福州一中2015年5月高三理科数学质检试卷及答案.doc

福州一中2014-2015学年高三校质检试卷
理 科 数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V=Sh
其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D． （第1题图）
2.若（为虚数单位），则的值为
A. B. C. D.
3.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
4.已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，
则的值为
A． B． C． D．
5.下列判断不正确的是
A．若，则
B．命题“”的否定是“”
C．从匀速传递的产品生产线上，检查人员每隔5分钟从中抽出一件产品检查，这样的抽样是系统抽样
D．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，这组数据的中位数与众数相等
6.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
7．设点（）是区域内的任意一点，则函数在区间上是增函数的概率为
A． B． C． D．
8.如图，在棱长均为的四棱锥中，点为
的中点，则下列命题正确的是（ ）
A．∥平面，且直线到平面的距离为
B．∥平面，且直线到平面的距离为
C.与平面不平行，且直线与平面所成的角大于 第8题图
D.与平面不平行，且直线与平面所成的角小于
9．称为两个向量间的“距离”.若向量满足：
①； ②； ③对任意的，恒有．
则以下结论一定成立的是
A． B． C． D．
10．已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点的直线交圆于、两点，交抛物线于、两点，且满足的直线有且只有三条的必要条件是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
k＝1，S＝0
开 始
k≤5?
输出S
结 束
否
S＝S＋
是
k＝k＋1
(第12题图)
11．若 ．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 ．

13．在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时
该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，
再过两分钟后，该物体位于点，且，
则的值为 ．

14．在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，则当时，等
于 ．

15．已知为上的任意实数，函数，，．
则以下结论：
①对于任意，总存在，，使得；
②对于任意，总存在，，使得；
③对于任意的函数，，总存在，使得；
④对于任意的函数，，总存在，使得．
其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有答案序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望．

E
A
B
C
D
F
O

17．（本小题满分13分）
如图，四边形与均为菱形，设与
相交于点，若，且.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（第17题图）

18．（本小题满分13分）
设，函数，且．
（Ⅰ）求的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△的内角、、所对的边分别为、、，
且，求的取值范围．

19．（本小题满分13分）
已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异
于，的动点，且面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）
已知函数，.
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）判断函数的零点个数，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列满足：，，且．若不等式在时恒成立，求实数的最小值.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵的一个特征值所对应的特征向量为.
（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线：在矩阵对应变换作用下得到的新的曲线方程.

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）将直线的参数方程和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线和曲线相交于、两点，求的长.

（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲
已知正数，，满足．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

福州一中2014-2015学年高三校质检理科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
D
B
C
D
B
D
一、选择题：

二、填空题：
11. 12. 13. 14. 15. ①④
选择题10简解：依题意可设直线：，（1）代入，得，△=，把（1）代入得，
设，，，，
，即，
若，则，.
若，则，即，
即，故当时，有三条．从而本题应该选D.
三、解答题：
8
7
5
6
9
8
2
6
甲
乙

5
5
7
2
5
8
5
16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 5分
（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为．
，，
，…………………10分
随机变量的分布列是：

．…………………………………………………13分
17.（I）证明：因为四边形与均为菱形，
所以，.
因为，，
所以，…………………………………………………2分
又，，，
所以又，
所以…………………………………………………………………………4分
（II）连接、,因为四边形为菱形，且，
所以为等边三角形，
因为为中点.所以，
又因为为中点,且，
所以
又，所以………………………………………………6分
z
E
A
B
C
D
F
O
x
y
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
设，因为四边形为菱形，，
则，，，所以
…8分
所以设平面的一个法向量为，则有,所以，
令，则…………………………………………………………………10分
因为，所以平面的一个法向量为.
因为二面角为锐二面角，设二面角的平面角为，
则.
所以二面角的余弦值为…………………………………………………13分
18．解：（I）…………2分
由得：，∴ …………………………………4分
∴……………………………………………5分
由得：，
∴的单调递减区间为：，………………………………7分
（II）∵，由余弦定理得：，
……………………………………………………………………………………………8分
即，由正弦定理得：
，
， ，∴…………………………11分
∵△锐角三角形，∴， …………………………12分
∴的取值范围为． …………………………………………13分
19.解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得，．
故椭圆的方程为.…………………………………………………………4分

（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．…………………………………………………5分
证明如下：由题意可设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，． ……………………………8分
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
……………………………………………………………………………………………9分
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．………………………………………10分
点到直线的距离．
又因为 ，所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………13分
20. 解:（Ⅰ），……………………………1分
，又，
所以函数在的切线方程为，
即.……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）
当时，所以在单调递减；
当时，所以在单调递增；
所以 时，.……………………………………………5分
①当，即时，的零点个数为0；
②当，即时，的零点个数为1；
③当即时，此时，，
（或）
因为在定义域上连续，由零点存在定理及的单调性，
知在有且只有一个零点，在有且只有一个零点，
所以时，的零点个数为2.
综上所述，当时，的零点个数为2；时，的零点个数为1；时，的零点个数为0. …………………………………………………………………9分
(Ⅲ)当时，有.
所以.………………………10分
接下来证明:.
由(I)知，函数在的切线方程为.
而当时，成立.
所以，当时,有………………12分
所以，
所以，当时，的最大值为.
再由(II)知，得
所以的最小值为.……………………………………………………………14分
21．解：（1）（Ⅰ）依题意，，，所以，.…2分
所以.因为，所以.………………………………4分
（Ⅱ）曲线：上任意一点在矩阵对应变换作用下
得到，则，得，即，
代入方程得.
因此，曲线在矩阵对应变换作用下得到的新的曲线方程为.…………7分
（2）（Ⅰ）由，得直线的直角坐标方程为：.………………2分
由，得，
，得曲线的直角坐标方程为：.……4分
（Ⅱ）圆心到直线的距离，圆的半径,
.……………………………………………………7分

（3）（Ⅰ）由柯西不等式，，
即有，……………………………………………………………………2分
又、、是正数，
即的最大值为6，
当且仅当，即当时取得最大值．……………………………4分
（Ⅱ）因为，
由题意及（Ⅰ）得，，得或.
综上，实数的取值范围为或.……………………………………………7分

福州一中2014-2015学年高三校质检答题卷
（理科数学）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
（满分150分 考试时间120分钟）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

班级 　 座号 姓名
⊙┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄密┄┄┄封┄┄┄装┄┄┄订┄┄┄线┄┄┄内┄┄┄不┄┄┄要┄┄┄答┄┄┄题┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⊙
11. 12. 13.

14. 15.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16.(本题满分13分)

17.(本题满分13分)

18.(本题满分13分)

班级 　 座号 姓名
⊙┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄密┄┄┄封┄┄┄装┄┄┄订┄┄┄线┄┄┄内┄┄┄不┄┄┄要┄┄┄答┄┄┄题┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⊙

19．(本题满分13分)

20.(本题满分14分)

班级 　 座号 姓名
⊙┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄密┄┄┄封┄┄┄装┄┄┄订┄┄┄线┄┄┄内┄┄┄不┄┄┄要┄┄┄答┄┄┄题┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄⊙

我选第 题
21.(本题满分14分)
我选第 题

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