广东省茂名市2016年第一次高考模拟考试(理科数学试题及祥解).doc

绝密★启用前 试卷类型：A
茂名市2016年第一次高考模拟考试
数学试卷（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位）的虚部是 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ ）
A． B． C． D．
3. 已知， ，则 （ ）
A. B. C. D. －
4.设双曲线上的点P到点的距离为6，则P点到的距离是（ ）
A．2或10 B.10 C.2 D.4或8
5. 下列有关命题说法正确的是 （ ）
A. 命题p：“”，则Øp是真命题
B．的必要不充分条件
C．命题的否定是：“”
D．“”是“上为增函数”的充要条件
6. 将函数的图像向右平移个单位得
到函数的图像,则的一条对称轴方程可以为 （ ）
A. B. C. D.
7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，
这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ）
A． B． C． D．
8．执行如图8的程序框图，若输出的值是，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
9．若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积（ ）
A. B. C. D.
10．若的展开式中存在常数项，则可以为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D. 11
11． （ ）
A． B． C． D．
12. 形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，
故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数
有最小值，则当的值分别为方程中的时的“囧函数”与函数的图像交点个数为（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.
13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为
14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点
F处，灯口直径AB为0，灯深（顶点O到反射镜距离）0，
则光源F到反射镜顶点O的距离为
15.已知点的坐标满足条件，那么的取值范围为
16．，则=
三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知为单调递增的等差数列，,设数列满足
(1)求数列的通项 ；
(2)求数列的前项和 。

18. （本小题满分12分）
我国新发布的《环境空气质量标准》指出：空气质量指数在为优秀，人类可正常活动。某市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，
，，，由此得到样本的空气质
量指数频率分布直方图，如图.
（1） 求的值，并根据样本数据，试估计这一年度
的空气质量指数的平均值；
（2） 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为
“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取
天的数值，其中达到“特优等级”的天数为.
求的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，是平行四边形，平面，
, ，
，. ，，分别为，
，的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值。

20．（本小题满分12分）
已知椭圆离心率为，以原点为圆心，
以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线： 相切。
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP，
PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围。

21． （本小题满分12分）
已知定义在R上的偶函数，当时，.
（1）当时，求过原点与函数图像相切的直线的方程;
（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有.

请在第22.23.24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

22． （本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径，
直线与AB垂于点D且与圆O相切于点C.若
（1） 求证：为的角平分线;
（2）求圆的直径的长度。

23． （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线的方程为x+y-8=0，曲线C的参数方程为[来源:学,科,网Z,X,X,K]
.
（1） 已知极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴，若点P的极坐标为，请判断点P与曲线C的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线的距离的最小值与最大值。

24． （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数．
(1) 当时，求不等式的解集；
（2） 若,关于的不等式的解集为,且,
求实数的取值范围.
茂名市2016年第一次高考模拟考试
数学试卷（理科）参考答案
一．选择题： 本大题共12小题，每小题5分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
A
D
A
C
B
B
C
D
C
第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）
二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分．
13. ；14. 或或 ；15. ; 16.
提示：
1. 复数，所以虚部为 。 选D
2. A中非奇非偶；B中是偶函数；C中在分别是减函数，但在定义域上不是减函数；D中是奇函数且在R上是减函数。选D
3. ，又，
所以，。选A
4.双曲线a=2,b=1,c=,它的左右焦点分别是，，由定义有所以 ，。选A
6. 法一：的图像向右平移个单位得新函数 ，由得对称轴为，，取，得为所求。选A
法二：由，得对称轴为，，图像向右平移个单位得对称轴为，取，得为所求。
7. 由已知把第一个及第二个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共种方法，而三个学校的学生随便排有种方法，由古典概型的概率计算公式得所求概率：
，故选C．
8．第1次运算：，；第2次运算：，；第3次运算：，；是周期为3的周期数列，， ；所以 满足要求。选B
9.该几何体是三棱柱砍掉一角而成的，体积为，选B
10．的展开式通项为
，若存在常数项，则有整数解，故，n必为5的倍数，选C
11.
又 。选D
12．提示：令 ，则是与复合函数，
，当是增函数，时有最小值，
所以 ； ，
所以 ，这时“囧函数”为它与函数与函数
在同一坐标系内的图象如图所示，图像交点个数为4 ，选C
13. 如图，长方体中，AC＝12，
它外接球直径2R＝，
外接球的表面积为。
14.建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，
则点A（40，30）在抛物线上， （）
15. 表示的平面区域如图，表示区域内点
与点M（-1，0）的距离的平方，由图知：最大；
M到直线的距离的平方最小。
由于不取等号，所以不是最小值，答案：
16．令AC=AD=1，CD=x > 0 , 则 AB=3 ， BC= 3x ，

三、解答题：
17. 解：(1) 解法1：
设的公差为，则
为单调递增的等差数列 且 ………1分
由得解得 ………4分
………5分
………6分
解法2：设的公差为，则
为单调递增的等差数列 ………1分
由得解得 ………5分
………6分
（2） ………7分
由①
得② ………8分
① -②得， ……9分
又不符合上式 ………10分
当时,
………11分
符合上式 , ………12分
18解： (1)由题意，得 ………2分
解得 ………3分
50个样本中空气质量指数的平均值为
………5分
可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6 …………6分
(2）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则 。的可能取值为0，1，2， …………………7分

的分布列为：

0
1
2

…………………10分
.(或者)。 …………………12分
19．解：(1)证明：如图19-1
………1分
………2分
而
………………3分

………5分
………6分
(2)法1：如图19-2，设的中点为，连结，，.
易知所以四点共面
,分别为，，的中点
………7分
同理 又…8分
二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ……9分
,, ……10分
且
就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角 …11分
………12分
法2：如图19-3，设的中点为，连结，，.作于点
易知所以四点共面 ………7分

又 ………8分
………9分
又由(1)知
的法向量 …10分

………11分
设平面与平面所成锐二面角的大小为，则
………12分
法3：如图19-4，
………1分
又 ………2分
建立如右图所示坐标系,则
,,,

, ………4分
(1) ………5分
………6分
(2) 设的一个法向量为,则
由得 ………7分
解得 ………8分
又 而，
平面，为平面的一个法向量 ………10分
………11分
平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为 ………12分
20．解：(1) 由直线： 与圆 相切得：
， ……………2分
由 得 ， ……………3分
又 ……………4分
椭圆C的方程为 ……………5分
(2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为
y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， …………6分
则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝. ……………7分
故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以·＝＝k2， …………8分
即＋m2＝0， 又m≠0，所以k2＝，即k＝±. …………9分
由Δ>0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0<m2<2且m2≠1. ………10分
S△OPQ＝|x1－x2||m|＝ ， ………………11分
（ 或S△OPQ）
所以S△OPQ的取值范围为(0,1)． ……………………12分
21 解：（1）
解法1：因为为偶函数，当时，， ……1分
， ……2分
设切点坐标为，则切线斜率为
切线方程为 ……3分
又切线过（0，0），所以 ……4分
，切线方程为 ，即 ……5分
解法2：当时， ，， 了 ……1分
记过原点与相切的直线为L，设切点坐标为，
则切线L斜率为 切线方程为 ……2分
又切线过（0，0），所以 ……3分
，切线方程为 ， ……4分
为偶函数，图像关于y轴对称，
∴当时，设过原点与相切的直线方程为
即 ……5分
（2）因为任意，都有，故x=1时，
当时，，从而，∴
当时，，从而，
∴ ，综上 ， ……………6分
又整数，即，故，故x=m时，
得：， 即存在，满足 ……………7分
∴ ，即， ……………8分
令，，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增， ……………9分
又，，，
由此可见，方程在区间上有唯一解，
且当时，当时，
，故，此时. ……………10分
下面证明：对任意恒成立，
①当时，即，等价于，
，∴， ……………11分
②当时，即，等价于
令，则，在上递减，在上递增，
∴，而，
综上所述，对任意恒成立。 ……………12分
22.解： (I) 证法1：如图22-1
由切割线定理得
……………1分
……………2分
……………3分
……………4分
= ， 为的角平分线 ……………5分
证法2：如图22-1
由切割线定理得 ……………1分
……3分
……4分
为的角平分线 ……………5分
(2）法1：如图22-2连结并延长交圆于点,连结,
设延长线上一点为,则AE为圆O直径，
直线与圆O相切于点C. ，
（等角的余角相等）
…………6分
（相等的圆周角所对的弦相等） …………7分
…………8分
…………9分
圆的直径为4 …………10分
法2：如图22-3,连结和,则
……………6分
又 ……………7分
， ……………8分
，又
四边形AOCB为菱形 ……………9分
圆的直径为 ………10分
法3：由证法2得，……………8分

……………9分
如图22-4 连结OB ，
为等边三角形，
圆的直径为 ……………10分
23．解：（1）设点P的直角坐标系坐标为，则
得 ： P（4，4）。 ……2分
……4分
点P在曲线C 外。 ……5分
(2）法1：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为 ， ……6分
从而点Q到直线的距离为 ……7分
……8分
当时，Q到直线的距离的最小值为 ……9分
当时，Q到直线的距离的最大值为 ……10分
法2：直线的平行线n方程可设为：x+y+t=0 ……6分
联立得 ，即 ……7分
……8分
曲线C的两切线方程为 与
Q到直线的距离的最大值为 ……9分
Q到直线的距离的最小值为 ……10分
24解：
(1)解法1：时, 即为可化为
……………3分
解得 ……………4分
所以不等式的解集为R ……………5 分
解法2：令,则 ……………3分

所以 ……………4分
所以不等式的解集为R ……………5分
(2）解： ……………6分
① 时，这时的解集为,
满足, 所以 ……………7分
②当时,
这时即可化为
所以 ……………8分
因为
所以即即
所以 ……………9分
又因为 所以
综合①②得实数的取值范围为 ……………10分

理科数学试题 第15页（共4页）