安徽省滁州二中八年级数学下册《21.2 中位数与众数》教案 沪科版.doc

《21.2 中位数与众数》
知识详解
知识点一：中位数
一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于最中间的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
友情提醒：
1、 一组数据的中位数时唯一的，求中位数时，必须将数据按大小排列，如果数据的个数是奇数，那么中位数就是最中间的一个数。如果数据的个数是偶数，那么中位数就是最中间的两个数的平均数。
2、 中位数仅与数据的排列有关，某些数据的变动不会影响中位数。
3、 中位数也是描述一组数据的集中趋势。
知识点二：众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
友情提醒：
1、 众数是描述一组数据的集中趋势，考察的是数据出现的次数，即权的大小。
2、 众数可能不止一个，众数、中位数和平均数的单位与原数据的单位相同。
特别提醒；
众数、中位数和平均数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，它们是从不同角度描述数据的。平均数与每个数据都有关，每一个数据的变化都会影响它。中位数只与数据的排列顺序有关；众数只考察某些数据出现的次数。在运用时还要结合实际问题。
例1、求11，9，7，5，3，1，10，14的中位数
解析：先将数据从大到小排列。
解：将数据从大到小排列为：1，3，5，7，9，10，11，14最中间的数是7。
所以中位数为7。
例2、求2，3，3，5，6，7，2的众数。
解析：只要找出哪个数据出现的次数最多。
解：2，3各出现2次，次数最多。
所以2，3是这组数据的众数。
例3、一组数据同时减去2000后，新数据的众数为4，中位数为3，平均数为5，则原数据的众数、中位数、平均数分别是多少？
解析：只要知道众数、中位数、平均数的意义及求法即可。
解：众数为2004，中位数为2003，平均数为2005。
例4、某超市三、四月份出售同一品牌各种规格的空调，销售台数如下表：
规格
1匹
1.2匹
1.5匹.
2匹
三月
12台
20台
9台
4台
四月
20台
30台
14台
8台
根据表中数据回答：
（1） 平均每月销售空调多少台？
（2） 六月份进货时，应怎样决定进货台数及规格。
解析：（1）是计算平均数。（2）是考察表示集中趋势的特征数字在实际问题中的运用。
解：（1）＝＝56.5（台）
（2）观察表格，众数是1.2匹，而2匹的销量最少。所以在六月份进货时1.2匹要多进，2匹的要少进。
例5、某商场有职工20名，分5个部门经销商品，已知5个部门人数及去年所创利如下表：
部门
A
B
C
D
E
每人所创利润（元）
5
2
1
0.75
0.5
人数
2
3
7
4
4
（1） 求该商场每人所创利润的众数、中位数和平均数。
（2） 用众数、中位数和平均数中哪一个来代表该商场员工的年创利润的一般水平？
解析：从表中易观察出众数为1万，中位数为1万，平均数可求出是1.4万。如果以1.4万为员工年创利润的一般水平,可发现有总数四分之三即15人达不到要求，而以1万为标准较合适。因为小于1万的只有8人，不少于1万的有12人。
解：（1）在20个数据中，1万出现7次最多，即众数为1万。将20个数据从大到小排列，最中间的两个数是1万元、1万元，所以中位数是1万元。平均数为：
＝＝1.4（万元）
（2）用众数或中位数来代表该商场员工的年创利润的一般水平较合适。
例6、如图是某篮球队队员年龄结构图，由图回答下列问题：

（1）队员年龄的平均数
（2）队员年龄的众数、中位数。
解析：结合图形找出各年龄的人数。
解：（1）年龄的平均数为：（17+18×2+21×3+24×2+24×2）≈21（岁）
（2）从图中可以看出众数为21岁，中位数为21岁。
典型例题
例1、 数据-3，-2，1，3，6，x的中位数为1，那么这组数据的众数为_________.
解析：要求众数只要将x求出即可。
观察已知的5个数，可知处在最中间的两个数是1与x。所以＝1，即x＝1。
解：1。
例2、下列说法正确的是（ ）、
A、一组数据只有一个众数。
B、一组数据的平均数一定是这组数据中的某一个数。
C、一组数据的众数可能有一个或几个。
D、一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数。
解析：此题只要明确平均数、众数、中位数的意义即可。
解：C
例3、某市2005年4月1日至4月7日每天的降水概率如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
降水概率
30%
10%
10%
40%
30%
10%
40%
那么这7天降水概率的众数、中位数分别是多少？
解析：可根据众数、中位数的意义直接判断。
解：众数、中位数分别为10%、30%。
例4、为筹备元旦联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，调查数据中最值得关注的是（ ）
A、中位数 B、众数 C、平均数 D、加权平均数
解析：此题是平均数、众数、中位数在实际中的应用，最值得关注的是众数。
解：B。
例1、 了普及环保知识，某中学组织环保知识竞赛，初中三个年级根据初赛成绩分别选出10名同学参加决赛，决赛成绩如下：

年级
决赛成绩（分）
初一年级
80，86，88，80，88，99，80，74，91，89，
初二年级
85，84，87，97，85，76，88，77，87，88，
初三年级
82，80，78，78，81，96，97，88，89，86，
（1）请填写以下表格
年级
平均数
众数
中位数
初一年级
85.5

87
初二年级
85.5
85

初三年级

84
（2）从以下两个角度对三个年级的决赛成绩进行分析
①平均数、众数 ②平均数、中位数
（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级实力强一些？
解析：通过计算观察三个年级的平均分均为85.5分，初二年级的众数最高为85分，初一年级的中位数最高为87分，所以从平均数、众数、中位数角度分析哪个年级成绩好一目了然。
选出3人参加总决赛各年级必定选出成绩最好的3名选手，从表中可看出初三年级实力更强一些。
解：（1）初一年级众数为80分，初二年级中位数为86分，初三年级平均数、众数分别为
85.5分、78分。
（2）①因为三个年级平均数相同，初二年级的众数最高
所以初二年级成绩好些。
②因为三个年级平均数相同，初一年级的中位数最高
所以 初一年级成绩好些。
（3）因为初一、初二、初三前三名决赛成绩的平均分分别为93、91、94分
所以在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛初三年级实力强一些。
例2、 由小到大排列一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，其中每个数据都大于2，求新数据x1，－x2，－x3，x4，－x5，x6，－x7，－2的中位数。
解析：本题关键是将新数据按大小顺序排列，在这里可以借助数轴来解决。
解：借助数轴可以将新数据按大小排列为：－x7，－x5，－x3，－x2，－2，x1，x4，x6
所以中位数为：＝－
例3、 某车间为了改变目前管理松散的状况，准备采取每天任务定额，超产有奖的措施。以提高工作效率，下面是该车间15名工人过去一天中各自装配机器的数量（单位：台）
6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，13，15，15，16
试分别这组数据的平均数、众数、中位数。如果你是车间主任，会把每人的标准日常量定为多少？并简单说明理由。
解析：所定的标准日常量不能太高，也不能太低，使大部分工人能够完成。
解：平均数为：＝≈10（件）
由排列的15个数据可看出中位数是9件，众数是8件。
每人的标准日常量定为9件，如果定为10件，则多数工人不能完成任务，会挫伤工人的积极性；如果定为8件，则绝大多数工人不需要努力就可以完成任务，不利于促进生产；所以比较合理的定额是9件。
例4、 某商厦张贴巨幅广告，称他们这次“真心回报顾客”活动共设奖金20万元，最高奖每份一万元，平均每份奖金200元，一顾客幸运抽到一份奖券，奖金数为10元。她调查了周围兑奖的其他顾客，一个也没有超过50元，她气愤地与商厦领导评理，说商厦欺骗了顾客，商厦领导说不存在欺骗，并出示了下面奖金分配表：
奖金等级
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
五等奖
奖金额（元）
10000
6000
1000
50
10
中奖人数
3
10
87
350
550
（1） 你对此事有什么看法。
（2） 以后遇见此类问题你关心什么信息？
解析：广告是否有欺骗行为，可以通过计算得出。此类有奖销售问题应关心众数。
解：（1）商厦没有欺骗顾客，因为奖金地平均数为：
＝200（元）
但奖金的平均数不能代表中奖的一般金额，90％的奖金不超过50元。
（2）以后遇见此类问题应关心中奖金额的众数信息。
趁热打铁
1、 某商场进了一批苹果，没箱苹果的质量约为5㎏，运入仓库前，从中随机抽取10箱检查，称得10箱苹果得质量（单位：㎏）如下：
4.8，5.0，5.1，4.8，4.9，4.8，5.1，4.9，4.7，4.7；
请指出这10箱苹果得质量得众数及中位数。
解： 因为4.8㎏出现次数最多为3次。所以众数为4.8㎏；
将10箱苹果得质量按大小排列处在最中间得两个数为4.8、4.9，所以中位数为：
＝4.85（㎏）
2、某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（ ）
A. 服装型号的平均数 B. 服装型号的众数
C. 服装型号的中位数 D. 最小的服装型号
解：B
2、 表为全国省会城市某日得最高气温，请分别用众数、中位数表示这组数据。（精确到0.1℃）
气温（℃）
21
23
24
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
城市数
1
1
1
3
3
1
3
2
2
4
3
2
2
3
解：中位数为31℃，众数为32℃。
3、 一组数据，由小到大排列为x1，x2，x3，x4，x5，且x1，x2，x3，的平均数为25，x3，x4，x5，的平均数为35，x1，x2，x3，x4，x5，的平均数为30，求这组数据的中位数。
解：30。
5、为组织暑假期间兴趣小组活动，班委会对大家最感兴趣的活动进行民意调查，最终选定哪个项目由下列哪个调查数据来决定（ ）
A、平均数 B、中位数 C、众数 D、平均数、中位数、众数中的任一个
解：C;
6、从甲、乙、丙三个厂家生产同一种产品各抽取8件产品，对其中使用寿命跟踪调查，结果如下：（单位：年）
甲：3，4，5，6，7，8，8，10，
乙：4，6，6，6，8，9，12，13
丙：3，3，4，7，9，10，11，12
三个厂家在广告中都称该厂品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家分别使用了哪一种表示集中趋势的特征数。
解：甲：众数； 乙：平均数； 丙：中位数;
7、2005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部回收.根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成如下表格（被调查的消费者年收入情况）

年收入（万元）
1.2
1.8
3
5
10
被调查的消费者数（人）
200
500
200
70
30

请你根据以上信息，回答下列问题：
⑴根据表格可得，被调查的消费者平均年收入为 万元；被调查的消费者年收入的中位数是
万元；在平均数、中位数这两个数中， 更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平.
8、有100名学生参加两次科技知识测试成绩如图所示：

试问第一次测试、第二次测试中位数分别在哪个分数段？
解：第一次测试的中位数在20～39，第二次测试的中位数在40～59。
9、某班学生检查视力结果如下：
视力
0.5一下
0.7
0.8
0.9
1.0
1.0以上
占全班人数的百分比
2％
6％
3％
20％
65％
4％
从以上数据看出，全班视力数据的众数为（ ）
A、0.9 B、1.0 C、20％ D、65％
解：B
10、有一组数据a、b、c、d、e、f，其中a=－10,b=0,c=11,d=17,e=17,f=31。问：
(1) 增大a对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
(2) 去掉b对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
(3) 去掉c对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
(4) 去掉d对平均数、中位数和众数会产生影响吗？
解：（1）对平均数一定有影响。当a增大到超过11时，对中位数有一定影响；当a增大到0、11、31这三个数时，对众数有一定影响。
（2）对平均数、中位数会产生影响，但对众数没有影响。
（3） 因为11是这组数据的平均数，所以对平均数没有影响，对众数没有影响，但对中位数有一定影响。
（4） 对平均数、中位数和众数都会产生影响。
11、某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68

根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图所示，每得一票记作1分．
(1) 请算出三人的民主评议得分；
(2) 如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01）？
(3) 根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？
解：(l)甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50 分，80 分，70 分．
(2）甲的平均成绩为（分）,
乙的平均成绩为：（分）,
丙的平均成绩（分）
由于76.67>76>72.67，所以候选人乙将被录用.
(3）如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4 : 3 : 3的比例确定个人成绩，那么
甲的个人成绩为：72.9（分）,
乙的个人成绩为：77（分）
丙的个人成绩为： 77.4（分）
由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用．