山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 3.3.2 圆周角和圆心角的关系教案 北师大版.doc

3.3.2圆周角和圆心角的关系教案

教学目标：
1．掌握圆周角定理几个推论的内容．
2．会熟练运用推论解决问题．
教学重点与难点：
重点：圆周角定理的几个推论的应用。
难点：理解几个推论的“题设”和“结论”．
教法及学法指导：本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合。注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情境激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想为了体现教师为主导，学生为主体，知识为主线，育人为主旨的教学原则，把课堂交给学生，让学生自己去探索，去发现、验证知识.本节课采用以探究式教学法为主线，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合多媒体直观演示、启发式设疑诱导为辅的教学方法. 注重数学与生活的联系，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想．
课前准备：教师制作多媒体课件。
教学过程：
一、前置诊断，开辟道路
１、什么是圆周角？圆心角?
２、圆周角定理内容是什么？
3、(2012 广东 汕头)如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度数是　　．

4、(2012贵州六盘水)如图4，已知∠OCB=20°，则∠A= 度.
设计意图：复习巩固圆周角定理，为推导圆周角定理的推论做好铺垫.
二、巧设情境，引入新知
师: 问题：足球训练场上教练球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说在自己的位置射门好.如果你是教练评一评他们的说法.
生：思考讨论
师：引导学生通过画图测量.
生：发现：∠C、∠D的度数相等.
师: 引导学生把实际问题抽象成数学问题：“研究同弧所对的圆周角的大小关系问题”. 导入新课
设计意图：从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法.
三、小组合作，共同探索
师：请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)它们的大小有什么关系?你是如何得到的?
生：讨论，交流.
师：大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC?
生：连接OA、OC,由圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝∠AEC=∠AOC
师：如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？如图,圆中=,那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?
生：连接OA、OB、OE、OF，由圆周角定理可得∠ACB=∠AOB, ∠EGF=∠EOF。
又因为=，所以∠AOB=∠EOF，所以∠ACB=∠EGF。
师：由此你能得出什么结论?
生：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
师：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议．
生：结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是 直径的情况下是不相等的.
师：(1)“同弧”指“同一个圆”．
(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．
(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
设计意图：学生亲自动手利用度量工具进行实验，探究得出结论，调动了学生的积极性，培养了他们的归纳能力。“同弧”能否改成“同弦”呢？这一问题的设置培养了学生思维的严密性及对圆周角概念的进一步理解.
师：如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?
生：直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°．
师：反过来，在右图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?
生：如果圆周角∠BAC=90°，所以他所对弧所对的圆心角是∠BOC=180°，从而BC是直径.
师：由此你能得出什么结论?
生：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
师：圆周角定理的推论：
推论1同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
设计意图: 通过互相交流讨论，总结规律。通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生得到正确的定理。学生证明出圆周角定理的推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感.
四．学以致用 解决问题
师:例1 如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?
生：解：BD=CD，理由是：
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
即AD⊥BC。
又∵AC=AB，
∴BD=CD。
师：例2 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径.
求证：AB·AC=AE·AD。
分析：要证AB·AC=AE·AD。
只要证即证△ADC∽△ABE。
题后思考：
1．证明题的思路寻找方法；2．等积式的证明方法；3．辅助线的思考方法。
设计意图: 本节课定理的学习是比较容易理解，这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-----直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题；在证明三角形相似的过程中推论可以很方便的寻找相等的角，为了进一步熟悉推论，安排这两个例子.
五、随堂练习，巩固深化
1、（2012云南省）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC是，则∠BCD的度数为（ ）
A． B. C. D.

2、（2012黔东南州）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55º，则
∠BCD的度数为 .
3、（2012山东泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A、B重合），则cosC的值为 .
4、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．

(1)当船与两个灯塔的夹角∠大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
(2)当船与两个灯塔的夹角∠小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
分析：这是一个有实际背景的问题．由题意可知：“危险角”∠ACB实际上就是圆周角．船P与两个灯塔的夹角为∠，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．
解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)．理由是：
连结BE，假设船在⊙O上，则有∠＝∠C，这与∠＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠＜∠AEB，即∠＜∠C，这与∠＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．
(2)当船与两个灯塔的夹角∠小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是：
假设船在⊙O上，则有∠＝∠C，这与∠＜∠C矛盾，所以船不可能在∠O上；假设船在⊙O内，则有∠＞∠AEB，即∠＞∠C．这与∠＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．
设计意图：让学生熟练运用圆周角定理的推论进行必要推理计算.把课本的部分内容调整到习题里面去完成，进一步体会本节课的知识之间的联系。
六、课堂反思，师生小结
师： 通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？
生：圆周角定理的两个推论
师：本节课我们学习了哪些方法？
生：引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角.
（2）构造同弧所对的圆周角.
设计意图: 组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思．有困惑的学生，课后和老师交流．
七、课堂检测，当堂达标
1．如图，A、P、B、C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
2题图
（2）求圆心O到BC的距离OD．
2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知AD=6求圆心O到BD的距离．
设计意图：当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
八、学以致用，分层要求
尊重学生的个体存在差异的客观事实，为了尽可能地让所有的学生都能主动的参与，都能在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的发展.练习、作业的设计分层要求.
A层（基础题）（4题来源于课本的习题原题和变式题，都较为基础）
⑴ 如图1所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC=100°，则∠BAC= 度，∠BDC=
度.
⑵如图2，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠D=25°，则∠AOC=
⑶如图3，已知AB=AC=2cm, ∠BDC=60°，则△ABC的周长是 .
⑷如图4：∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数.
A
B
C
D
O
图5

B层（中等题）
⑴ 在⊙O中，∠BOC=100°，则弦BC所对的圆周角是 度.
⑵如图5，AD是⊙O直径，=，∠A=30°，求∠B的度数.
C层（提高题）
如图6，AB是⊙O直径，点C在圆上，∠BAC的平分线交圆于点E，
OE交BC于点H，已知AC=6，AB=10，求HE的长.

D层（课外延拓）
如图7，“世界杯”赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻，当李带球冲到如图C点时，邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点，从射门的角度大小考虑，李应把球传给谁好？请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明.

板书设计：
3.3 圆周角与圆心角的关系（2）
圆周角定理的推论：
推论1
推论2

例1

例2
学生板演区

教学反思：
成功之处：
1．教学环节设计合理，尤其是对圆周角定理推论证明的处理。
2．做到了精讲点拨。在讲台上说的每一句话都尽量做到学生无法代替，学生能说的老师不说，学生说不出来的老师引导着说，学生没有想到的老师补充着说。而且，我们班的学生基本做到，该做研究时全情投入，该抬头听讲时，集中精神。
3.小组合作使用合理。充分调动小组合作的积极性和有效性，利用角落的一点地方，进行课堂评价，使学生课堂效率和学习积极性大增。
4.多媒体使用得当。所媒体出示例题增加了课容量，图形的变换形象直观，利于几何教学。
不足之处：
1．引入部分的时间过多，使得时间分配不当，学生的练习不够充分。
2．选题能力欠缺，对于每个知识点都应该有一个练习与之对应，使学生对本节课的几个知识点更明确，会应用。
3．对于知识的把握不到位，如推论的逆命题只是讲解，没有板书。
我的反思和改进方法
1.小组合作与多媒体的使用要继续。
2.多钻研考题，备、授课前先做题，发现命脉，再制定教学目标。
3.注意集体备课的效果，充分挖掘我和杨梅各自的优点和擅长的领域，互补共进。
4.吸收大校、名校、数学教学成绩前列学校的教学资源，站在巨人的肩膀上，弥补经验不足的缺陷。