三角形全等证明思路.doc

证明三角形全等的常见思路　
全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见思路，进行分析。一、已知一边与其一邻角对应相等
1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。证明 ∵BE=CF（已知）， ∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
∴ △ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，

∴ △ADE≌△CFE（ASA）. ∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）
3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3 （同例2）.
证明 ∵ FC∥AB（已知）， ∴ ∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.
在△ADE和△CFE中，

∴ △ADE≌△CFE（AAS）. ∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等
1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证： △ABD≌△ACE.（原九义材《几何》二册32页8题）；
证明 ∵∠1=∠2， ∠ADB=180°-∠1， ∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），
∴∠ADB = ∠AEC， 在△ABD和△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）.

2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN， BM=DN。求证： AM∥CN，BM∥DN。（原九义教材《几何》二册45页10题）
证明 ∵ AC=BD（已知）∴ AC+BC+BC， 即 AB=CD.
在△ABM和△CDN中，
∴ △ABM≌△CDN（SSS）
∴ ∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），
∴ AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，两直行）。
三、已知两角对应相等
1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。
例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证： AB=DE， AC=DF.（原九义教材《几何》二册44页4题，有改动）
证明 ∵ FB=CE（已知） ∴ FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF，

∴ △ABC≌△DEF（ASA）. ∴ △AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）

2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。
例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF. 求证：△ACE≌△BDF.
证明 ∵OA=OB，OE=OF已知），∴OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，
在△ACE和△BDF中，

∴ △ACE≌△BDF（AAS）.
四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等
例8 已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．
证：△ABD≌△ACE.
证明∵AD=AE（已知） ∴∠1=∠2（等边对等角），
∵ ∠ADB=∠180°-∠1，
∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），
∴ ∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（AAS）.
4．怎样证明两个角相等？

[解答]
（1）利用两个三角形全等是证明两角相等的最基本的方法；
（2）利用两个角都与第三个角相等；
（3）利用等腰三角形两个底角相等；
（4）利用平行四边形对角相等；
（5）利用角平分线的性质；
（6）利用圆上同弦所对的优角相等，劣角相等．
例 如图，已知：在正方形ABCD中，AC、BD相交于O，E、F分别是对角线AC、BD上的点，且OE=OF．求证：∠ACF=∠DBE．

分析：要证∠ACF=∠DBE，只要证明Rt△OFC≌Rt△OEB，即可得证．
证明 ∵ABCD为正方形，
∴对角线AC、BD垂直平分．

∴在Rt△EOB和Rt△OFC中，
OE=OF，BO=OC．
∴Rt△EOB≌Rt△OFC．
∴∠DBE=∠ACG．

6．怎样证明两条线段相等？

[解答] 证明两条线段相等的常用方法有：
（1）利用两个三角形全等来证两条线段相等；
（2）利用等腰三角形两腰相等；
（3）利用第三条线段使两线段分别与之相等；
（4）利用平行四边形对边相等的性质．
当然，还有其他方法．请看下例：
例 如图所示，已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB上的一点，AD=AC，DE⊥AB交BC于E．求证：BD=DE=CE．

证明 连接CD．
∵AD=AC，∴△ACD是等腰三角形，∠ACD=∠ADC．
又∵DE⊥AB，
∴∠ACB=∠ADE=90°，
∵∠ECD=∠ACE－∠ACD，∠EDC=∠ADE－∠ADC，
∴∠ECD=∠EDC．
∴△ECD是等腰三角形，EC=ED．
又∵四边形ADEC内角和为360°，
∴∠A+∠CED=180°．
而∠CED+∠BED=180°，
∴∠A=∠BED．
又∵AC=BC，∴∠A=∠B．
∴∠BED=∠B．
∴△BED为等腰三角形．∴DE=DB．
∴DE=DB=EC．
说明：上述证法是运用等腰三角形两腰相等的性质，通过证△ACD、△ECD、△DBE为等腰三角形而证得结论．在证CE=DE时，亦可运用全等三角形证明，即只须连接AE，证△ADE≌△ACE．
　例2 如图 2，已知AC、BD交于E，∠A=∠B，∠1=∠2．求证：AE=BE．

正确证明：在△ADC和△BCD中，∵∠A=∠B， DC=DC，∠2=∠1，∴△ADC≌△BCD．
∴AD=BC．
在△ADE和△BCE 中，∵AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC，∴△ADE≌△BCE．
∴AE=BE．