春七年级数学下册 2 相交线与平行线教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中七年级下册数学教案.doc

第二章　相交线与平行线

1.结合具体情境,理解对顶角、互为余角、互为补角的概念,探索并掌握对顶角相等,理解垂线、垂线段等概念,掌握“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的基本事实,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线,了解垂线段最短的性质,了解点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离.
2.理解平行线的概念,了解平行公理及其推论,会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线;会识别同位角、内错角、同旁内角;探索并掌握平行线的性质和判定方法,会度量两条平行线之间的距离.
3.会用尺规作一个角等于已知角,能利用尺规作角的和、差、倍,并掌握作图步骤和作图语言的叙述及作角的综合应用,能够通过尺规设计并绘制简单的图案,同时在尺规作图过程当中,积累数学活动经验,培养动手能力和逻辑分析能力.
4.能初步应用本章所学的知识对图形进行简单的说理、解释生活中的现象及解决简单的实际问题,体会研究几何图形的意义.

1.理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句,会用语句描述简单的图形,会根据描述的语句画出图形,能结合一些具体内容进行说理,初步养成言之有据的习惯.
2.注意观察实物、模型和图形,通过观察、归纳、对比来寻找图形的位置关系和数量关系,从而发现图形的性质.

1.在观察、操作、想象、说理、交流的过程中,发展空间观念,初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识,激发学生对空间与图形的兴趣.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.
3.通过一题多变,一题多解,多解归一的练习,让学生学会挖掘题目资源,用发展的眼光看问题,观察运动中的异同,揭示知识间的内在联系.

根据《标准》的要求,图形与几何部分的整体教学目标确定为:在探索、发现、确认、理论验证图形实质的过程中,借助几何直观,把复杂的数学问题变得简明、形象,发展空间观念和推理能力.
基于《标准》的要求和学生的实际,本章设计的总体思路是:在生动的问题情境和丰富的数学活动中,探索相交线、平行线的有关事实;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单推理相结合,发展空间观念的推理能力;借助平行的有关结论解决一些简单的实际问题.
为此,教科书共安排了4节内容.
第1节“两条直线的位置关系”,首先从反映生活中存在的两条直线位置关系的图片的观察入手,提出两条直线的两种位置关系(相交与平行),接着介绍对顶角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所成的角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所成的角及其基本结论.
第2节“探索直线平行的条件”、第3节“平行线的性质”,教科书通过设置观察、操作等探究活动,按照“先探索直线平行的条件,再探索平行线的性质”顺序呈现、展开平行线的有关内容.其中,在探索直线平行条件中自然引入“三线八角”,并试图在探索性质和解决问题过程中,加深对直线平行的理解,进一步发展学生的空间观念.
第4节“用尺规作角”,在七年级上册“用尺规作一条线段等于已知线段”的基础上,学习“用尺规作一个角等于已知角”,用规范的尺规作图语言加以叙述,给出了尺规作图的范例.

【重点】
1.掌握平行线的条件及平行线的特征,并会运用它们说理.
2.进一步熟悉和掌握几何语言,能用几何语言说明图形.
【难点】　能根据几何图形按照题目要求灵活的说理.

1.本章知识点在内容呈现上充分体现认知过程,给学生提供探索与交流的时间和空间.强调学生通过“做数学”来学习数学是本章教科书的一个突出特点.在内容处理上,加强了实验几何的成分,将实验几何与论证几何有机结合.对于几何中的结论,多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做实验等活动,探索发现几何结论,然后再对结论进行说明、解释或论证,为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫,在教学时应充分注意这一点.
2.对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过探索活动来发现结论,经历知识的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.
3.注意加强直观性.密切联系实际,体验知识的形成和应用过程,以实际问题为出发点和归宿是这一章教学中特别关注的问题.几何图形是从实际中抽象出来的,所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的,这一点对于学生来说有一定的困难.为了减少学生学习的困难,在学习这一章时,注意加强了直观教学,使教学内容尽量贴近学生的生活.
4.循序渐进地安排技能训练.这一章的教学,除了要学习一些数学知识以外,还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务.这既有几何语言、图形方面的,也有说理、推理方面的.这些内容,都是进一步学习空间与图形知识的基础.教科书在这方面也是作了精心安排,在教学时应当注意按照由简单到复杂、由模仿到独立操作的顺序,逐步提高要求.
5.有意识地培养学生有条理地思考和表达.对于推理能力的培养,按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排.本章对于推理的要求还处在入门阶段,只是结合知识的学习,识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”.各个过程中,都没有采用“已知…,求证…,证明…”的形式,而是用说理的方式展示推理的过程,但强调让学生经历推理的过程,感受推理论证的作用,使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续.因此教学中要注意准确把握教学要求,对推理能力的培养要有一个循序渐进、逐步提高的过程,要鼓励学生用自己的语言说明理由,在书写格式上不作统一要求,可以用自然语言,可以结合图形进行说明,可以用箭头等形式表明自己的思路,也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程,等等.总之,要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写,不能操之过急.

1　两条直线的位置关系
2课时
2　探索直线平行的条件
2课时
3　平行线的性质
2课时
4　用尺规作角
1课时
回顾与思考
1课时

1　两条直线的位置关系

1.通过观察、操作、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.在具体情境中,了解余角、补角、对顶角,掌握同角或等角的余(补)角相等,对顶角相等,并能解决一些实际问题.

1.引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论,并用结论来解决相关问题.
2.从丰富的生活情境中抽象出几何模型,引入余角、补角及它们的性质.

1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度,积极进取的探索精神,团结协作的良好品质.
2.由实际问题引入,增强学生学习数学的兴趣,体会数学来源于生活又服务于生活,通过对对顶角的辨别,培养学生的批判性思维.

【重点】
1.对顶角定义和对顶角相等.
2.余角、补角和它们的性质.
【难点】　同角或等角的余(补)角相等性质的应用.
第课时

在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义,知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等,并能解决一些实际问题.

经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.

【重点】　了解对顶角、余角、补角的概念及应用有关性质解决实际问题.
【难点】　应用对顶角、余角、补角的性质解决实际问题.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　预习教材P38~39.

导入一:
　　[过渡语]　在2013年3月17日,世界斯诺克球员巡回赛总决赛1/4决赛,中国选手丁俊晖以4比3绝杀马克·艾伦后晋级四强;他打出三杆过百,其中更有一杆147分,打出个人职业生涯中的第五杆满分.不仅为个人取得了荣誉,更为我们国家争取了荣誉.斯诺克台球运动是一项技术性很高的运动,其中包含了很多数学知识.你想知道吗?本节课我们就共同学习相关的知识.
[设计意图]　利用相关的台球体育赛事新闻创设情境,吸引了学生的注意力,引发好奇心,感受数学知识在生活中的应用,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,为新课的学习做好情感及心理的铺垫.并适时对学生进行集体主义教育,从小树立集体荣誉感.
导入二:
我们在生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和人类的创造物中,蕴含着大量的直线、射线、线段.下面我们就来欣赏一组生活中的图片.

[处理方式]　同学们观察图片,并与同伴交流观察几幅图片后的发现,得出图中的线有些是平行的,有些是相交的.由其中一个小组作展示,其余同学作补充.教师引入课题:本节课我们就共同学习与两条直线的位置关系相关的知识.
[设计意图]　通过学生熟悉的实物图片让学生发现数学知识,明白本节课要学习的主要内容.

　　[过渡语]　我们的周围有好多线条,它们有的平行,有的相交,有的垂直,我们这节课将一起研究同一平面内的两条直线的位置关系.
探究活动1　两条直线的位置关系
思路一
同学们认真观察这些来自生活的图片,你有什么发现?(学生观察,与同伴交流)

[处理方式]　在教师的引导下先由学生理解“同一平面内”的含义,再让学生找出图中同一平面内的两条直线的位置关系.由学生进行补充说明.
【知识归纳】　在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.(教师强调关键词:同一平面、只有一个公共点、不相交)
[设计意图]　从学生身边熟悉的图形出发,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,体会数学与生活的联系,引起学生学习的兴趣.通过师生互动,生生互动,增加学生之间的凝聚力.在相互探讨中激发学生学习的积极性,亲身经历提炼有关数学信息的过程,总结出同一平面内两条直线的基本位置关系,提高课堂效率.为新课的学习做好铺垫.
思路二
　　[过渡语]　我们在七年级上册学习了直线和直线的表示方法,请同学们在纸上画两条直线,并用字母表示.(教师展示部分学生所画的图)

师:以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类?
生:可以分为两类.分别为相交和平行.
师:但是我们所展示的图形中有三种情况,如何解释呢?
生:因为直线是无限延伸的,图(1)中把直线a和b画长点就变成了两条相交的直线.
师:这位同学解释得非常好!这就是我们这节课要研究的两条直线的位置关系.
师:通过大家的画图我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种.但是在说两条直线的位置关系时,我们应强调什么问题呢?
生:必须在同一平面内.
师:很好!也就是说平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.那么什么是相交线和平行线呢?
生:若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
生:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
师:下面请同学们欣赏几幅生活中的图片,并指出图片中的相交线和平行线.(课件展示图片,找学生指出图片中的相交线和平行线)

师:你还能举出生活中有关相交线和平行线的例子吗?(学生举出例子有窗户、黑板、学校的推拉门、教室的墙等等)
[设计意图]　让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以更进一步地理解平行线、相交线的概念.
探究活动2　对顶角的定义与性质
　　[过渡语]　两条直线相交,会形成怎样的角呢?
【活动内容】　观察下面两个图形,思考以下几个问题.

问题1
观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系,大小有何关系,为什么?
问题2
剪子在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗?∠3和∠4呢?你有何结论?
[处理方式]　学生观察总结之后,教师予以补充确定.得到对顶角的概念和性质.
【归纳总结】　如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶角.对顶角有如下性质:对顶角相等.
【即时练习】(多媒体显示)
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 (　　)

〔答案〕　D
2.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的iiiiiiiiiiiiiii度数.你能说出所量角是多少度吗?为什么?

〔答案〕　40°,理由:对顶角相等.
[设计意图]　通过创设生动有趣的活动情境,为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的活动素材,使学生在自主学习的过程中,学会对顶角的概念及其性质.同时通过有效的数学探究活动,使学生经历数学的发生、发展过程,概括归纳得到猜想和规律,并加以验证,也积累了数学活动的经验.利用学习过的有关事实解决实际问题,体会数学在生活中的应用,进一步巩固了对顶角的概念及其性质,激发学生的学习兴趣.
探究活动3　补角、余角的定义及性质
　　[过渡语]　通过对顶角的概念,我们知道两条直线相交所成的四个角中,不相邻的两个角是对顶角,那么相邻的两个角叫什么角呢?
1.补角和余角的定义.
【问题】

1.在右图中,∠1与∠3有什么数量关系?
2.请同学们按下面的要求画图.
(1)画出两个角,使它们的和为90°.
(2)画出两个角,使它们的和为180°.
[处理方式]　针对问题2,学生思考后画图,教师巡视,选择学生展示所画图形,并作出补充.
展示(1):和为90°的两个角.

展示(2):和为180°的两个角.

【归纳总结】
补角定义:如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.
(补充)两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.
余角定义:如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.
[处理方式]　学生动手画图,并相互交流结果.展示学生问题2的答案,教师并作补充,选择有代表性的图形,使所画两角在位置关系上都不同,但是它们在数量上两角的和都是90°(①②③)或180°(④⑤).特别是图③,利用了对顶角画出两个45°角,使它们的和等于90°,让学生理解互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.
[设计意图]　通过动手画图,可以加深学生对概念的理解,在相互交流中,初步形成评价与反思的意识,在相互补充、相互学习中,体验“互补、互余”仅仅表明了两个角的度量关系,并没有限制角的位置关系,在合作交流中,获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心,可以更好地掌握新知识.在集体展示时给部分同学展示的机会,可以极大地调动这部分学生的学习热情.
【即时练习】(多媒体显示)
下列说法中,正确的有　　　　.(填序号) 
①已知∠A=40°,则∠A的余角=50°;②若∠1+∠2=90°,则∠1和∠2互为余角;③若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2和∠3互为补角;④若∠A=40°26',则∠A的补角=139°34';⑤一个角的补角必为钝角;⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°.
[设计意图]　这是针对学生的易错点而改编的一组判断题,这种形式能引导学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解和掌握.
2.补角和余角的性质.
　　[过渡语]　台球中也蕴含着我们学习的大量知识,看下面的问题.
如图(1)所示,打台球时,选择适当的方向,用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2,将图(1)抽象成图(2),ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在图(2)中:

(1)有哪些角互为补角?有哪些角互为余角?
(2)∠3与∠4有什么关系?为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?
【归纳总结】　同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
[处理方式]　学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、推理、验证等活动过程.本环节的三个问题是环环紧扣、层层递进提出来的,前一个问题为下一个问题做好铺垫.在学习的过程中,时刻不能忘记学生是主体,一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发,问题环节设计跨越性不能太强,让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟,自己能够主动地去探究问题的实质,体验成功的喜悦;教师要充分发散学生的思维,鼓励学生各抒己见,敢于质疑;上课要渗透合情说理的方法,进一步培养学生的推理能力.
[设计意图]　先给出台球桌面的实景图,再给出由实景图抽象出的几何图形,引导学生了解抽象的必要性和抽象的过程,并通过问题串,引导学生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等”的结论.
【即时训练】(多媒体显示)
1.因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1=　　　　,理由是　　　　. 
〔答案〕　∠3　同角的余角相等
2.因为∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=　　　　,理由是　　　　. 
〔答案〕　∠3　同角的补角相等
3.(1)画一个直角三角形ABC,使∠C=90°,如图(1)所示,则∠A是∠B的　　　　. 
(2)在(1)的基础上,作∠CDA=90°,如图(2)所示,则∠A的余角有哪几个?为什么?请找出互补的角,并说明理由.

解:(1)余角
(2)因为∠A+∠ACD=90°,∠A+∠B=90°,所以∠A的余角为∠ACD,∠B.因为∠ADC+∠BDC=180°,所以∠ADC和∠BDC互为补角.
[设计意图]　通过练习,即时巩固所学知识,提高学生用数学解决实际问题的能力.
[知识拓展]　
1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种,相交时两条直线只有一个公共点,平行指的是两条直线平行,而不是线段或射线.
2.对顶角必须具备的两个要素:①有公共顶点;②两边互为反向延长线.
3.互为余角、互为补角是指两个角之间的关系,是成对出现的.两角互为补角并不一定一个是钝角一个是锐角,也有可能是两个直角.

(1)相交线的定义.
(2)平行线的定义.
(3)对顶角的定义及性质.
(4)互为余角、互为补角的定义及性质.

1.如图所示,直线AB与CD交于点O,∠EOD=90°,回答下列问题:
(1)∠AOE的余角是　　　　,补角是　　　　. 
(2)∠AOC的余角是　　　　,补角是　　　　,对顶角是　　　　. 
答案:(1)∠BOD和∠AOC　∠BOE　(2)∠AOE　∠AOD和∠BOC　∠BOD

2.如图所示,点O在直线AB上,∠DOC和∠BOE都等于90°.请找出图中互余的角、互补的角、相等的角.

解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC;
互补的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠DOE,∠EOC和∠BOD;
相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC.
3.如图所示,小颖想测量一堵拐角高墙在地面上所成的角∠AOB的度数,人不能进入围墙内,你能帮小颖想出简单的测量方法吗?请简述你的方法,并说明理由.
解:延长BO到C,测量出∠AOC的度数,在用180度减去∠AOC的度数,即可得出∠AOB的度数.理由:∠AOC和∠AOB互为补角.(答案不唯一)

4.如图所示,点O在直线AB上,OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,请找出∠COD的余角和补角,并说明理由.

解:因为OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,
所以∠BOC=∠COD,∠DOE=∠AOE,
所以∠EOC=∠EOD+∠DOC=90°.
所以∠COD的余角是∠DOE,∠AOE,∠COD的补角是∠AOC.

第1课时
探究活动1　两条直线的位置关系
探究活动2　对顶角的定义与性质
探究活动3　补角、余角的定义及性质

一、教材作业
【必做题】
教材第40页习题2.1知识技能第1题.
【选做题】
教材第40页习题2.1问题解决第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ的关系为 (　　)
A.互余 B.互补
C.相等 D.不能确定
2.如图所示,∠1与∠2是对顶角的是 (　　)

3.如图所示,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于 (　　)
A.38° B.104° C.142° D.144°

【能力提升】
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,且∠1=∠2.
(1)指出∠1的对顶角;
(2)若∠2和∠3的度数比是2∶5,求∠4和∠AOC的度数.

5.已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的余角.
【拓展探究】

6.如图所示,点O为直线AB上一点,OC为一射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)若∠BOC=50°,试探究∠FOE的度数;
(2)若∠BOC为任意角α(0°<α<180°),则∠FOE的度数是多少?
【答案与解析】
1.C(解析:因为∠β与∠γ互余,所以∠β+∠γ=90°,又因为∠α+∠β=90°,所以∠α=∠γ.故选C.)
2.C(解析:A.∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角;B.∠1与∠2没有公共顶点,不是对顶角;C.∠1与∠2的两边互为反向延长线,且有公共顶点,是对顶角;D.∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角.故选C.)
3.C(解析:因为∠BOD=76°,所以∠AOC=∠BOD=76°,因为射线OM平分∠AOC,所以∠AOM=∠AOC=×76°=38°,所以∠BOM=180°- ∠AOM=180°- 38°=142°.故选C.)
4.解:(1)∠1的对顶角是∠AOC.　(2)因为∠1=∠2,∠2和∠3的度数比是2∶5,所以∠1∶∠2∶∠3=2∶2∶5,设∠2=2x,则∠1=2x,∠3=5x,由题意得2x+2x+5x=180°,解得x=20°,所以∠1=40°,∠2=40°,∠3=100°,根据对顶角相等,得∠4=∠BOC=∠2+∠3=140°,∠AOC=∠1=40°.
5.解:设这个角为x,则180°- x+10°=3(90°- x),解得x=40°,所以90°- 40°=50°.所以这个角的余角为50°.
6.解:(1)因为∠BOC=50°,所以∠AOC=180°- 50°=130°,因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=∠AOC=65°,∠COF=∠COB=25°,所以∠EOF=65°+25°=90°.　(2)因为∠BOC=α,所以∠AOC=180°- α,因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=∠AOC=90°- α,∠COF=∠COB=α,所以∠EOF=90°- α+α=90°.所以∠EOF=90°.

本课时注重创设“开放”的教学环境,引导学生从身边熟悉的情境出发,使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程,体会知识的重要性和在生活中的广泛应用.通过课堂开放,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,同时也为学生搭建了一个充分展示自我的舞台,在活动中提高与他人合作交流的能力,激发了学生的潜能,使学生成为课堂的主人,提高了学生分析问题、解决问题的能力.

讨论时,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.

再教时应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,教师可以激励学生课后继续探究,将课内学习延伸到课外,不断开阔学生的视野.

随堂练习(教材第39页)
解:40°,对顶角相等.
习题2.1(教材第40页)
知识技能
1.解:因为∠1=38°,所以∠3=38°(对顶角相等),∠2=180°- ∠1=180°- 38°=142°.因为∠4=∠2,所以∠4=142°.
数学理解
2.解:互为补角的两个角不可以都是锐角,也不可以都是钝角,可以都是直角.
问题解决
3.提示:∠1=32°.
4.提示: 60°或120°.
联系拓广
5.提示:不是.

1.怎样理解互为余角和互为补角?
余角和补角都是指两个角之间的一种特殊的数量关系.即如果两个角互为余角,那么它们的和为90°;如果两个角互为补角,那么它们的和为180°.
强调两个角中,一个角是另一个角的余角,或者两个角互为余角.补角同样如此.
另外,对余角和补角有两个非常重要且常用的结论:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
2.怎样理解对顶角的特点和性质?
特点:(1)有公共顶点;
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
性质:对顶角相等.
3.互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.

　如图所示,将一个长方形纸片沿着直线EF折叠,点A落在点A'处;再沿着GE折叠,顶点B落在EA'上的B'点处.∠FEA'与∠GEB'互余吗?为什么?

〔解析〕　要判断∠FEA'与∠GEB'是否互余,需要求出∠A'EF+∠B'EG是否为90°,由已知可得∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,所以不难得出结论.
解:由已知得∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,而∠AEF+∠A'EF+∠BEG+∠B'EG=180°,
所以∠A'EF+∠B'EG=90°,
由互为余角定义可知∠A'EF与∠B'EG互为余角.
第课时

1.会用符号表示两直线垂直,并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线.
2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质,会进行简单的应用.
3.初步尝试进行简单的推理.

经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动,进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力.善于举一反三,学会运用类比、数形结合等思想方法理解新知识.

激发学生学习数学的兴趣,体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理,在解决实际问题的过程中了解数学的价值,通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性.

【重点】　会用工具按要求画垂线,掌握垂线(段)的性质.
【难点】　从实际生活中感知垂线的性质以及体会点到直线的距离的意义,并能用准确的数学语言加以描述.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　三角尺、长方形纸片、方格纸.

导入:
问题1
同一平面上的两条直线有哪些位置关系?你能找到生活中的一些实例吗?
问题2
同一平面上的两条直线相交,一条直线不动,另一条直线转动时,观察特殊的位置关系.
[处理方式]　问题1由学生口答完成,在观察教室周围的基础上找到一些相交的线段,并发现其中相交的特殊情况,即两条直线相交,形成直角.在学生充分体会完成后,提炼出数学图形.问题2教师引导学生转动模型(钉在一起的两张长方形纸条,用纸条模拟直线),由直观形象的演示过渡到抽象的直线表示,从而导入新课的学习,教师同时板书课题.
[设计意图]　数学来源于生活,引导学生从身边熟悉的图形出发,既复习了上一课时的知识点——两条直线的位置关系,又体会到生活中大量存在特殊的相交线——互相垂直的直线,在比较中发现新知,加深了学生对垂直的感性认识,感受垂直“无处不在”;利用动态演示激发学生的学习热情,调动学生的参与意识,为下一部分的探究实践做好充分的准备和铺垫.

探究活动1　垂直的定义
思路一
【活动内容】
在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系,请同学们观察下面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系?说说看.

[处理方式]　引导学生发现其中相交的直线所成的夹角是90°.如何验证它们的夹角是90°呢?直接在屏幕上演示用三角尺或量角器验证直角的过程.
(几何画板)演示自制教具,要求学生观察当一根木条绕着另一根木条旋转时的变化情况,并用数学语言进行描述:两条直线相交成四个角,当一个角等于90°时两直线的特殊位置关系是什么.

【知识归纳】　两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.
教师板书:如果用a,b表示两条互相垂直的直线,可以记作a⊥b,垂足为O.
如果用AB,CD表示两条互相垂直的直线,可以记作AB⊥CD,其中点O是垂足.
强调:(1)在垂直的定义中要强调只有一个角是直角就可以了,不必说四个角都是直角,因为其他三个直角都可推出来.
(2)互相垂直是对两条直线而言的.因此,说到垂直,一定是指两条直线的位置关系.
(3)定义具有双重性,既是垂直的判定定理,也是垂直的性质定理,在具体应用时要注意书写格式.
【即时训练】
1.找出下图中互相垂直的线段.

2.你能说说我们身边存在的垂直线段吗?

[设计意图]　从身边熟悉的图形出发,在比较中发现新知,加深学生对垂直的直观的感性认识,培养学生从感性到理性的认知方式.并通过练习即时巩固新知.
思路二
　　[过渡语]　两条直线之间的位置关系有两种:相交和平行,观察下面的图片(多媒体出示),你能找出其中相交的线吗?它们有什么特殊的位置关系?与同伴交流.

[处理方式]　学生观察图片,进行小组讨论,教师选取学生代表到屏幕前指出说明.
[设计意图]　数学来源于生活,引导学生从身边熟悉的图形出发,既复习了上一课时的知识点——两条直线的位置关系,又体会到生活中大量存在特殊的相交线——互相垂直的直线,在比较中发现新知,加深了学生对垂直的感性认识,感受垂直“无处不在”,使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美,在美的享受中进入新知识的殿堂.通过亲身经历提炼有关数学信息的过程,可以让学生在直观有趣的问题情境中抽象出有价值的数学模型,然后利用现代化教学手段加强直观教学,激发学生的学习热情,调动学生的参与意识.
【知识归纳】　两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.通常用“⊥”表示两直线垂直.
师(边画图边板书):如图(1)所示,直线AB与直线CD垂直,记作AB⊥CD;如图(2)所示,直线l与直线m垂直,记作l⊥m.其中,点O是垂足.

师:你能在生活中找到互相垂直的线段吗?(学生各抒己见,列举生活中互相垂直的线段)
探究活动2　垂线的画法
【活动内容1】
1.你能利用三角尺画出两条互相垂直的直线吗?
2.如何判断你所画的两条直线互相垂直?
3.你能用一张长方形的纸折出两条折痕,使它们垂直吗?
4.你能分别过直线上一点和直线外一点分别画已知直线的垂线吗?
[处理方式]　学生动手画图、操作、互相交流结果,教师巡视,帮助有困难的学生,并引导学生总结出利用三角尺过直线外一点画直线的垂线的方法.
引导归纳出:利用三角尺过直线外一点画直线的垂线的方法分为三步:
(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合.
(2)让三角尺的另一直角边过已知点.
(3)沿着已知点所在的直角边画出直线.
[设计意图]　学生分组讨论、交流和合作,并动手操作画图,训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题,并为培养学生的创新意识提供了机会.一方面加强学生动手操作的能力,同时也培养了学生的合作精神;另一方面,让学生经历知识形成的过程,更能深刻理解垂直、垂线的概念.
【活动内容2】
如果只有直尺,你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗?说出你的画法和理由.方格纸上每一条横线和竖线都是互相垂直的,我们可以利用格线来画出两条互相垂直的直线.对于不与格线重合的直线怎么用直尺(不带刻度)画直线l的垂线?(如图(1)所示)
[处理方式]　师生合作:(1)把直线l在方格纸中的部分看成边长为3×2的长方形的对角线(如图(2)所示).(2)经过A点在方格纸中寻找边长为2×3的长方形(如图(3)所示),过A点画该长方形的对角线a(说明:将方格纸中小正方形的边长看成1,长方形两个相对顶点连成的线段叫做长方形的对角线),直线a就是所要画的直线l的垂线.

[设计意图]　借助不同的工具、不同的方法来解决,让学生的思维得到充分发散,引导学生透过现象看本质.课改理念之一就是改变学生被动的学习方式,让学生积极主动地投身于“做数学”中.本环节的设置,将问题更加生动形象地呈现在学生面前,让学生在经历思考、实践、猜想、动手验证等过程,不仅加深对“垂直”的理解,而且感受到“做数学”的乐趣,从而享受学习的过程.
探究活动3　垂线段和点与直线的距离
【活动内容1】
如图(1)所示,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条?如图(2)所示,如果点A在直线l外呢?动手画一画,与同伴交流.

结论:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【活动内容2】
如图(1)所示,点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?

结论:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.如图(2)所示,过点A作l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
【活动内容3】
体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?能说出其中的道理吗?与同伴交流.

[处理方式]　在学生充分实践的基础上,让学生深入思考垂直的性质,最好能让学生自己得出有关垂直的两条性质,这是本课时的难点,首先通过让学生画“点和直线的位置关系”,让学生在直观中抽象出“点在直线上和点在直线外”这一数学模型,这是分散难点的有效途径,让学生在看似“盲目”的探究中发现问题的本质,增加继续探究的勇气.问题的设置是由易到难、由直观画图到理性思考的过程.
探究活动4　垂线的应用
　　[过渡语]　刚才我们研究了垂直的定义、垂线的画法以及垂线的相关性质,你能利用它们解决下列问题吗?老师相信你们一定是最棒的!
　如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,∠EOD=40°,则∠BOC=　　　　. 

〔解析〕　因为OE⊥AB,所以∠EOB=90°,又因为∠EOD=40°,所以∠DOB=90°- 40°=50°,所以∠BOC=180°- ∠DOB=180°- 50°=130°.故填130°.

(补充)如图所示,一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的两所学校.
(1)汽车行驶时,会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响.当汽车行驶到何处时,分别对两个学校影响最大?在图中标出来.
(2)当汽车由A向B行驶时,在哪一段上对两个学校影响越来越大?在哪一段上对两个学校影响越来越小?
(3)在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?(用文字表达)
[处理方式]　学生在画图操作的过程中,教师来回巡视,及时发现学生的问题图形,在解决问题时把这些错图或不规范的图实物投影到黑板上,根据学生的课堂表现随时调整独立思考和合作交流的学习过程.例题让学生独立思考,独立写出推理过程,教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.因为没有系统的学习推理过程,只要学生解释合理即可.教师给出规范的推理过程,让学生体会数学符号语言的简洁和魅力.再通过补充练习进行巩固.
[知识拓展]　
1.垂直是相交线的特殊情况,两条线段垂直、两条射线垂直都是指它们所在的直线互相垂直.
2.画一条线段的垂线时,就是画它所在的直线的垂线.
3.点到直线的距离是指垂线段的长度,若点在直线上,我们认为点到直线的距离为零.

1.垂直定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.直线外一点与已