山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.5.1直线与圆的位置关系（一）》教案 北师大版.doc

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.5.1直线与圆的位置关系（一）》教案 北师大版
课 题：
教学目标：
1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
2．探索圆的切线的性质：观察切线的性质，进一步证实观察结果，培养学生的实际观察能力、总结能力及逻辑推理能力，形成良好的数学学习习惯．
3．通过本课的学习，是学生知道知识源于生活，同时又会反作用于生活，进一步树立努力学好数学，时刻准备为社会服务的意识．
教学重点：
1．直线与圆的三种位置关系的理解．
2．切线的性质的运用．
教学难点：
切线的性质的运用．
教学准备：多媒体课件、几何画板课件．
教法学法：
本节课我采用了自主探究、合作交流相结合的教学方法，并适时利用多媒体电化教学手段．
复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神．
教学过程：
一、 复习铺垫，孕育新知
师：之前我们已经学习了点和圆之间的位置关系，现在我们来简单的回顾一下．点与圆的位置关系有哪些？
生1：点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
师：如何判断的？
生2：点与圆的位置关系根据点与圆心之间的距离d与圆的半径r之间的大小关系来判定：
d＜r 点在圆内；
d=r 点在圆上
d＞r 点在圆外
师：也就是用d和r之间的数量关系来判断点和圆之间的位置关系．还可以怎样判断？
学生迟疑．
设计意图：和学生共同回忆以前的知识，降低教学难度，激发兴趣，从而顺利过渡到本节知识内容，为下一个环节做好铺垫．
师：直观观察啊．同学们可不要忽略了这一点，直观的观察往往是我们解决问题的开始．今天我们将来学习一些新的知识，在开始学习之前先请同学们欣赏一下海上日出的壮美景象．

边播放录像，边解说：
呵，是太阳要出来了！渐渐地，太阳探出前额，红红的额头，只是没有光亮．它好像是很重很重似的，一点儿一点儿地从海面升起．慢慢地，一纵一纵地．太阳使劲向上升着．最后，它如释重负般地跳出海面，整个脸膛儿通红的，红得可爱．刹那间，它发出夺日的光亮，强烈的阳光，射得人睁不开眼．它旁边的云彩也被镀上一层金边，好似身着红装的少女，正在翩翩起舞．
师：我们的数学就是来源于生活．在这里我们可以把太阳看成是一个圆，地平线是一条直线，日出的景象向我们完整的展示了圆与直线的位置关系．这也正是我们这节课要来学习的内容．
板书课题：直线和圆的位置关系（一）
设计意图：营造探索新知的氛围，让学生体验自主学习的快乐，并且感受数学知识无处不在．
二、 自主学习 合作探究
（一）探究一——定义
师：下面请同学们拿出练习本，画出你认为的直线和圆的不同的位置关系，画的时候注意一下顺序．
生在练习本上画图，师巡视．学生完成自己的作图后在小组内交流一下，争取获得更完整的答案．
师安排学生利用实物投影仪进行展示．
生一边展示一边解说：

师：谢谢这位同学精彩的解说和精美的绘图．（大家鼓掌）看完这位同学的作品，大家有什么想法吗？
生一边展示自己的作品一边解说：

师：这位同学把日出的景象描述的更加完整．但我们单从圆与直线的位置关系来看是不是有重复的呢？同学们能不能把第二位同学的这七副图给分分类．
学生思考，对以上图形进行分类．
师：谁有想法？
生：我认为①和⑦是一类；②和⑥是一类；③④⑤是一类．
师：那你分类的标准是什么？
生：我是根据直线与圆公共点的个数来进行分类的．①和⑦没有公共点；②和⑥有一个公共点；③④⑤有两个公共点．
是根据学生的回答进行板书．
师：实际上这位同学的分类很好的展示了直线和圆的三中位置关系：当直线和圆没有公共点时，我们称直线和圆相离；当直线和圆有一个公共点时，我们称直线和圆相切，这唯一的一个公共点叫做切点，这条直线称为圆的切线；当直线和圆有两个公共点时，我们称直线和圆相交，这两个公共点叫做交点，这条直线称为圆的割线．现在请同学们打开课本第123页，对照课本把直线和圆的位置关系有关的定义来识记一下．
学生阅读识记．
师：请大家看着课本123页的图3-24，当直线与圆相交时，直线上所有的点与圆的位置关系如何？
生：交点之间的点在圆内，两个交点点在圆上，交点之外的点在圆外．
师：相切时呢？
生：只有切点在圆上，其余的点在圆外．
师：相离时呢？
生：直线上所有的点都在圆外．
师：由此我们通过直观的观察，看直线与圆公共点的个数即定义来判断直线与圆的位置关系．
设计意图： 充分利用小组的优势使学生在互相研讨的过程中，能够准确的发现问题，总结问题．
师：现在请同学们看大屏幕．
课件出示：
练习一：头脑风暴
快速判断下列各图中直线和圆的位置关系．

师：第一题？
生1：相离．
师：没有问题．第二题直线和⊙O1的位置关系呢？
生2：相交．
师：是吗？直线和⊙O1的位置关系是相交吗？
生2：是相离．
师：对了．直线和⊙O2的位置关系才是相交．第三幅图中直线AC与⊙O的位置关系呢？
生3：相交．
师：这所谓“吃一堑长一智”，果然不假．这次同学们看的很清楚，我们平时做题时就是要这样，一定要读清题意才能下结论．那在第三幅图中，直线AB和圆的位置关系如何？
生4：相切．
师：是吗？同学们都是这样想的吗？请你到大屏幕前来看一看，我再给你放大一些．

生：是相交．因为直线AB和⊙O有两个交点．
师：问题来了：怎样才能正确判读直线和圆的公共点有且只有一个？在刚才乍一看，AB和⊙O有一个交点，可是近距离放大观察却发现有两个公共点．这说明什么问题？
生：直观观察有时候不够准确．
师：看来我们要另外找一个方法了．
设计意图：为进一步研究直线和圆的关系的判定做准备．
（二）探究二——判定
师：谁有什么想法？
生：我们可以测量一下d与r,看看它们之间的大小关系可不可以？
师：你是怎么想到的？
生：我是仿照点和圆的位置关系想到的．
师：非常好．这位同学有知识类比迁移的本领．类比点和圆的位置关系，我们也可以用数量关系来精确地判断位置关系．那请同学们深思一下：用哪些量之间的关系来刻画比较合适？还有怎样的数量关系可以分别刻画这3种位置关系？
学生思考，也有学生不由自主的在同位之间小组之间进行商议．
师： 有想好的同学请举手．
生：我想是圆的大小和直线和圆的距离．
师：是的．总要两个量，圆的大小也就是圆的半径是很明显的，那另外还需要一个怎样的量才能分别刻画这3种位置关系呢？你说是直线和圆的距离，具体是指什么？我们如果要测量这个量的话，到底测量哪儿？
师利用多媒体出示一个圆（含圆心）固定不动，而直线由下而上运动的动画，启发学生思考．
师：圆有无数个点组成组成，即便是直线和圆都不动，圆上个点到直线的距离也是不尽相同，这个量不好使用，同学们仔细观察这个动画，如果我们需要一个距离来刻画直线和圆的位置关系的话，那是那两者之间的距离？
生：我想应该是圆心与直线之间的距离．
师：好，下面我们就来看一看圆的半径和圆心与直线之间的距离这两个量能不能担任刻画这3种位置关系的重任．也就是说它们之间怎样的数量关系可以分别刻画这3种位置关系？请同学们再来思考一下．
学生画图，思考讨论，同时教师在黑板上画图．
师：为了方便描述，我们把圆的半径记为r, 圆心与直线之间的距离记为d.．现在谁来说一下？
教师根据学生的回答进行板书．
生1： 当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．
师：有没有不同意的？没有．我们在学习点与圆之间的位置关系时知道数量关系和位置关系可以互相推导，那这儿呢？
生：也可以．
师：那我们就可以把箭头换成是“等价于”的箭头了．
教师完善板书：
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
师：我还想问一下同学们，你们是怎样发现这一结论的？
生：我是观察的．
师：刚才我们已经认识到仅仅依靠观察还是不够的，能不能推理一下呢？
学生沉思．
师：谁来说一下．
课件出示：如果⊙O的半径长是r,圆形O到直线l的距离为d,

生1：当时，直线上到圆心距离最近的点到圆心的距离都大于r，那么直线上每一个点到圆心的距离都大于r，所以所有的点都在圆外，直线与圆没有公共点，根据定义可知，直线和圆相离．
师：非常棒，这位同学的推理能力很强．同学们能不能仿照这位同学的推理过程验证一下其余的两种位置．
生尝试说明．
生2：当时，直线上到圆心距离最近的点到圆心的距离等于r，其余的点到圆心的距离都大于r，所以只有一个点在圆上，其余的点都在圆外，也就是说直线与圆只有一个公共点，根据定义可知，直线和圆相切．
生3：当时，直线上有两个点到圆心距离等于r，这两点之间的点到圆心的距离都小于r，这两点之外的点到圆心的距离都大于r，所以有两个点在圆上，也就是说直线与圆有两个公共点，根据定义可知，直线和圆相交．
师：这是用数量关系来刻画位置关系，那用位置关系来刻画数量关系行不行？
生：也是可以的，只要反过来说就可以了．
师：很好，我们利用点与直线的位置关系的判定，和点到直线的最短距离结合在一起对直线和圆的位置关系的判定进行了说理同学们的知识迁移的能力真是很强．通过以上的说理，我们的底气足了，现在请同学们打开课本124页，把我们探究的结论填写在课本上．
学生完善课本上的结论．
师：现在我们来看，我们一共有几种方法来判断直线和圆的位置关系？
生：两种．一种是定义，一种是用d和r之间的数量关系来判定位置关系．
师课件出示结论，组织学生识记．
课件出示：位置关系和数量关系之间的转化
2个交点直线l与圆⊙O相离
1个交点直线l与圆⊙O相切
0个交点直线l与圆⊙O相交
师：下面请同学们来快速的完成下面题目，看看你的“牛刀”磨快了没有．
设计意图：使直线与圆的三种位置关系认识更加深刻、进一步得到判断直线与圆的位置关系的直接有效的方法．
课件出示：
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
1)若d=4.5cm ,则直线与圆　　　, 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
3)若AB和⊙O相交,则 ．
学生完成后，师组织学生回答．
（三）探究三——圆的切线的性质定理
师：现在我们来重点研究一下圆的切线具有什么样的性质．大家请看课本124页，认真思考课本上提出的问题，自己有了想法后可以在小组内交流一下．
课件出示：
（1）你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例？
（2）图3-24的三个图形是轴对称图形吗？如果是，请你画出它们的对称轴．
（3）如图3-25，直径CD与⊙O相切与A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由．
学生讨论，师巡视，并适时参与讨论，发现学生讨论成熟后组织汇报．
相切
相交
相离
生1：在自行车上我们就可以找到直线与圆的三种位置关系．（师利用百度图库调出一辆自行车方便学生汇报和理解）．
生2：这三个图形都是轴对称图形，它们的对称轴是过圆心且垂直于直线l的一条直线．

设计意图：培养学生的审美观点．
生3：直径AB垂直于直线CD．因为图3—25是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC=∠BAD=90°，即AB⊥CD．
师：咱们课本上还利用反证法对AB垂直于直线CD进行了论证，请同学们阅读理解一下．
学生阅读课本上小亮的证明方法．
师：通过以上论证我们可以得出圆的切线有怎样的性质，谁能来概括一下．
生：圆的切线垂直于一条过圆心且过切点的直线．
师：这位同学描述的很完整，请大家看课本126页，看一看课本是怎样描述的，并记忆一下．
学生阅读，理解，识记．
圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径．
设计意图：发展学生的逻辑推理能力和语言表达能力．
（四）例题分析
师：下面我们利用以上所学的知识来解决一下这道题目．
课件出示：
例1 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙O相切？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
学生独立试做，尝试解答后师生共同讲评．
分析：本例是根据d和r的数量关系判断直线和圆的位置关系，同时应用了三角函数的知识．教学时分步画图，帮助学生进行分析．另外，所谓AB与圆的位置关系，指的是AB所在直线与圆的位置关系．
设计意图：旨在提高学生的数学建模能力，让学生在解决问题的过程中体会数学源于生活，又运用于生活．
三、随堂练习，自我肯定
师：下面请同学们快速完成下面的题目，做完的同学给我举手示意一下．
课件出示：
1、已知：圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？
(1) 4.5cm
A 0 个； B 1个； C 2个；
(2) 6.5cm
A 0 个； B 1个； C 2个；
(3) 8cm
A 0 个； B 1个； C 2个；
2、如图1，已知∠BAC=30°，M为AC上一点，且AM=5cm，以M为圆心、r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
(1) r=2cm
(2) r=4cm
(3) r=2.5cm
3、如图2，已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_____, y轴与⊙A的位置关系是_____．

图1 图2
学生在练习本上独立完成题目后，师生共同讲评．
设计意图：巩固本节课的知识点．
四、归纳新知，颗粒归仓
师：现在请同学们来回忆一下，通过这节课我们有什么收获？
生1：我学会了直线和圆有三种位置关系并且会用两种方法去判断．
生2：我认识到了切线的性质定理．
生3：在探究这些知识的过程中我们运用了数学结合、类比、知识的迁移等方法．
师：而且在探究的过程中我们不仅停留在直观的感觉上而是进行了深入的说理，使我们的思维从感性上升到理性．如果大家能本着这样的想法来学习数学，相信每一位同学都能取得成功．
设计意图：让学生进一步体会数形结合的思想，通过检测，也让学生自我肯定，从而增强学习数学的自信心．
五、知识检测，深化提高
1、将下表填写完整
直线与圆的位置关系：

图形

直线与圆的位置关系

公共点的个数

圆心到直线的距离d与半径r的关系

公共点的名称

直线的名称

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心，r为半径作圆．
①当r满足　　 时，直线AB与⊙O相离．
②当r满足　　 时，直线AB与⊙O相切．
③当r满足　　 时，直线AB与⊙O相交．
④当r满足 时, 线段AB与⊙Ｃ只有一个公共点．
3、已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 ∥ l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离m.
六、布置作业，课后巩固
A类：课本128页第3题．
B类：如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E，求证：PD=PE
七、板书设计
§3.5直线和圆的位置关系（一）
一、 关系
位置关系和数量关系之间的转化
2个交点直线l与圆⊙O相离
1个交点直线l与圆⊙O相切
0个交点直线l与圆⊙O相交

二、 例题

教后反思：
本课的设计以《数学课程标准》为理论依据，通过教师启发、引导，学生自主探究、合作交流的方法促进学生自主学习．在探究新知的过程中，渗透数形结合、分类讨论、类比和化归的数学思想方法，并且注重数学与实际生活的联系，引导学生认识数学源于生活，又服务于生活．
问题：从整节课来看，有些前松后紧．学生探究直线和圆的位置关系的判定时用时较长，后半程探究圆的切线的性质时时间就有些紧张了．
改进：注意时间的分配．