解析几何定点定值及最值问题.doc

解析几何的定点、定值问题
1、已知平面内的动点到定直线：的距离与点到定点之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点N为轨迹上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹于点A、B，
且直线AN、BN的斜率都存在，分别为、，问是否为定值？
（3）若点M为圆O：上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线于点Q，
问MF与OQ是否始终保持垂直关系？

（第2题图）
2、已知椭圆的离心率为，一条准线为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点，记直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的方程；（2）求的值；
（3）求证：以为直径的圆过轴上的定点，并求出定点的坐标.

3、已知圆，点，直线.
⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

4、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

5、已知．
（Ⅰ）求过点A与相切的直线l的方程；
（Ⅱ）设关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切　
　线长之比为？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

6、已知椭圆的左、右焦点分别为，其半焦距为，圆的方程为
（Ⅰ）若是圆上的任意一点，求证：为定值；
（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点，且，求椭圆的离心率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若为坐标原点），求圆的方程。

7、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，
圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

8、已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，
纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。

9、设圆，动圆
（1）求证：圆、圆相交于两个定点；
（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

10、在平面直角坐标系中，已知圆和圆
(1) 若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2) 是否存在一个定点，使过点有无数条直线与圆和圆都相交，且被两圆截得的弦长相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

解析几何的定点、定值问题
1、已知平面内的动点到定直线：的距离与点到定点之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点N为轨迹上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹于点A、B，
且直线AN、BN的斜率都存在，分别为、，问是否为定值？
（3）若点M为圆O：上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线于点Q，
问MF与OQ是否始终保持垂直关系？
1． 解：（1）设点，依题意，有
． ----------2分
整理，得．所以动点的轨迹的方程为． -------------5分
（2）由题意：设N,A ，则B
, ---------------7分
=＝
　　　＝为定值。-----------------------------10分设
（3）M，则切线MQ的方程为：
由得Q ------------12分
，
= ----------15分
（第2题图）
所以：　　即MF与OQ始终保持垂直关系 -------------16分
2、已知椭圆的离心率为，一条准线为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点，记直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的方程；（2）求的值；
（3）求证：以为直径的圆过轴上的定点，并求出定点的坐标.

3、已知圆，点，直线.
⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.
3．解：⑴设所求直线方程为，即，
直线与圆相切，∴，得，
∴所求直线方程为 ---------------5分
⑵方法1：假设存在这样的点，
当为圆与轴左交点时，；
当为圆与轴右交点时，，[来源:学*科*网]
依题意，，解得，（舍去），或。 ---------------------------8分
下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。
设，则，
∴，
从而为常数。 ----------------------------15分
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
∴，将代入得，
，即
对恒成立， ---------------------------8分
∴，解得或（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 ---------------------15分
4、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
4．（1）由椭圆E：，得：，，，
又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为， …………………8分
（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）
所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分
（3）设，，则由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圆C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由为圆C 上任意一点可知，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分
5、已知．
（Ⅰ）求过点A与相切的直线l的方程；
（Ⅱ）设关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切　
　线长之比为？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
5．解：（1），
因为点A恰在上，所以点A即是切点，
，
所以，直线l的方程为；………………（8分）
（2）因为点A恰为C1C2中点，所以，，
所以，，
设①，或② ， ……………………（11分）
由①得，，
由②得，，求此方程无解。
综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意．………………（16分）

6、已知椭圆的左、右焦点分别为，其半焦距为，圆的方程为
（Ⅰ）若是圆上的任意一点，求证：为定值；
（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点，且，求椭圆的离心率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若为坐标原点），求圆的方程。
6、解：（Ⅰ）设是圆上的任意一点，则

（Ⅱ）在△

7、已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，
圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

7、(1)

知：圆C的方程为……………（4分）

8、已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，
纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。
8.解：（1）设抛物线的方程为，
因为准线的方程为，所以，即，
因此抛物线的方程为． ………………………………4分
（2）由题意可知，，,
则直线方程为：，
即，……………………………………………8分
设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，
则圆心到直线的距离， …………………10分
即①或②
由①可得对任意恒成立，则有
，解得（舍去）………………………………14分
由②可得对任意恒成立，则有
，可解得
因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.
………………………16分
9、设圆，动圆
（1）求证：圆、圆相交于两个定点；
（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

9．解（1）将方程化为
，
令得或，所以圆过定点和，4分
将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；……………6分
（2）设，则，………………………8分， ………………………………10分
即，
整理得（*）…………………………………………………12分
存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，
解此方程组得或，………………………………………14分
故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为．………………16分

10、在平面直角坐标系中，已知圆和圆
(1) 若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
(2) 是否存在一个定点，使过点有无数条直线与圆和圆都相交，且被两圆截得的弦长相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
10、解：(1)由于直线与圆不相交，所以直线的斜率存在.
设直线的方程为，圆的圆心到的距离为，所以.
由点到直线的距离公式得，从而
所以或，所以直线的方程为或.………8分
(2)假设存在，设点的坐标为的方程为，因为圆和圆的半径相等，被截得的弦长也相等，所以点和圆的半径相等，被的距离相等，即，整理得：
，因为的个数有无数多个，所以
解得
综上所述，存在满足条件的定点，且点的坐标为. ………16分

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