函数的方法（1）（2）
（1） 原函数法：将结论中的改成；用观察或积分的方法消除
移项使一边为0或其它常数，另一边就是辅助函数
（2） 常数K值法（利用对称性构造辅助函数）令常数部分为
作恒等变形，使一边为，另一边为
将或换成，并代人，就是辅助函数
1、设在【a,b】连续，在（a,b）内可导，a>0,且。证明：存在
，使得
分析：

2、设在【a,b】连续，在（a,b）内可导，证明：存在
，使得
分析：

3、设在二阶可导，且，又，求证：（1）在内；（2）在内存在，使得。

（四）、区间（a,b）内，存在满足某种关系式命题的证明
方法：（1）两次拉氏中值定理（2）一次拉氏，一次柯西中值定理（3）两次柯西中值定理
1、设在【a,b】上连续，在（a,b）内可导，且。证明：存在
，使得
分析：

2、设在【a,b】连续，在（a,b）内可导，
且。证明：存在，
使得
分析：

（五）、 含积分命题用中值定理证明
（1）题中有积分的等式，用积分中值定理会隐含的条件
（2）构造变上限积分函数为辅助函数
1、设在区间【0,1】上可微，且满足条件，试证存在
，使
分析：

2、设在【a,b】上连续，在（a,b）上可导，且，试证
至少存在一点，使
分析：

（六）、介值定理与中值定理的结合
（1）题中没有未知函数的导数，用介值定理
（2）题中有未知函数的导数，用中值定理

1、设函数在【a,b】上连续，在（a,b）内具有二阶导数，且存在相等的最大值，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得
分析：

2、设在区间【0,1】上连续，在（0,1）可导，且，
试证（1）存在，使
（2）对于任意实数，必存在，使
分析：

3、设在区间上连续，且，
试证在内至少存在两个不同的，使

分析：

（七）、利用中值定理证明不等式
（1）构造
（2）验证满足中值定理的条件
（3）令得到不等式
1、设证明不等式 分析：

2、设，证明不等式：，分析：

3、设定义于【0，c】，存在且单调下降，，应用中值定理证明：对于恒有
分析：【在【0，a】和【b,a+b】上用中值定理，然后相减】

4、设在【0，a】上，且在（0，a）内取得最大值，试证

分析：【在（0，a）内取得最大值，所以存在
对用中值定理，】

（八）、柯西中值定理的应用
（题中有两个函数的导数）
1、设函数在【a,b】上连续，在（a,b）内可导，且，若存在，证明：（1）在（a,b）内，；（2）存在，使得
（3）在（a,b）内存在与（2）中相异的，使 分析：

2、如果试证：，其中在之间。
分析：【设用柯西中值定理】

（九）、泰勒公式的应用
（1）讨论高阶导数时，用泰勒公式。
（2）题中有某些点高阶导数的导数值时，用泰勒公式。
1、设在（-1,1）内具有二阶连续导数，且，试证：
（1）对于（-1,1）内的任一，存在唯一的，使
（2） 分析：

2、设在【-a,a】(a>0)内具有二阶连续导数，且，
(1)写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
（2）试证在【-a,a】上至少存在一点，使
分析：

3、设在【0,1】内具有二阶导数，且满足条件
其中a,b都是非负常数，c是（0,1）内任意一点，证明
分析：

4、假设对一切成立，证明：
分析：
，
，

第三节 函数的单调性、极值；最大（小）值
一、注解
1、填空题、选择题多为讨论单调性、极值
2、计算题多为有关最值的应用题
3、证明题多为怎么不等式
二、举例
（一） 有关一元函数的单调性
设函数在上连续，单调不减，且，试证：函数
在上连续且单调不减（n>0）分析：

（二） 有关函数不等式的证明
1、证明：当时， ，
分析：

2、上一节（七）例1、2两题

（三）求一元函数的极值（与凹凸性与拐点联合出题）

设函数由方程确定，试求的驻点，
并判别它是否为极值点。

（四）求一元函数的最值
1、求函数的最大值和最小值。
分析：

2、设某商品需求量Q是价格P的单调减少函数：Q=Q(p),其需求弹性（1）设R为总收益，证明
（2）求p=6时，总收益对价格的弹性，
并说明其经济含义
分析：

3、某商品进价为a（元/件），根据以往经验，当销售价为b时，销售量为为c件（a,b,c均为正常数，且）。市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问当销售价定为多少时，可获得驻点利润？并求出最大利润。
分析：

（五） 有关方程根（函数零点）的讨论
关于根的存在性（1）用零点存在定理（2）用ROLL定理，
需构造使
（3）反证法
关于根的唯一性（1）用单调性（2）反证法
关于根的个数的讨论（1）求出极值点、划分的单调区间
（2）求出的极值（3）分析极值点与X轴的相对位置
1、就k的不同取值情况，确定方程在区间内根的个数，
并证明你的结论。

2、讨论曲线与的交点个数。
分析：

3、设为n个实数，并满足：，证明：
方程，在内至少有一实根。
分析：

4、设在【0,1】上连续，且，证明：方程
在（0,1）内只有一个根。

第四节 函数作图
一、注解
1、 凹凸性判定要清楚
2、 注意上升（），下降的区间，驻点个数等特性
3、 弄清下列是非问题（1）拐点一定是内点（）（2）拐点与极值点不能在同一点取到（T）（3）如为拐点，则（F）（4）如，则为拐点（F）（5）如为拐点，且存在，则（T）（6）如为拐点，则在处必有切线（F）。
4、 注意曲线的渐近线求法
二、 举例
（一） 凹凸性判定 (1)与参数方程求导、隐函数求导结合出题
（2）与极值等联合出题
1、设，则 ，
（A）是的极值点，但不是曲线的拐点
（B）不是的极值点，但是曲线的拐点
（C）是的极值点，但是曲线的拐点
（D）不是的极值点，但不是曲线的拐点
分析：

2、设函数满足关系式，且，则
（A）是的极大值 （B）是的极小值
（C）点是曲线的拐点
（D）不是的极值，点也不是曲线的拐点
分析：

3、设函数由参数方程确定，则曲线向上凸的取值范围是

4、设函数由方程确定，试判断曲线在（1,1）附近
的凹凸性。

（二）带绝对值积分的函数
1、设在是正值连续函数，判别
在上的凹凸性。
分析：

（三） 渐近线问题
1、设，求渐近线。
分析：

2、曲线渐近线的条数是 。

分析：

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