八年级数学 第三章 图形的平移与旋转综合解说-北师大版.doc

八年级数学 第三章 图形的平移与旋转综合解说
学习目标
1． 经历观察、操作、欣赏和设计的过程，从事图形平移、旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观念，逐步培养操作技能，不断增强审美意识。
　　2. 通过具体实例认识平移和旋转，理解平移、旋转的基本性质，并能作出简单平面图形平移、旋转后的图形。
　　3. 探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用。
　　4. 对生活中的变换现象进行观察、分析、抽象和概括，使同学们全面了解图形平移、旋转及轴对称的关系，为以后在图形变换方面的发展提供较为厚实的基础。
5. 能够运用平移、旋转、轴对称及其组合进行图案设计。
学法建议
　　如同轴对称一样，平移、旋转是现实生活中广泛存在的一种现象，是现实世界运动变化的最简洁形式之一。它不仅是探索图形的一些性质，认识、描述物体的形状和空间位置关系的必要手段之一，而且也是解决现实世界中的具体问题，进行数学交流的重要工具。
本章既不同于 “变换几何”中的平移、旋转变换，也不是简单的平移、旋转现象欣赏。而是先通过观察平移、旋转现象，分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质，然后在平移、旋转的图案设计、欣赏和简单的应用中，进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识。
在本章的学习中，应注意对知识技能的理解和应用。在具体情境中识别平移、旋转现象，而不是死记概念；利用平移、旋转的基本性质解释生活中的有关现象，真正理解和掌握有关图形平移、旋转的基本性质；在具体的操作中展现自我创新水平与创新意识。
1. 生活中的平移
教材分析
1. 学习目标与要求
（1）经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索图形平移基本性质的过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
　　（2）通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等、对应线段和对应角分别相等的性质。
(3)会将一个图形按要求进行平移。
（4）会识别图形是以什么方式将某个基本图形而得。
2.新知识点全解
⑴平移概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。
注：①这里从整体的角度刻画了平移的关键特征，“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离”，同时，“平移不改变图形的形状和大小”作为“概念”的重要补充，也从平移的结果上刻画了平移的特征。
②注意识别平移前后的对应点、对应险段、对应角、对应点所连的险段。
③平移的两个元素：平移方向、平移距离。
⑵平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
例如图所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。
解：如图3-1-1，△ABC平移到△DEF，△ABC的大小、形状不变，其中Ａ与Ｄ，Ｂ与Ｅ，Ｃ与Ｆ分别是一对对应点；线段ＡＢ与ＤＥ、ＢＣ与ＦＥ、ＡＣ与ＤＦ分别是一对对应线段，∠Ａ与∠Ｄ、∠Ｂ与∠Ｅ、∠Ｃ与∠Ｆ分别是一对对应角。线段ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是对应点所连的线段。
　　由性质可得：ＡＢＤＥ，ＢＣＥＦ，ＡＣＤＦ，ＡＤＢＥＣＦ。即△ABC≌△DEF。

课内问题研究
P58问题解答
（1）你能发现传送带上的电视机、手扶电梯上的人在平移前后什么没有改变，什么发生了改变吗？
（2）在传送带上，如果电视机的某一按键向前移动了80cm，那么电视机的其它部位（如屏幕左上角的图标）向什么方向移动？移动了多少距离？
（3）如果把移动前后的同一台电视机屏幕分别记为四边形和四边形（多媒体演示书上第58页的图3-2），那么四边形与四边形的形状、大小是否相同？
答：⑴传送带上的电视机的形状、大小在运动前后没有变化；手扶电梯上的人的形状、大小在运动前后也没有变化。传送带上的电视机、手扶电梯上的人在两个不同时刻之间的位置关系均为平移。
⑵电视机的其他部位也向前移动，移动了80cm。
⑶四边形ABCD与四边形EFGH的形状、大小相同，移动前后的图形是全等形。
P59想一想
(1)在图3-2中，线段AE，BF，CG，DH有怎样的位置关系？
（2）图3-2中每对对应线段之间有怎样的位置关系？
（3）图3-2中有哪些相等的线段、相等的角？
答：⑴线段AE,BF,CG,DH互相平行
⑵每对对应线段彼此平行
⑶在图3-2中，除线段AE,BF,CG,DH彼此相等外，线段AD与EF、BC与FG、AB与EF、DC与HG分别相等，∠ABC与∠EFG、∠ADC与∠EHG、∠BAD与∠FEH、∠BCD与∠FGH分别相等。
典型例题讲解
例1.多元方格连是指有许多小方格（小正方形）组成的图形，它要求每相邻两个小方格的边完全重合。二元方格连只有1种形式，如图3-1-2（1）。三元方格连有两种形式，如图3-1-2（2）、（3）。试分析每一种图案是如何形成的？并画出四元方格连的所有形式。

（1） （2） （3）
图3-1-2
解：图（1）的二元格是将左边小正方形沿一条边向右平移了边长长度的距离后得到的；
图（2）的三元方格连是将左边小正方形沿一条边向右分别平移边长的长度和2倍边的长度的距离后得到的；右图是将右下角的小正方形沿一条边向左平移一边的长度、沿另一条边向上平移一边的长度距离后得到的。（注：平移方式不唯一，如三元方格连可以看作是由任何一个小正方形通过平移得到。）
四元方格连共有以下5种形式：

（1）
（2） （3）

（4） （5）
图3-1-3
跟踪练习1：（2004年济南市中考试题）图3-1-4
在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如右图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式（ ）．

例2：如图3-1-5，（1）你能从中找出哪些图形可以从图形A通过平移得到？并说出这些图形是如何平移得到的；（2）哪些图形可以从图形B通过平移得到？并说出这些图形是如何平移得到的；（3）哪些图形可以从图形C通过平移得到？

解：（1）图中由图形A通过平移得到的只有一个，图形A向左平移4个单位得到。
（2）图中由图形B通过平移得到的共有三个，图形B分别向右、向下平移4个单位得到2个图形，把图形B向右下方平移还有一个图形，正好在向右平移所得图形的下方4个单位。
（3）图中没有由图形C通过平移得到的图形。
跟踪练习2：观察下面图案，在 A、B、C、D 四幅图案中，能通过图案（1）的平移得到的是（ ）
图3-1-6
例3：如图3-1-7所示，电脑显示屏上的鼠标1沿XY的方向平移一定距离后得到鼠标2，找出图中平行且相等的三条线段，两个相等的角和一组全等三角形。

解：图中A、B、C、D、E、的对应点分别为A1、B1、C1、D1、E1、，平移后对应点所连线段平行，所以AA1∥BB1∥CC1 ，AA1=BB1=CC1 ，∠BAC=∠B1A1C1 ，∠ABC=∠A1B1C1 ，△BAC≌△B1A1C1等。
另外，AB和A1B1是对应线段，同样有AB∥A1B1 ，AB=A1B1 。
跟踪练习3：如图3-1-7，是将沿箭头方向平移一定距离而得，试求出图中平行且相等的线段和一组全等的三角形。

例4：如图3-1-9，将△ABC在图中平移，（平移时△ABC的三个顶点一定落在图中的格点上），最多能平移几次？

解：能平移三次。具体做法如图3-1-10，平移所得的是△A′B′C′，△A″B″C″，△A"′B"′C"′。
跟踪练习4：如图3-1-11，图中由△ABC平移而得到的三角形共有多少个？如果照这个图沿AB、AC方向延伸平移下去，第n排有多少个平移而得到的三角形？

过关练习精选
1填空题
（1）在平面内，将一个图形，沿 移动一定的 ，这样的图形 叫平移。平移不改变图形的 和 。
(2) 平移的基本性质是：经过平移，对应 和对应 分别相等，对应点所连的线段 且 。
（3）将3cm长的线段AB，向下平移4.5cm后得到线段CD，则CD的长度为 cm。
（4）若∠ABC=63º，将∠ABC向左平移10cm后得到∠A′B′C′，则∠A′B′C′= 。
（5）将面积为12cm2的等腰直角三角形向右上方平移20cm，得到△MNP，则△MNP是 三角形，它的面积是 cm2 .
（6）将图形A向右平移3个单位得到图形B，再将图形B向左平移5个单位得到图形C。如果直接将图形A平移到图形C，则平移方向为 ，平移距离为 。
2.选择题
（1）在图3-1-12中，是由（1）仅经过平移得到的是（ ）

（2）如图3-1-13，下列哪一项的右边图形是由左边图形平移而得到的（ ）

（3）下列说法正确的是（ ）
A．若△ABC≌△DEF，则△ABC可以看作是由△DEF平移得到的
B．若∠A=∠B，则∠A可以看作是由∠B平移得到的
C．若∠A经过平移后为∠A′，则∠A=∠A′
D．若线段a∥b，则线段a可以看作是由线段b平移得到的
3. 如图3-1-14, ∠ABC是∠O经过平移而得到的角，若∠O=65º，则∠ABC等于多少度？

4．如图3-1-15，能由△ABO平移而得到的图形是哪个？

5．如图3-1-16，四边形ABCD是矩形，AE=DF
（1）△DCF能看作是由△ABE平移而得到的吗？
（2）四边形EBCF是平行四边形吗？请说说你的理由？

能力升华•新中考指向标
1．在纸上任意画一个平行四边形，然后将此平行四边形沿着南偏东30º的方向平移6cm，画出平移后的平行四边形。
2．如图3-1-17，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,AD<BC。画出线段AB平移后的线段，其平移方向为射线AD方向，平移的距离为线段AD的长。平移后的线段与BC相交于点E，线段DE与线段DC相等吗？∠DEC与∠C相等吗？∠B与∠C相等吗？试说明理由。

3（2005年山东省中考试题）如图3-1-18平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（ ）
A．1条 B.2条
C．3条 D.4条

答案与提示
例题跟踪练习
1．C
2.C可由（1）平移得到
3.ABEF，ACEG，AE BF，AE CG，△ABC≌△EFG
4．9个；n个
过关练习精选

1．（1）某个方向，距离，运动，形状，大小；
（2）线段，角，平行且相等；
（3）3； （4）63º
（5）等腰，12； （6）向左，2个单位
2．（1）C；（2）B；（3）C
3．65º
4．△FOE和△OCD
5．（1）△DCF是由△ABE平移而得；说理：由矩形ABCD可得：①AB=CD，②∠A=∠FDC=90º，③AE=DC。所以△ABE≌△DCF，所以△DCF可看作△ABE向右平移BC长个单位而得。
（2）四边形EBCF是平行四边形
说明：∵△ABE≌△DCF ∴BE=CF
又 ∵AE=DF ∴BC=AD=EF
∴四边形EBCF是平行四边形
能力升华•新中考指向标
1.

2．DE是线段AB平移后的线段，所以DE=AB，而已知AB=CD，所以DE=DC。同理可得，∠DEC=∠B，而由DE=DC，所以∠DEC=∠C，所以可推出∠B=∠C。
3．B
课本习题解答
P60随堂练习
1．∠DEF与∠ABC是平移过程中的对应角，∠DEF=33º。
2．图案（3）可以通过图案（1）平移得到。
P60习题3.1

1．生活中平移的例子很多，如急刹车时汽车的运动，桌面上沿某一方向拖动的物体的运动等。
2．图中的任意两个图案之间都是平移关系。
3．首先找到小船的几个关键点向左平移4格后的位置，然后连接相应的点，形成相应的图形即可。图（略）
P61试一试

1．在同一行中，同种颜色的小鱼图案彼此之间是平移关系。

2．简单的平移作图
教材分析
1．学习目标与要求
（1）经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识。
（2）能按要求作出简单平移后的图形，能够探索图形之间的平移关系。
（3）从所给图形中，能分析归纳图形是怎样平移而成的。
2.新知识点全解
（1）线段、角、三角形的平移是最简单的平移问题，其中关键条件是平移的方向和长度。即确定一个图形平移的位置，除需要原来的位置外，关键条件是平移的方向和距离。
（2）在一个通过平移得到的复合图案中，探索图案之间的平移关系，首先要确定“基本图案”，再研究其它图案是由“基本图案”通过怎样的平移而得到的。“基本图案”可以是一个图形，也可以是由几个图形组成的一个组合图形。
（3）平移作图的方法步骤
①分析题目要求，找出平移的方向和平移的距离。
②分析要平移的图形，找出构成图形的几个关键点。
③沿平移方向、按平移距离平移各个关键点。
④连接所作的各个关键点，并标上相应字母，写出结论。
3．课内问题研究
P62如图，经过平移，线段AB的端点A移到了点D，你能作出线段AB平移后的图形吗？与同伴交流.

答：本问题实际上是平移基本性质的应用。连接线段AD，过点B作线段BC与线段AD平行且相等。
P63议一议
（1）本题还有没有其他方法作出如图所示的△DEF呢？
答：①过点D分别作出与AB、AC平行且相等的线段DE、DF，连接EF，则△DEF就是所要求作的三角形.
②过点B作BE∥AD且BE=AD，然后分别以D、E为圆心，以线段AC、BC的长为半径画弧 ，两弧交于F点，连结EF、DF，则△DEF就是所要求作的三角形.……
（2）确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要什么条件？
答：确定一个图形平移后的位置的条件：
(1)图形原来所在的位置.
(2)图形平移的方向.
(3)图形平移的距离.
P65问题解答
观察图案，并回答
(1)这个图案有什么特点？
(2)它可以通过什么“基本图案”经过怎样的平移而形成？
(3)在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？
答：这个图案既可以把一只小狗看做“基本图案”进行平移得到，又可以把两只小狗、三只小狗看做“基本图案”进行平移得到整个图案，在这些平移过程中，只是平移的距离不同而已.
P65做一做
在下图中，左图是一个正六边形，它经过怎样的平移能得到右图？
自己动手做做看，你能得到右图的图案吗？

答：连续平移左图可以得到右图
P65议一议
(1)在图(课本P64的图3—10)中，左图是一种“工”字形的砖，右图是怎样通过左图得到的？
(2)图(课本P65的图3—11)可以看做什么“基本图案”通过平移得到的？
答：（1）先把左图沿上下方向平移，再沿左右方向平移便可得到右图；先把左图沿左右方向平移，再沿左右上下方向平移便可得到右图
（2）如果把相邻的两只不同颜色的天鹅看作一个组合，那么“基本图案”可以是一个组合、两个组合……直到上下两行的所有天鹅。
典型例题讲解
例1.如图3-2-1,经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点A1，作出平移后的四边形

解：过B、C、D分别作线段BB1、CC1、DD1 ，使BB1∥AA1、CC1∥AA1、DD1∥AA1且BB1=AA1、CC1=AA1、DD1=AA1。连接A1B1 、B1C1 、C1D1 、D1A1 ，则四边形A1B1C1D1即为四边形ABCD平移后的图形，如图3-2-2

说明：①作图方法根据“经过平移，对应点所连的线段平行且相等”。A1点与A点的位置确定了平移的方向和长度，B、C、D点随之也可确定平移后的位置B1、C1、D1，从而可顺次连接成四边形A1B1C1D1 。
②本题也可以根据“经过平移，对应线段平行且相等”作图。即A1过作线段A1B1，使A1B1平行且等于线段AB，再B1过作线段B1C1，使B1C1平行且等于线段BC，依次再作线段C1D1，使C1D1与线段CD平行且相等，最后连接线段D1A1，则四边形A1B1C1D1，就是四边形ABCD平移后的四边形。
跟踪练习1：如图3-2-3，作出图中的平行四边形ABCD的平移图形，使得点A移动到点E的位置。

例2．如图3-2-4，已知△ABC中，线段DE是△ABC平移后边AB的对应线段。请作出平移后的△DEF。请试着用多种方法求解。

（点拨）1.可以按照例1的方法，连接AD，求作C点的对应点F，即可完成此题。
2. 可以运用平移运动中对应险段相等，以及平移运动不该变图形的大小和形状的性质，利用D、E两点求作出点F。
3. 可以运用平移运动中对应险段平行或共线的隐含性质，利用D、E两点求作出点F。
解：方法一：如图3-2-5（1）所示
方法二：如图3-2-5（2），分别以D、E为圆心，以AB、BC的长度为半径，在线段DE的右侧作弧（与原图行保持一致），两弧交点即为点F（SSS全等三角形的作法），后面步骤同前。
方法三：如图3-2-5（3），过点D、E分别作DF、EF平行于AC、BC，两条射线交于F点，后面步骤同前。

跟踪练习2：将如图3-2-6所示的字母W按箭头所指的方向平移5cm，并指出其中的关键点。

例3：在图3-2-7所示的方格纸中，将图中“小房子”向右平移5个单位长度。

〔点拨〕平移方向、平移距离都为已知，只要将构成小房子的7个关键点分别进行平移即可。但应注意关键点与对应点距离为5个单位长度，而不是原图形的最右点与所作图形的最左点相差5个单位长度。
解法作图（略）
跟踪练习3：如图3-2-8，方格纸中的图形经过平移，点D到点D′.请你作出平移后的图形。

例4.如图3-2-9，在△ABC中，E、F分别为AB、AC边的点，且EF∥BC。将线段EB平移，E点移到了F点。(1)作出平移后的线段FG；（2）∠FGC=∠B吗？请说明理由。

〔点拨〕因为EF∥BC，当点E平移到点F，B点在线段BC上移动至点G，则FG∥EB，所以FG为EB的平移图形。
解：（1）如图3-2-10，FG为EB的平移图形；
（2）因为FG为EB的平移图形，点G在BC上，故FG∥EB，所以∠FGC=∠B。（两直线平行，同位角相等）。
跟踪练习4：如图3-2-11将△ABC平移，使顶点A与B重合，作出平移后的三角形，你会从中发现哪些相等的线段、相等的角。

过关练习精选
1. 填空题
(1)确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要平移的 和平移的 。
（2）如图3-2-12，已知线段AB和端点A平移到位置点C，作出线段AB平移后的图形。

作法（1）：连接AC，再过点B作线段BD，使BD满足 和 ，连接CD，则CD为所作的图形。
作法（2）：过点C作线段CD，使CD满足条件 和 ，则CD为所作的图形。
（3）如图3-2-13五边形ABCDE，经过平移以后，五边形ABCDE的顶点A移到了点F，则平移后的图形为 边形，平移后的图形与原图形的关系是 。

2.如图3-2-14将△ABC的顶点B沿BC方向平移到点C，作出平移后的三角形，并找出其中相等的线段、相等的角。

3.如图3-2-15，观察图中的五角星组成的图案，他们都是平移得到的吗？说明理由。

4.如图3-2-16，左边是一个“T”字型的砖，右图是怎样通过左图得到的？

能力升华•新中考指向标
1.如图3-2-17，正方形ABCD中，点E为AD上一点，连接EB，将△AEB平移，将点A移到点D，试作出平移后的图形，并找出其中全等的三角形。

2.如图3-2-18，△DEF是△ABC沿BC方向平移后的图形，判断S四边形ABEG与S四边形FCGD的大小关系，并说明理由。

答案与提示
跟踪练习
1.图3-2-19

2. 图3-2-20

3.(略)
4.（略）
过关练习精选
1.(1)方向，距离；
（2）BD∥AC,BD=AC;CD∥AB,CD=AB;
(3)五,全等（能够完全重合）
2. 图3-2-21△A′B′C′为△ABC平移后的图形
相等的线段：A′C=AB,A′C′=AC,BC=CC′.
相等的角：∠B=∠A′CC′, ∠A=∠A′, ∠ACB=∠A′C′C

3.都是由平移得到的。可以看作是由中间的五角星向外面五个五星所在的位置和方向分别平移得到的。
4.先把“T”字型图案向上下平移，得到一个图案组合，然后再左右平移得到右图案。
能力升华•新中考指向标
1.平移前后如图3-2-22所示：△ABE≌△DCE′

3. S四边形ABEG=S四边形FCGD ；∵平移前后S△DEF=S△ABC ，根据等量减等量差相等，可得
S△DEF-S△GEC= S△ABC-S△GEC即S四边形ABEG=S四边形FCGD 。
课本习题解答
P63随堂练习
1. 按照例题的方法，只要确定四个关键点平移后的位置，即可以作出符合要求的图形。
P64习题3.2
1.连接BD，过点C(按照射线DB的方向)作出与BD平行且相等的线段CA，连接AB即可。
2. 有多种作法
方法一：分别过点E，F，作出鱼AC,BC平行的射线EG,FG,两条射线相交于点G。△EFG就是要求作的三角形。
方法二：同作法一的思路，作与△ABC全等的△EFG，分别以点E,F为圆心，以线段AC,BC的长为半径画圆弧，得到点G的位置。
方法三：连接线段AE，过点C按照射线AE的方向作射线CG，使CG∥AE,并截取CG=AE,则连接点E,F,G所得的△EFG就是所求作的三角形。
3. 按照线段AF的方向和长度，分别确定五边形的其他几个顶点平移后的位置，按原来的方式连接相应各点，涂上适当的颜色，所得的图形即符合要求。
P64试一试
1.分别确定矩形的四个顶点、半圆的圆心、半圆与斜线的两个交点向左平移6格后的位置，画半圆（以“圆心”平移后的位置为圆心、以6个格的边长为直径）连线即可。
P66随堂练习
1.在不考虑图案颜色的前提下，五个环之间可以通过平移而相互得到。
2.可以得到类似于课本图3-9右图的图案
P66习题3.3
1. 如将通常的一大块花布铺平，它上面的图案可以看作由一个图案通过不断平移得到的。
2. 答案是多种多样的，只要合理就可以。（略）

3．生活中的旋转
教材分析
1．学习目标与要求
（1）经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏，以及动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，不断增强对图形审美意识。
（2）通过具体的实例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质。
（3）能进行钟表旋转中的简单的旋转角度的计算。
2.新知识点全解
（1）旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转(circumrotate).这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.，旋转不改变图形的大小和形状。
注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方向（顺时针或逆时针）转动相同的角度。同时，与平移的情况类似，“旋转不改变图形的大小和形状”是对旋转定义的补充。.
（2）旋转角的概念：一个图形在旋转前后，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
（3）旋转的性质：
①旋转前后，两个图形的对应点到旋转中心的距离相等.
②对应点与旋转中心的连线所成的旋转角彼此相等。
③旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，旋转不改变图形的大小和形状。
（4）钟表的分针匀速旋转一周需要60分，旋转的度数为360º，所以钟表的分针每分钟转过6º的角，时针每分钟转过（）º的角。
（5）主要题型
①判断一种或几种运动是否为旋转
②一个基本图形绕旋转中心旋转若干次，围成一个圆周，求旋转角。
3．课内问题探究
P67钟表、汽车方向盘、辘轳或电脑演示：钟表指针的转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景
(1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？
(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？汽车方向盘的转动呢？
答：（1）上面情景中的转动现象，都可以看作某个物体绕一个固定点沿某个方向转动一个角度
（2）钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小没有发生改变，其位置在转动过程中发生了改变；汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置有所变化.
P67议一议
如图3-3-1所示，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF，在这个旋转过程中：

(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
(3)AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？
(4)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？
答：如图，如果把钟表的指针看作四边形AOBC，它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中：
(1)旋转中心是点O，∠AOD、∠BOE、∠COF等都是旋转角。
(2)经过旋转，点A、B分别移动到点D和点E的位置。
(3)线段AO与DO，BO与EO分别相等。
(4)∠AOD=∠BOE
P68做一做
在图3-3-2中，正方形ABCD与正方形EFGH边长相等，这个图案可以看作是哪个“基本图案”通过旋转得到的．

答：可以看作是正方形ABCD绕点O旋转45º前后的图形 共同组沉某个的共同组成的；也可以看作是△ABC绕点O分别旋转45º,90º, 135º, 180º, 225º前后的所有图形共同组成的；还可以看作是△AOB绕点O分别旋转45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º前后的所有图形共同组成的。
典型例题讲解
例1.你知道香港特别行政区的区徽吗？它是由五个同样的花瓣组成的，它可以看作是一片花瓣通过怎样的旋转得到的？
〔点拨〕五片相同的花瓣围成一周（360º）,每一瓣占360º÷5=72°。
解：可以看成一片花瓣绕中心顺时针旋转4次形成的，旋转角分别是72°, 144°, 216°, 288°。
跟踪练习1:如图3-3-3，转动的圆盘上标有“a,b,c,d,e,f”六个等格。
（1）如果转盘顺时针旋转，字母a代表的区域旋转 度时，才能转到字母c代表的区域，字母c代表的区域旋转 度时，才能转到字f代表的区域。
（2）如果转盘逆时针旋转，字母f代表的区域旋转 度时，才能转到字母d代表的区域。

例2．钟表的分针旋转一周需要60分钟，时针旋转一周需要12小时，秒针旋转一周需要60秒。求（1）经过1小时，时针、分针、秒针各旋转了多少度？（2）经过1800秒，时针、分针、秒针各旋转了多少度？
解：（1）时针旋转的角度为360º×＝30º
分针旋转的角度为360º×1=360º
秒针旋转的角度为360º×60=21600º
(2)时针旋转的角度为360º×=15º
分针旋转的角度为360º×＝180º
秒针旋转的角度为360º×=10800º
跟踪练习2:在25分钟内，分针转了 度。
例3:如图3-3-4所示的图案，它可以看成是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得到的？

解：图案是以一个叶片和柄为“基本图案”，通过连续3次旋转而形成的，旋转角度分别等于90°,180°,270°。
跟踪练习3:如图3-3-5，它可以看成是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得到的？

例4:如图3-3-6，矩形ABCD中，AC为对角线，O为AC的中点，△ADC是否可由△CBA旋转而得到？若不能，说明其理由；若能，请指出旋转中心，旋转角度是多少度？

〔点拨〕△ADC≌△CBA，因此△ADC可看作△CBA绕点O旋转180º而得到。
解：∵△ADC≌△CBA（SSS）。将△CBA绕点O旋转180°后△CBA与△ADC重合，因此△ADC
可由△CBA旋转而得到，旋转角度为180º。
跟踪练习4:如图3-3-7，AC、BD相交于点O，且△AOB≌△COD,则△ADC至少绕中心点
旋转 度，就可以与△COD重合。

例5.2002年世界数学大会（ICM-2002）在北京召开，此界大会的会标的中央图案是经过艺术处理的“弦图”，如图3-3-8所示，它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。试分析图中图案的形成过程。

〔点拨〕由于4个直角三角形的斜边构成一个大正方形，因而可把一个直角三角形看作是一个“基本图案”，3次旋转“基本图案”而得。
解：把一个直角三角形看作是一个“基本图案”，绕大正方形的中心点，将它顺次旋转90°, 180°, 270°而得。
跟踪练习5:观察图3-3-9，它可以看作一个菱形通过几次旋转而得到的？
每次旋转了多少度？

过关练习精选
1. 填空题
（1）在平面内，将一个图形绕 ，沿 转动 ，这种图形运动叫做旋转。
（2）旋转过程中，每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转 角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于 角，对应点到 的距离相等。
（3）如图3-3-10所示,△ABC和△CDE都是等边三角形，则图中的三角形 和 可以通过旋转而相互得到，旋转角为 。

（4）如图3-3-11，将正方形ABCD绕着点C沿顺时针方向旋转90°后，与D点重合的点是 。
(5)一个正方形至少需转 度的角才能和原正方形重合。
（6）将一个等腰直角三角形绕着直角顶点顺次旋转90°, 180°, 270°而得到的图形是 。
（7）在你所学过的大写字母中，通过旋转180°可以与本身重合的字母有 ，通过适当的旋转可以互相重合的字母有 。
（8）一个正三角形至少绕其中心旋转 度，就能与其自身重合，一个正六边形至少绕其中心旋转 度，就能与其自身重合。
（9）如图3-3-12，可以看作由一个三角形通过 次旋转而得到的，每次分别旋转了 度.

2.选择题
（1）将左边图形按顺时针方向旋转900后的图形是( )

（2）如图3-3-14，下列图形中，是由一个矩形沿顺时针方向旋转90°后形成的图形是（ ）

A.(1)(4) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(2)(4)

3.如图3-3-15所示，△ABC绕点C旋转，得到△CDE。
（1）旋转中心和旋转角分别是什么？
(2)经过旋转，点A和点B分别移到了什么位置？
（3）旋转后，三角形的形状、大小是否发生了改变？为什么？

4．如图3-3-16，图中的甲图案是经过怎样的变化变成乙图案的？

5.已知正方形ABCD和正方形OEFG的位置如图3-3-17(1)所示，且它们的边长均为2cm，OE、OG分别与对角线的一半OB、OC重合，则(1)中的重合面积是多少？若正方形OEFG绕点O顺时针旋转一个角度α，则得到如图(2)所示图形，则(2)中阴影部分的面积又是多少？请给予合理的解释。

能力升华•新中考指向标
1.如图3-3-18所示，如果四边形CDEF旋转一定的度数以后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点有 个。

2. 如图3-3-19，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与
△ACP′重合，如果AP＝3cm,求PP′的长。

3.(2004年甘肃省中考试题)某产品的标志图案如图3-3-20中的图（1）所示，要在所给的图像（图2）中，把A、B、C三个菱形通过一种或几种变换，使之成为与图（1）一样的图案.
（1）请你在图（2）中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）；
（2）你所用的变换方法是________________________________________________.
（在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己话表述）
①将菱形B向上平移；
②将菱形B绕点O旋转120°；
③将菱形B绕点O旋转180°.

答案与提示
跟踪练习
1.(1)240°；180° (2)120°
2. 150° 3.(略)
4. O；180° 5.2次；120°，240°
过关练习精选
1.(1)一个定点，某个方向，一个角度；
(2)相同的，旋转，旋转中