九年级数学图形变换与证明教案华东师大版.doc

九年级数学图形变换与证明华东师大版

【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
图形变换与证明

复习要求：
我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲，会识别图形的移动，会实现一个平面图形的移动，是一个实现平面几何价值的问题，因此新的课程标准对平面几何中的图形变换提到了较高的学习要求，要求学生会按照要求对图形作相应的移动；会识别图形经过移动后的图形关系；会利用图形变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题。

对图形变换问题的认识：
我们在这里所说的变换是指：全等变换、位似变换、等积变换。
全等变换：平衡、轴对称、旋转
位似变换：可化为相似形
等积变换：面积相等或有比值关系的问题

【典型例题】
1. 图形的轴对称、平移及旋转：
在图形的移动中，利用“轴对称、平移、旋转”等变换实现移动的目的，是较基本的，也是较灵活的方法，因此，也就是我们应该掌握并会应用的方法。
例1. 请你不借助作图工具画一个三角形的高线。
简析：一般讲我们画三角形的高线采取的方法是：过已知边所对的顶点，用三角板画一条与已知边相垂直的线段。但是此例要求不借助作图工具，即不借助直尺、三角板、圆规等直接画高线。这时要考虑画高线关键在于确定垂足，如果画出垂足就可以实现画高线。根据我们所学的轴对称关系的性质可知，它可以提供垂直关系。
简解：如图，已知。
作的BC边上的高。

方法：把点C沿CB边对折，使折痕经过点A，且点C落在BC的点处，则折痕AD就是所要求画的高。

例2. 如图，矩形ABCD中，折叠AD边，使点D落在BC边上的F点处，若折痕AE=cm，且，求矩形ABCD的周长。

简析：若求矩形的周长就需要知道它的边长，根据已知条件可知，只知折痕长及折叠后的一个角的正切值，因此，我们要理解折叠在题中所起的作用以及折叠后可能形成的图形关系。
解：根据题意AD边对折，点D落在BC边上的点F处，有
DE=FE，AE=AE，AD=AF

因为在矩形ABCD中，

例3. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是半径ON上一动点，当MN=2时，求AP+BP的最小值。

简析：要求AP+BP的最小值，因为P是半径ON上的一动点，实现起来很困难。这时需要理解两条线段之和最小的含义是什么，以及怎样才能实现这个目的。而我们知道有两个距离最短的知识，其一为“连结两点的所有的线中线段最短”；其二为“直线外一点到该直线的垂线段最短”。由于涉及到两个点，所以无法用“其二”去实现，因此，需要把问题转化为“其一”的情况求解。
解：过点A作弦于D，交⊙O于C。
连接BC交MN于P，连结AP。（如图）

则PA+PB最短。
因为于D，且MN是⊙O的直径
所以点A与点C关于MN所在直线成轴对称
因此PA=PC及
即PA+PB=BC
若设点是ON上任意一点

所以PA+PB最短
连结OB、OC
因为点A是半圆上的三等分点，点B是的中点

由勾股定理，有
因OC=OB=1
所以

说明：例2、例3说明了轴对称知识在解决几何问题中或实际问题中的作用，它们的主要作用在于可以实现移动图形，从而构成新的图形关系，进而沟通已知与未知的关系，达到求解的目的。

例4. 如图，在方格纸中，图I移动到图II，请说明图I经过怎样的平移移动到图II的。

简析：要判断是如何平移的，就要清楚平移的图形具有怎样的性质。由平移的知识可知，平移后的图形与原图形之间的对应边相互平行。
说明：情况一：可以理解为图I向右平移三个单位，再向下平移两个单位，就达到图II的位置；
情况二：图I向下平移两个单位，再向右平移三个单位，形成图II；
情况三：图I的三个顶点分别沿对角线方向平移到图II对应点的位置。

例5. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，于F。
求证：。

简析：要求一个梯形的面积，根据相应的知识可知，要确定上、下两底之和及梯形的高，因此例要研究的是梯形面积等于一腰及一垂线之积，所以要考虑什么样的图形只需要两条线段的乘积就可获得面积，这一类图形至少是平行四边形。
证明：过E作GH//DC交DA延长线及CB于G、H

因AD//BC
故四边形GHCD是平行四边形
且
又E是AB中点，有AE=EB
所以

又因

例6. 如图，D是的BC边中点，过D作直线交AB、CA延长线于E、F，当AF=AE时。
求证：BE=FC。

简析：根据图形条件与已知中的AE=AF在同一三角形，BD=CD不在同一三角形里，且要证明的结论BE与CF也不在同一三角形中，要证明结论就需要把相应的线段移动到同类图形中，并且能利用这些条件形成新的图形关系，以便达到求解的目的。
证明：如图，过C点作CM//AB交FD延长线于M点。

则BED=M=AEF
因AF=AE
所以F=AEF
则F=M
所以CF=CM

说明：例5、例6体现了平移知识的应用，要说明的是经过一次平移后，一般讲得到的图形与原图形都可以构成中心对称的图形关系，例6就是这个知识的应用。

例7. 如图，正方形ABCD中，M、N是AD、BC中点，把点C沿BE对折，使C点落在MN上的F点，问此时EBC的度数是多少？

简析：要确定EBC的度数就要考虑EBC形成的原因，根据已知条件EBC的形成是因沿BE对折使点C落在MN的F点，那么这种对折的关系就相当于利用了轴对称的知识，同时又因MN是正方形的对称轴的一部分，故又可形成新的轴对称的关系，所以这是两次轴对称关系应用的问题。
解：根据题意，有
点C与点F关于BE所在直线成轴对称
即可证
所以BF=BC及FBE=CBE
连结FC
因为M、N分别是AD、BC的中点
所以MN所在直线是正方形的一条对称轴
即有BF=FC
所以是等边三角形

说明：通过此例的求解想说明一个由两次变换而形成的几何问题，相对讲有一些难度，解决这一类问题时，首先要寻求与确定是哪种变换，变换后形成什么新的图形关系等，只有这样才有可能正确地解决这个问题。

2. 图形的相似
相似形是指两个图形之间的一种关系，而我们这里提及的是图形的位似问题，即位似变换问题。
例8. 已知等边，画一个与之相似且它们的相似比为2的。
简析：已知一个等边，要求画一个三角形，使这两个三角形相似，并且相似比为2。根据题意可知，已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三角形与新三角形相似，还是新三角形与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值2，那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边，要满足比值为2的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识。
根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在已知图形内或已知图形外，它们都可以实现放大或缩小的作用。
解：如图1，当设位似中心在的形内时，取内心O作为位似中心。

（1）在AO、BO、CO上分别取中点，连结A’B’、B’C’、A’C’，则，且有；
（2）取的内心O，连接OA、OB、OC且延长，使，，连结，则有，且。
如图2，设位似中心在的外部时

（1）在外任取一点O，过O点作射线OA、OB、OC，并截取，，且。
（2）在外任取一点，过O作直线OA，OB，OC，在OA、OB、OC的另一侧取，使，。连结、、，则可证，且。

3. 图形的面积问题
在我们研究相似形中说“图形相同，大小不同”，在全等形中说“图形相同，大小相等”，这里的大小主要是指面积而言，因此有必要从面积的角度审视一些图形关系。
例9. 如图，矩形ABCD中，E是BC中点，CF=2DF，确定与的比值。

简析：要确定这两个图形的面积的比值，就需要找到一个可以沟通这两个图形之间关系的面积，由于连结了BD，那么就是它们之间的桥梁，剩下的问题就需要研究四边形BEFD的面积与面积之间的关系了，这时解读好E是BC中点及CF=2DF就是关键。
解：连结DE

由面积关系可知

说明：在此例中我们注意到在三角形中若存在一边上的分点，则就存在因分点而形成的面积被分为相应的两部分，且面积的比值等于边的比值。

例10. 如图，四边形ABCD，请以此图形及其面积为条件，求作一个三角形，使这个三角形的面积等于四边形ABCD的面积。

简析：要使一个四边形的面积化为三角形的面积，一般讲解决的方法是这样的，如果四边形的面积是确定的，可以利用面积的数量关系来达到转化的目的，但是此例中四边形是一个任意的四边形，因此，用计算的办法就达不到转化的目的，这时只能借助“等积变形”的方法实现。“变形”的含义是指不改变其大小只改变形状的变形，那么就需要考虑哪个知识可以实现这种变形，根据上面的例题的求解可知利用平行线就可以达到目的。
解：如图，连结DB，过点A作AE//DB交CB延长线于E点。
连结DE，则为所求。

证明：因为AE//DB

所以S△DEC=S四边形ABCD

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 填空题：
1. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则=
__________。

2. 如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则___________________。

3. 在三角形中，已知两边之长分别为5a与3a（a>0），那么第三边上的中线的长度x的取值范围是______________。

二. 解答题：
1. 已知：菱形ABCD中，点B关于直线EC对折，使点B与AD上的点E重合，若，求AFE的度数。

2. 已知：矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点。
求证：BE=CF。

3. 已知：正方形ABCD中，点E、F是AD、CD上的点，问当点E、F满足怎样的条件时，有BE=BF。

4. 一种圆柱型的铅笔底面直径8mm，长为12cm，现为其设计硬壳纸包装盒，厂商要求每六支装一盒，请你提供两种不同的包装盒设计方案。并计算每一种方案所使用的硬壳纸材料面积。
5. 尺规作图，求作正方形ABCD使之面积为已知正方形面积的一半。

6. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB=1，，求阴影部分的面积。

7. （1）图中两个矩形的面积关系为________。
（2）若AB：BC=3：4，求AE：EF=______________。

8. 当汽车在雨天行驶时，启动雨刷器后前方的路况才能看得清楚，否则将会严重影响行车安全。图中线段AB和CD分别代表汽车驾驶窗上的雨刷。它们交于CD的中点B，并在B处固定，已知，AB=40，CD=30，转动角，求雨刷CD扫过的面积。

【试题答案】
一. 1. 2. 3.
二. 1.
2. 证
3. （1）当AE=CF时或（2）当时或（3）或（4）当
4. （略） 5. （略）
6.
7. （1）“=” （2）