人教版八年级数学整式的加减教案.doc

15.1整式加减
教材解读 精华要义
数学与生活
如图15－1所示，用同样规格的黑、白两色的正方形瓷砖铺长方形地面，在第n个图形中，每一行有 块瓷砖，每一列有 块瓷砖，共有 块瓷砖，其中黑色瓷砖共 块，白色瓷砖共 块.

思考讨论 由图15－1可以看到，当n=1时，一横行有4块瓷砖，一竖列有3块瓷砖；当n=2时，一横行有5块瓷砖，一竖列有4块瓷砖；当n=3时，一横行有6块瓷砖，一竖列有5块瓷砖.综上可以发现：4-1=5-2=6-3=3，3-1=4-2=5-3=2.即：一横行的瓷砖数等于n加上3，一竖列的瓷砖数等于n加上2.所以，在第n个图形中，每一横行共有(n+3)块瓷砖，每一竖列共有(n+2)块瓷砖，共有(n+3)(n+2)块瓷砖，其中白色瓷砖共(n+3-2)(n+2-2)=n(n+1)块，黑色瓷砖共有[(n+3)(n+2)-n(n+1)]块.这就是用字母来表示数，即代数式，你还能举出这样用字母表示数的例子吗？
知识详解
知识点1 代数式
用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
例如：5，a，(a+b)，ab，a2-2ab+b2等等.
知识点2 列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
如：-2×a=-2a，3×a×b=3·ab，-2×x2=-2x2.
(2)数字通常写在字母前面.
如：mn×(-5)=-5mn，3×(a+b)=3(a+b).
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数.
如：2×ab=ab，切勿错误写成“2ab”.
(4)除法常写成分数的形式.
如：S÷x=.
思想方法小结 在代数式里渗透了转化思想和推理思想.
(1)转化思想表现为把实际问题中的数量关系转化为代数式或者给出代数式实际背景.
(2)推理思想表现为用所学的知识去推导未知量，求代数式的值等.
知识点3 代数式的值
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
例如：求当x=-1时，代数式x2-x+1的值.
解：当x=1时，x2-x+1=12-1+1=1.
∴当x=1时，代数式x2-x+1的值是1.
知识规律小结 (1)对于一个代数式来说，当其中的字母取不同的值时，代数式的值一般也不相同.
(2)求代数式的值的方法有许多，要灵活选取方法，后面我们会给出求代数式的值的方法.例如：直接求值法、隐含条件求值法、整体代入法、换元法等等.
知识点4 单项式及相关概念
像4x，υt，6a2，a3，-n，2πR，它们都是数或字母的积，这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
知识规律小结 (1)圆周率π是常数，如2πR的系数是2π，次数是1；πR2的系数是π，次数是2.
(2)当一个单项式的系数是1或-1时，通常省略不写系数，如a2bc，-abc等.
(3)代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如1x2y写成x2y.
知识点5 多项式及相关概念
(1)几个单项式的和叫做多项式.例如：a2-ab+b2，mn-3等.
(2)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。如：多项式x2-3x+2，它的项分别是x2，-3x，2，常数项是2.
(3)一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.如：x2y-3x2y2+4x3y2+y4是五次四项式，最高次项是4x3y2.
(4)单项式与多项式统称整式.
知识规律小结 (1)在确定多项式的项的时候，要连同它前面的符号.例如：多项式x2-3x-2的项分别为x2，-3x，-2.
(2)多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，例如：x4-x3y+x2y2-xy3+y4-1是四次六项式，x2-2是二次二项式，3x+2是一次二项式.
(3)单项式与多项式都是整式.
知识点6 同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
知识点7 合并同类项及法则
Ⅰ.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
Ⅱ.法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变.
知识规律小结 判断同类项及合并同类项可以概括为下列口诀：同类项，需判断，两相同，是条件；合并时，需计算，系数加，两不变.其中，“两相同”是指：①两个单项式含有的字母相同；②相同字母的指数也分别相同；“两不变”是指所含字母不变，相同字母的指数不变.同时，在判断同类项时，要注意到“两无关”.即：①与字母顺序无关，如a2b和ba2是同类项(依据是乘法交换律)；②与系数无关，如3x2和-2x2是同类项.
知识点8 去括号法则
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项的符号都要改变.
知识点9 整式加减法法则
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
典例剖析 师生互动
基本概念题
本节有关基本概念的题目有以下几个方面：(1)确定单项式的系数和多项式的项；(2)同类项的判断；(3)利用去括号法则、乘法分配律、合并同类项进行整式的加减.
例1 写出下列单项式的系数.
(1)-18a2b；(2)xy；(3)；(4)-x；(5)23x4.
(分析)用系数的定义进行判断.
解：(1)-18a2b的系数是-18；(2)xy的系数是1；
(3)的系数是-；（4）-x的系数是-1；
(5)23x4的系数是23，即8.
例2 下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？
(1)3x2y2-5xy2+x5-6；(2)-s2-2s2t2+6t2；(3)x-by3.
(分析)用多项式的定义来判别.
解：(1)3x2y2-5xy2+x5-6是3x2y2，-5xy2，x5，-6四项的和.是五次四项式.
(2)-s2-2s2t2+6t2是-s2，-2s2t2，6t2三项的和，是四次三项式.
(3)x-by3是x，-by3两项的和，是四次二项式.
例3 说明代数式4a2b2c与8a3xy的相同点和不同点.
解：相同点是：(1)都是数字与字母的积；(2)字母指数的和都是5次；(3)都有3个字母；(4)系数都是正整数；(5)都含有字母a.
不同点是：(1)所含的字母不完全相同；(2)系数不相等；(3)它们不是同类项；(4)尽管都含字母a,但字母a的指数不相同.
【说明】 此题是典型的结论开放性试题，本题的结论不惟一，只要给出的答案符合题意，正确即可.
例4 选择题.
(1)下列各组中的两项属于同类项的是( )
A.x2y与-xy3 B.-8a2b与5a2c
C.pq与-qp D.19abc与-28ab
(2)下列式子中，正确的是( )
A.3x+5y=8xy B.3y2-y2=3
C.15ab-15ab=0 D.29x3-28x3=x
(分析) (1)题是利用同类项的定义进行判断.(2)题是用同类项的定义与合并同类项的法则进行判断.
答案：(1)C (2)C
例5 将下列各式合并同类项.
(1)11x2+4x-1-x2-4x-5；
(2)-ab3+2a2b-a3b-2ab2-a2b-a3b.
(分析) 主要利用合并同类项的法则进行化简.
解：(1)11x2+4x-1-x2-4x-5
=(11x2-x2)+(4x-4x)-(1+5)
=10x2-6.
(2)-ab3+2a2b-a3b-2ab2-a2b-a3b
=-ab3+(2a2b-a2b)-(a3b+a3b)-2ab2
=-ab3+a2b-a3b-2ab2
基本知识应用题
本节知识的基本应用包括：(1)用字母表示只有一定意义的数；(2)求代数式的值并推断代数式所反映的规律；(3)利用去括号法则、乘法分配律、合并同类项进行整式加减运算.
例6 如图15－2所示，请说出第n个图形中笑脸的个数.

(分析)经过观察，发现后一个图形中笑脸的个数比前一个图形多两个，或者说图形中笑脸的个数是n的2倍.
解：第n个图形中笑脸的个数可以表示为2n.
学生做一做 如图15－3所示，用代数式表示图中阴影部分的面积.

老师评一评 图中阴影部分的面积等于圆的面积减去三角形的面积，因此只需知道圆的半径和三角形的底边与高即可.∴图中阴影部分的面积为πR2-R2.
例7 国家规定个人发表文章或出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：(1)稿费不高于800元不纳税；(2)稿费高于800元，但不高于4000元，应缴纳超过800元的那一部分的20％的税；(3)稿费高于4000元，应缴纳全部稿费的20％的税.张教授出版了一本著作获得y元稿费，有三位同学用代数式表示出了张教授缴纳的税费，第一位同学列出的代数式是“0”表示 ，第二位同学列出的代数式是“20％(y-800)表示 ，第三位同学列出的代数式是“20％y”表示 .
(分析) 观察代数式的特点，说出它们所反映的实际背景，三位同学根据稿费的纳税情况，列出三个不同的代数式，税费为“0”，说明张教授的稿费不高于800元，不需要纳税；税费为“20%(y-800)”，说明张教授的稿费高于800元，但不高于4000元；税费为“20％y”，说明张教授的稿费高于4000元，应缴纳全部稿费20％的税，即20％y.
答案：张教授的稿费不高于800元 张教授的稿费高于800元，但不高于4000元 张教授的稿费高于4000元.
例8 按图15－4所示的程序计算，若开始输入的x值为3，则最后输出的结果是 .
(分析)利用数值转换器求代数式的值，当代数式的值不大于200时，所得代数式的值再进入运算程序，如此往复，直到所得代数式的值超过200才能输出结果，因此，最后输出的结果是231.

学生做一做 按图15－5所示的程序计算代数式的值，若输入的x值为，则输出的代数式的值y为( )
A. B. C. D.
老师评一评 利用计算机程序计算代数式的值，关键是看已输入x的范围.∵x=,∴1≤x≤2.∴y=-+2=，故正确答案为C项.

例4 代数式x2+x+3的值为7，则代数式3x2+3x-4的值为 .
(分析)就目前的知识要想通过x2+x+3=7直接求x的值很困难，我们不难看出这两个代数式有一定的联系，将第二个代数式适当地变形就可以求出其值.
∵x2+x+3=7,∴x2+x=4.
∴3x2+3x-4=3(x2+x)-4=3×4-4=8
答案：8
学生做一做 (1)若x2+3x-1=0，则x2+5x2+5x+8= ；
(2)若代数式2a2-3a+4的值为6，则代数式a2-a-1的值为 .
老师评一评 (1)无法求出x的具体值，由x2+3x-1=0可变形为x2+3x=1，只需把所求x3+5x2+5x+8变形即可逐步求出.具体过程如下：
∵x2+3x-1=0,∴x2+3x=1.
∴x3+5x2+5x+8=x(x2+3x)+2x2+5x+8=x·1+2x2+5x+8
=2x2+6x+8=2(x2+3x)+8=2×1+8=10.
(2)此题不能直接求出a的值，需对所求式子变形.
∵2a2-3 a+4=6,∴2 a2-3 a=2.
∴a2-a-1=(2a2-3a)-1=×2-1=-.
例10 方方和圆圆的房间窗帘的装饰物如图15－6所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径都分别相同)，它们的窗户能射进阳光的面积分别是多少(窗框面积不计)？谁的窗户射进阳光的面积大？

(分析)列代数式，然后合并同类项.
解：方方房间的窗户射进阳光的面积为：
ab--
=ab-b2-b2
=ab-b2.
圆圆房间的窗户射进阳光的面积为：
ab-π()2-π()2-π()2-π()2
=ab-πb2-πb2-πb2-πb2
=ab-πb2.
∵πb2＞πb2,∴-πb2＜-πb2.
∴ab-πb2＜ab-πb2.
即圆圆房间的窗户射进阳光的面积大.
综合应用题
本节知识的综合应用包括：（1）列代数式和求代数式的值的综合应用；（2）整式的加减与绝对值知识的综合应用；（3）与函数知识的综合应用.
例11 摄氏温度(℃)与绝对温度(K)是表示温度的两种不同的温标，下表给出了摄氏温度与绝对温度之间的一些关系：
摄氏温度/℃
-5
-3
0
13
20
30
绝对温度/K
268.15
270.15
273.15
286.15
293.15
303.15
绝对温度与摄氏温度的差

先在表内填空，由此可以猜测，当摄氏温度为t℃时，绝对温度为 K.
(分析)由上表知，绝对温度与摄氏温度的差为273.15，可以说当摄氏温度为t℃时，绝对温度为(t+273.15)K.
答案：表内依次填；273.15，273.15，273.15，273.15，273.15，273.15 (t+273.15)
学生做一做 (1)某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.6℃.
①如果山脚温度是30℃，则山上x米处的温度为多少？
②如果山脚温度不变，那么山上300米、1000米、5000米处的温度各是多少？
③由例11所反映的绝对温度与摄氏温度的关系，推测山上300米处的绝对温度是多少？
(2)某工厂用12万元购进一台机器，随着使用年限的增加，机器的实际价值降低，下表是机器的实际价值y(单位：万元)与使用年限x的关系.
年限x
1
2
3
4
实际价值y
12-0.6
12-1.2
12-1.8
12-2.4
①写出实际价值y与年限x的关系；
②计算8年后该机器的实际价值；
③若机器的实际价值降到3万元时，就必须报废处理，计算这台机器可以使用多少年.
老师评一评 (1)高山上的温度随高度的增加而降低，每升高100米降低0.6℃，那么升高x米就应降低℃.再由例11的关系式可推测本题高山上任一高度处的绝对温度.其中：
①山上x米处的温度是(30-)℃.
②当x=300，1000，5000时，
30-=30-=28.2(℃)；
30-=30-=24(℃)；
30-=30-=0(℃).
因此，当山脚温度为30℃时，山上300米、1000米，5000米处的温度分别为28.2℃，24℃，0℃.
③山上300米处的温度为28.2℃，把t=28.2代入t+273.15，得
t+273.15=28.2+273.15=301.35(K).
因此山上300米处的绝对温度是301.35K.
(2)本题既要总结出实际价值与使用年限的关系，又要推测该机器可以使用多少年，从所给的表格可以看出，每使用一年，实际价值降低0.6万元，那么使用x年实际价值降低0.6x万元，其中：
①y=12-0.6x.
②当x=8时,y=12-0.6×8=7.2(万元)
∴8年后该机器的实际价值为7.2万元.
③当y=3时，有12-0.6x=3.∴x=15.
因此，这台机器可以使用15年.
例12 某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一.
(A)计时制：0.05元/分；(B)包月制：50元(限一部个人住宅电话上网).
此外，每一种上网方式都加收通信费0.02元/分.
（1）某用户某月上网时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
（2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
(分析) (1)计时制每分收费0.05元，每月x小时收费(0.05×60x)元，包月制每月收费50元，每种方式需再加(0.02×60x)元的通信费.
(2)根据两种情况的收费关系式分别求出每月上网20小时的费用，再进行比较.
解：(1)计时制每月收费：
0.05×60x+0.02×60x=3x+1.2x=4.2x(元).
包月制每月收费：
50+0.02×60x=50+1.2x(元).
(2)当x=2O时，4.2x=4.2×20=84(元)；
50+1.2x=50+1.2×20=74(元).
∵84＞74，
∴若一个月上网20小时的话，采用包月制比较合算.
例13 当k= 时，代数式x2-(3kxy+3y2)+xy-8中不含xy项.
(分析) 使代数式不含xy项，也就是xy项的系数为0.先将代数式去括号，然后合并同类项，即x2-(3kxy+3y2)+xy-8=x2-3kxy-3y2+xy-8=x2+(-3k)xy-3y2-8.因为不含xy项，所以-3k=0，∴k=.
学生做一做 (1)有理数a，b，c在数轴上的位置如图15－7所示，化简代数式
；
（2）一个四边形的周长是38cm，已知第一条边的边长为acm，第二条边的边长比第一条边的2倍长3cm，第三条边的边长等于第一、第二两条边长的和，写出表示第四条边的边长的代数式.

老师评一评(1)由a，b，c在数轴上的位置可知，c＜0，a＞0，b＞0，所以=a,=a+b，
=-(c-a)= a-c，=b-c.要把求得的绝对值用括号括起来，原式=a-(a+b)+[-(c-a)]
+(b-c)= a-a-b+a-c+b-c=a-2c.
(2)第一条边的边长为acm，第二条边的边长为(2a+3)cm.第三条边的边长为(a+2a+3)cm，周长减去前三条边的边长就是第四条边的边长.即
38-a-(2a+3)-( a-2a+3)
=38-a-2a-3-a-2a-3
=32-6a.
所以，第四条边的边长为(32-6a)cm.
探索与创新题
本节知识的探索与创新主要包括：（1）探求组合图形中的规律；（2）探索同类项的问题.
例14 如图15-8（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图15-8（2），再分别连接图15-8（2）中间的小三角形三边的中点，得到图15-8（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.

（1）将下表填写完整；
图形编号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
三角形个数
1
5
9

（2）在第n个图形中有 个三角形.(用含n的式子表示)
（分析）依照上述规律，后一个图形总比前一个图形多4个小三角形，所以第四个三角形中有13个三角形，第五个三角形中有17个三角形.即：图15－8(1)中三角形的个数为1，图15－8(2)中三角形的个数为1+4，图15－8(3)中三角形的个数为1+，依次类推，第四个图形中三角形的个数为1+，第五个图形中三角形的个数为1+，因此，第n个图形中三角形的个数为1+4(n-1)=4n-3.
答案：(1)13 17 (2)4n-3
学生做一做 如图15－9所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)枚棋子，每个图案中棋子总数为s，则s与n之间的关系可以表示为 .

老师评一评 由图15－9（1）可知，n=2，s=4；由图15－9(2)可知，n=3，s=4+4=4×2；由图15－9(3)可知，n=4，s=4+4+4=4×3；由团15－9(4)可知，n=5，s=4+4+4+4=4×4，…∴s与n之间的关系可用式子s=4(n-1)表示.
例15 如果一个两位数的个位数字是十位数字的8倍，那么这个两位数一定是18的倍数，为什么？
(分析)先将十位数字或个位数字用字母表示出来，然后将这个两位数用代数式表示出来，再根据代数式作出判断.
解：设这个两位数的十位数字为x,则个位数字为8x，
∴这个两位数为10x+8x=18x.

∴x=1.
∴这个两位数是18，即这个两位数是18的倍数.
例16 有这样一道题：计算(2x4-4x3y-2x2y2)-(x4-2x2y2+y3)+(-x4+4x3y-y3)的值，其中x=，y=-1.甲同学把“x=”错抄成“x=-”，但他计算的结果也是正确的，你说这是为什么？
(分析)这样的问题应先将代数式化简，从化简后的代数式中探求结论.
解：(2x4-4x3y-2x2y2)-(x4-2x2y2+y3)+(-x4+4x3y-y3)
=2x4-4x3y-2x2y2-x4+2x2y2-y3-x4+4x3y-y3
=(2x4-x4-x4)+(-4x3y+4x3y)+(-2x2y2+2x2y2)+(-y3-y3)
=-2y3
由化简后的代数式可以看出，没有含字母x的项存在，所以代数式的值与x的取值无关，因此，尽管甲同学把“x=”错抄成“x=-”，但结果仍是确的.
学生做一做 请写出：
(1)含有a，b，c三个字母，且系数为2的五次单项式；
(2)含有字母x的二次三项式，其一次项系数为-1，二次项系数为2，常数项为-3.
老师评一评 (1)此题是一道开放性试题，分别为2a3bc，2a2b2c，2a2bc2，2ab3c，2ab2c2，2abc3.
(2)此题是惟一答案题，这个二次三项式是2x2-x-3.
易错与疑难题
本节知识的理解与运用常出现的错误包括：(1)列代数式时，审题不细，弄错运算顺序(2)求代数式值时，容易将字母的值代错；(3)单项式的系数容易出错，多项式的重新排列容易出错；(4)去括号时易弄错符号，该加括号时没加括号.
例17 列代数式表示“x的与的差”.
错解：x-x.
(分析)本题出现错解的原因是对题意的理解错误，和“x的与x的的差”混淆.
正解：x-.
例18 当x=-2，y=时，求代数式x2-y2的值.
锗解：当x=-2，y=时，
x2-y2=-22-=-5.
(分析)本题错误有两处，一是x=-2，x2=-22字母表示的负数平方没加括号，二是y=，错在将y=代入y2中时，得，即把字母代入时没有加上括号，写作平方再进行运算.
正解：当x=-2，y=时，x2-y2=(-2)2-()2=4-=3.
例19 (1)代数式上是由几项组成的？系数分别是什么？
(2)单项式-4x的系数是多少？字母指数是几？
错解：(1)认为代数式只有一项，或者系数丢掉分母.
(2)把系数前面的符号丢掉，或者认为x的指数是0
正解：(1)代数式是由于，，三项组成，系数分别是，，.
(2)单项式-4x的系数是-4，指数是1.
例20 已知A=x3-2x2+1，B=2x2-3x-1，求A-B的值.
错解：∵A=x3-2x2+1，B=2x2-3x-1，
∴A-B=x3-2x2+1-2x2-3x-1
=x3-4x2-3x.
(分析)上述错解的原因是：把A=x3-2x2+1，B=2x2-3x-1分别代入A-B时，没有把(x3-2x2+1)和(2x3-3x-1)用括号括上.
正解：∵A=x3-2x2+1，B=2x2-3x-1，
∴A-B=(x3-2x2+1)-(2x2-3x-1)
=x3-2x2+1-2x2+3x+1.
=x3-4x2+3x+2
中考展望 点击中考
中考命题总结与展望
本节知识在近几年的中考中，考题多以填空、选择的形式出现，近年来涉及实际问题的考题也屡见不鲜，以联系实际生活为主，在出现时一般都与其他知识结合构成中高档题.学会用分析、比较、归纳等思维方法去解决问题，其中探索性题和说理性题是今后中考命题的热点.
中考试题预测
例1 (中考预测题)如图15－10(1)所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图15－10(2)所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n次，可以得到 条折痕.

（分析）本题考查的是探索规律并用代数式表示.第一次对折，折痕是（2-1）条，第二次对折，折痕是（4-1）条，第三次对折，折痕是（8-1）条，第四次对折，折痕是（16-1）条，所以对折n次，可以得（2n-1）条折痕.
答案：15 2n-1
例2 (中考预测题)有一块长为a，宽为b的长方形铝片，四角各截去一个相同的边长为x的正方形，折起来做成一个没有盖的盒子，则此盒子的容积V的表达式应该是( )
A.V=x2(a-x)(b-x) B.V=x(a-x)(b-x)
C.V=x(a-2x)(b-2x) D.V=x(a-2x)(b-2x)
(分析)盒子的长为(a-2x)，宽为(b-2x)，高为x，所以盒子的容积为x(a-2x)(b-2x).故正确答案为D项.
例3 (中考预测题)张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸，以每份0.5元的价格售出了b份报纸，剩余的报纸以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯卖报收入 元.
(分析)此题是对本节列代数式、去括号、合并同类项等知识的综合考查，根据题意可知，张大伯购进报纸用了0.4a元，售出去b份得0.5b元，剩余退回0.2(a-b)元，所以张大伯的收入为0.5b-0.4a+0.2(a-b)=(0.3b-0.2a)元.
答案：0.3b-0.2a
例4 (中考预测题)A和B两家公司都准备从社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司年薪10000元，每年加工龄工资200元；B公司半年薪5000元，每半年加工龄工资50元，从经济收入的角度考虑的话，选择哪家公司有利？
(分析)，第n年在A公司的经济收入为10000+(n-1)·200；第n年在B公司的收入，上半年收入是5000+(n-1)·10O，下半年收入是500O(n-1)·10O+5O.
解：第n年在A公司的收入：10000+200(n-1)；
第n年在B公司的收入：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1).
而[10000+200(n-1)]-[10050+200(n-1)]=-50＜0，
所以选择B公司有利.
【说明】 此题运用了字母表示数、去括号法则、合并同类项等知识，在计算时把(n-1)看作一项，计算更简便，因此在解题时要注意分析，不要遇见括号就去掉，要结合题的特点，选择简便易行的方法.另外，在比较两个量大小时，不妨将这两个量作差试一试，根据具体的差值对事作作出判断或决定，提高应用数学的意识.
例5 下列算式是一次式的是( )
A.8 B.4s+3t C.ah D.
(分析)本题中一次式有两种情况：一是一次单项式，二是一次多项式，故正确答案是B项.
例6 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
(分析)求甲、乙两人的速度比，可以设甲、乙两人的速度分别为V甲，V乙.
由题意可知， 其中s表示两地之间的距离，
解得 ∴V甲∶V乙=∶=.
∴V甲=V乙，∴甲的速度是乙的速度的倍.
答案：C
例7 用代数式表示“2a与3的和”为 .
(分析) 本题考查列代数式.
答案：2a+3
例8 （2004·吉林）某种树木的分枝生长规律如图15－11所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为 .

年 份
分枝数
第1年
1
第2年
1
第3年
2
第4年
3
第5年
5
(分析)由图表反映出的规律可知，从第3年开始，每一年树木分枝数都等于相邻前两年树木分枝数的和，即2=1+1，3=2+1，5=3+2，所以第6年树木分枝数等于第5年树木分枝数与第4年树木分枝数的和，即5+3=8.
答案：8
例9 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图15－12（1）所示；第2次把第1次铺的完全围起来，如图15－12(2)所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图15－12（3）所示……依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为 .

（分析）由图15－12可知，当n=1时，木块数为2；当n=2时，所使用木块数为10；当n=3时，所使用木块数为18……可列下表：
次 数
1
2
3
4
5
…
木块数
2
10
18
26
34
…
由上表发现，后面每次镶嵌的木块数都比前一次增加8块，即第n次嵌镶的木块数为2+8(n-1)=8n-6(块).
答案：（8n-6）块
例10 如果代数式4y2-2y+5的值为7，那么代数式2y2-y+1的值等于( )
A.2 B.3 C.-2 D.4
(分析) 想求y的值由已知条件就目前的知识水平来说是比较困难的，但是仔细观察就会发现，只要把2y2-y+1适当变形即可求出它的值.因为4y2-2y+5的值为7，所以4y2-2y+5=7.∴4y2-2y=2.∴2y2-y+1=(4y2-2y)+1=×2+1=2.
答案：A
小结 在求代数式的值时，有时可以给出相应的字母，直接求值；但有时不能求出字母的值或很困难求出字母的值，就需要仔细观察题目中的已知和未知的关系，巧妙灵活地解决问题.
例11 用代数式表示“2a与3的差”为( )
A.2a-3 B.3-2 a C.2(a-3) D.2(3- a)
答案：A
例12 下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2004个数是( )
A.22004 B.22004-1 C.22003 D.以上答案均不对
答案:C
例13 当a=-1时，代数式(a+1)2+ a(a+3)的值等于( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
(分析) 本题主要考查求代数式的值，只需把a=-1代入即可.
答案：B
例14 图15－13是某花圃摆放的一组花盆图案（“○”表示红花花盆，“×”表示黄花花盆）.

观察图形并探索：在第n个图案中，红花和黄花盆数分别为 .
(分析)本题是探索规律问题，由国15－13可以归纳成以下表格.
图 案
n=1
n=2
n=3
n=4
…
红花盆数
1
4
9
16
…
黄花盆数
4
8
12
16
…
由上表可知，红花盆数是图案个数的平方，黄花盆数是图案个数的4倍，因此，在第n个图案中，红花和黄花的盆数分别是n2和4n.
答案：n2和4n
例15 若=，则= .
(分析) 本题考查求代数式的值，但题中没有给出a，b的具体值，因此解题方法要灵活.一种方法是求a，b两者的关系，利用比例性质，原式化成(a+b)∶b=8∶5，则8b=5(a+b)，∴5a=3b，∴=；另一种方法是对已知式子变形，∵=,∴+1=,∴=.
答案：
例16 观察下列各等式：
9-1=8
16-4=12
25-9=16
36-16=20
……
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 .
(分析) 这是一个探求规律的问题，原等式可化为：
32-12=4×2
42-22=4×3
52-32=4×4
62-42=4×5
……
所以，用关于n的等式表示这个规律为(n+2)2-n2=4(n+1).
答案：(n+2)2-n2=4(n+1)
例17 有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3……第n个数记为an，若a1=-，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数.试求a2，a3，a4的值，并推断a2003，a2004的值，写出推断过程.
(分析) 本题既是一道有理数的计算题，又是一道探索规律的问题.
解：由题意可知，a1=-，
∴a2==,
a3==3,
a4==-.
由以上计算结果看出，a1与a4的值相同，即每相差3个数重复，第n个数，若n能被3整除，an的值与a3的值相同；余数是2，an值与a2值相同；余数是1，an值与a1值相同.
∴2003÷3=667……2,∴a2003=a2=，
而2004÷3=668，∴a2004=a3=3，
∴a2=，a3=3，a4=-，a2003=，a2004=3.
例18 已知9×1+0=9，9×2+1=19，9×3+2=29，9×4+3=39，…，根据前面式子构成的规律，写出第6个式子是 .
(分析) 本题主要考查探索规律和用字母表示规律中的数，由上述式子构成的规律可以发现规律是：第n个式子是9×n+(n-1)=10n-1.当n=6时，9×6+5=59，即为第6个式子.
答案：9×6+5=5

自我评价 知识巩固
1.a是三位数，b是一位数，如果把b放在a的左边，那么组成的四位数应表示为( )
A.ba B.100b+a C.10b+a D.1000b+a
2.将2(x+y)-3(x-y)-4(x+y)+5(x-y)-3(x-y)合并同类项得( )
A.-3x-y B.-2(x+y) C.-x+y D.-2(x+y)-(x-y)
3.若-4x2y和-23xmyn是同类项，则m，n的值分别是( )
A.m=2,n=1 B.m=2,n=0 C.m=4,n=1 D.m=4，n=0
4.下列各式合并同类项结果正确的是( )
A.4x2-x2=4 B.6a2-5a2= a2 C.3a2-a2=2a D.3x2+5x3=8x5
5.下列各式中，去括号正确的是( )
A.x2-(2y-x+z)=x2-2y2-x+z B.3a-[6a-(4a-1)]=3a-6a-4a+1
C.2a+(-6x+4y-2)=2a-6x+4y-2 D.-(2x2-y)+(z-1)=-2x2-y-z-1
6.如果a＜0，ab＜0，那么+1+a–b-3的值等于( )
A.2 B.-2 C.-2a+2b+4 D.2a-2b-4
7.已知一组数：1，，，，，…，用代数式表示第n个数为 .
8.鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头 个，脚 个.
9.在代数式-x2+8x-5+x2+6x+2中，-x2和 是同类项，8x和 是同类项，2和 是同类项.
10.若3x2-2x+b+(-x-bx+1)中不存在含x的项，则b= .
11.若+(b-2)2=0，A=3a2-6ab+b2，B=-a2-5，求A-B的值.
12.试说明：无论x,y取何值时，代数式(x3+3x2y-5xy+6y3)+(y3+2xy2+x2y-2x3)-(4x2y-x3-
3xy2+7y3)的值是常数.
13.一根弹簧，原来的长度为8厘米，当弹簧受到拉力F时(F在一定范围内),弹簧的长度用l表示，测得有关数据如下表：
拉力F/千克
1
2
3
4
…
弹簧的长度l/厘米
8+0.5
8+1.0
8+1.5
8+2.0
…
(1)写出用拉力F表示弹簧的长度l的公式