八年级数学15.3.1乘法公式教学设计人教版.doc

§15.2.1平方差公式
一、 内容及分析
1、 内容：课本P151——P153内容 平方差公式
2、 分析：本节课是继多项式乘以多项式的内容的一种升华，起着承上启下的作用。在内容上是由多项式乘多项式而得到的，同时又为下一节课打下了基础，环环相扣，层层递进。通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会到从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。
二、 目标及分析
1、 目标：1）．经历探索平方差公式的过程。
2）．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单运算
2、分析 课程标准明确指出“会推导乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算”。把某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式形式，就是乘法公式。从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊认识过程的范例，对它的学习和研究，丰富了教学内容，也开阔了学生的视野。
三、 教学问题诊断分析：本节课是在学生学习了整式乘法后，对整式乘法已经很熟悉的基础上来进行学习的。是从一般到特殊认识过程，经过本节课的学习，要引导学生进行观察、分析，使他们掌握平方差公式的结构特征，理解公式的意义，并能够正确地运用平方差公式。
四、 教学过程设计
（一） 教学基本流程：课前回顾——导入——学习新知识——巩固练习——目标检测——小结
（二） 教学情境
1、 课前回顾
请说出（m+a）(m+b)的结果. 板书(m+a)(n+b)=mn+mb+an+nb
2、 导入
如果m=n,且都用x表示，那么上式就成为（x+a）(x+b)你能说出它的结果吗？
（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab
这就是上节课学习的一种特殊多项式乘法。
如果（x+a）(x+b)中的a,b再有某种特殊关系，又将得到什么特殊结果呢？这就是从本节课起要学习的内容
3、 问题与例题
问题1 (x+a)(x+b)中，a与b可以有什么特殊关系呢？
设计意图：以开放题的形式提出问题，激发学生的学习兴趣。
师生活动：（这个问题较“开放”，学生可能会说出a=b,a= -b,甚至说出a=0或b=0…，应该肯定学生的想象力，然后告诉学生)
教师：问题要一个一个地研究，比如a=0或b=0时，多项式乘法就转化为多项式与多项式，单项式与单项式的乘法，不必再加以研究。
问题2 我们先研究a= -b的情况，当a,b互为相反数时（x+a）(x+b)就变成了（x+a）(x-a)了。你能说出这个式子的结果吗？
设计意图：让学生了解平方差公式是整式乘法的特殊情形。
生：可由多项式乘法法则，得:（x+a）(x-a)=x2-ax+ax-a2=x2-a2,也可由（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab直接得出（x+a）(x-a)=x2-a2
师：这是一种特殊形式的乘法，结果也很特殊。我们把它作为一个公式，通常，习惯把 (a+b)(a-b)=a2-b2把它称为“（乘法的）平方差公式”
问题3观察这个公式，你能说出它的特征吗？能用语言叙述这个公式吗？
设计意图：训练学生的观察、分析，加深对公式的理解和记忆。让学生试述公式，有助于训练学生的语言概括能力。
生：观察、分析，找出公式特征
等号的左边：两个数的和与差的积，等号的右边是这两个数的平方差
师：教师纠正、完善后，组织学生阅读课本，使学生进一步明确公式的结构。
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
(a+b)(a－ b)= a2－ b2
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
4、例题
A直接运用
例1 运用平方差公式计算
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
B简便运算
例2：计算
（1） （2）
5、目标检测 （1）教科书153页 练习1，2题
（2）见学案
6、小结 通过本节课的学习我们有哪些收获？
a.平方差公式是特殊的多项式乘法，即(a+b)(a－ b)= a2－ b2两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差
b.特殊的两数相乘，可以通过变形后应用平方差公式，从而使计算过程简化。
C．在混合运算中，用平方差公式直接计算所得的结果可以写在一个括号里，以免发生符号的差错。
五、配餐作业
见学案
六、课后反思

德宏州民族初级中学 八年级上 数学 教学设计 （ 1 课时）
学科长：李春雁
审核意见：
签名时间：
备课组长：李萍
主备人：杨永涛 备课组成员：李萍 番绍卿 杨永涛 吴家青 杨岭 王子昌 林文杰
授课教师：
授课时间： 年 月 日 第 节

§15．3．2．1 完全平方公式（一）

一、 内容及分析
1、 内容：课本P153——P155内容 完全平方公式（1）
2、 分析：完全平方公式是继平方差公式之后的两个公式，一个是两个数和的平方，另一个是两个数差的平方。两者仅是一个“符号”不同，结果是两数的平方和，加上（或减去）两数积的2倍，两结果也仅一个“符号”不同。
二、 目标及分析
1、目标 1.了解完全平方公式的推导及几何解释．
2．掌握完全平方公式的运用．
2、分析 课程标准明确指出“会推导乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算”推导完全平方公式的思路与推导平方差公式的思路是一样的。根据乘方的意义与多项式乘法法则得到完全平方公式，再用语言把这两个公式表述出来。
三、教学问题诊断分析：有了平方差公式的学习基础，学生可以在教师引导下自主探索完全平方公式，最后达到灵活、准确应用公式的目的.
四、教学过程设计
（一） 教学基本流程：课前回顾——导入——学习新知识——巩固练习——目标检测——小结
（二） 教学情境
1、 课前回顾 请同学们说出多项式乘法法则和乘方的意义
2、 导入 请同学们探究下列问题：
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
[生]（1）第一天老人一共给了这些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共给了这些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共给了这些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子们第三天得到的糖块总数与前两天他们得到的糖块总数比较，应用减法．即：
（a+b）2－（a2+b2）
3、问题与例题
问题1 能不能将（a+b）2转化为我们学过的知识去解决呢？
设计意图：从现实生活中存在的问题入手，使学生觉得数学就在我们身边。
[生]可以．我们知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
[师]像研究平方差公式一样，我们探究一下（a+b）2的运算结果有什么规律．
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我还发现（1）结果中的2p=2·p·1，（2）结果中4m=2·m·2，（3）、（4）与（1）、（2）比较只有一次项有符号之差，（5）、（6）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
[师]大家分析得很好．可以用语言叙述吗？
[生]两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
[生]它是一个完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[师]很有道理．它和平方差公式一样，使整式运算简便易行．于是我们得到完全平方公式：
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
符号叙述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？

[生甲]先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．
[生乙]还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
[生丙]阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．这正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我们可以用完全相同的方法来研究图（2）的几何意义了．
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a·b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是（a-b）2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
[师]数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．
（a+b）2-（a2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
4、例题
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
[例1]解：（1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2
（a+b）2= a2+ 2·a·b+ b2
=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y-）2=y2- 2·y·+（）2
（a-b）2= a2- 2·a·b+ b2
=y2-y+
方法二：（y-）2 =[y+（-）]2=y2+2·y·（-）+（-）2
（a + b）2= a2+ 2·a·b+ b2
=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
从（3）、（4）的计算可以发现：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
[师]请同学们总结完全平方公式的结构特征．
[生]公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
[师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
5、 目标检测
教科书P155页练习
6、 小结
经过本节课的学习，我们学会了什么？
我们学习了完全平方公式，公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式
三、 配餐作业
见学案
四、 课后反思

德宏州民族初级中学 八年级上 数学 教学设计 （ 1 课时）
学科长：李春雁
审核意见：
签名时间：
备课组长：李萍
主备人：杨永涛 备课组成员：李萍 番绍卿 杨永涛 吴家青 杨岭 王子昌 林文杰
授课教师：
授课时间： 年 月 日 第 节
§15．3．2．2 完全平方公式（二）
一、 内容及分析
1、 内容：课本P155——P156内容完全平方公式（2）
2、 分析：去括号法则出现在第2章，添括号是本章的一个难点。
二、 目标及分析
1、目标:掌握添括号法则并能利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
2、分析 今后学习因式分解、分式运算及解方程等内容，经常会遇到去括号或添括号的问题。学习好去括号和添括号法则，为后继学习打好基础。
三、 教学问题诊断分析：添括号是在去括号的基础上引进的，把去括号的问题反过来。从a+(b+c)=a+b-c反过来，就得到a+b-c=a+(b-c);从a-(b-c)=a-b+c反过来，得到a-b+c=a-(b-c).
四、 教学过程设计
（一） 教学基本流程：课前回顾——导入——学习新知识——巩固练习——目标检测——小结
（二） 教学情境
1、 课前回顾 请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
[生]解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11
（2）4-（5+2）=4-5-2=-3
或：4-（5+2）=4-7=-3
（3）a+（b+c）=a+b+c
（4）a-（b-c）=a-b+c
去括号法则： 去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符合；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符合．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．
2、 导入
【师】∵4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：
（1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，
3、 问题与例题
问题1同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
设计意图：激发学生学习积极性，锻炼语言表达能力
【生】：分组讨论，最后总结
【生】添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
问题2 能举例说明吗？
【生】例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c．也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）．添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值．
[师]你说得很有条理，也很准确．
请同学们利用添括号法则完成下列练习：
4、 练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（ ）
（2）a-b+c=a-（ ）
（3）a-b-c=a-（ ）
（4）a+b+c=a-（ ）
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-=2a-（b-）
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
（学生尝试或独立完成，然后与同伴交流解题心得．教师遁视学生完成情况，及时发现问题，并帮助个别有困难的同学）
总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
例：运用乘法公式计算
（1）（x+2y-3）（x-2y+3）
（2）（a+b+c）2
（3）（x+3）2-x2
（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
（让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的）
分析：（1）是每个因式都是三项和的整式乘法，我们可以用添括号法则将每个因式变为两项的和，再观察到2y-3与-2y+3是相反数，所以应在2y-3和-2y+3项添括号，以便利用乘法公式，达到简化运算的目的．
（2）是一个完全平方的形式，只须将a+b+c中任意两项结合添加括号变为两项和，便可应用完全平方公式进行运算．
（3）是完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算．
（4）完全平方公式计算与多项式乘法计算，但要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再用去括号法则进行计算，这样就可以避免符号上出现错误．
5、目标检测
1．课本P182练习2．
2．课本P183习题15．3─3．
6、小结 通过本节课的学习，你有何收获和体会？
[生]我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
[生]我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等．
[师]同学们总结得很好．在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现．
7、课后反思：