九年级数学下册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图像与性质教案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级下册数学教案.docx

第1课时 二次函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画函数的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．
2.体会数形结合的转化，能用的图象和性质解决简单的实际问题．
【过程与方法】
经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．
【情感态度】
通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性．
【教学重点】
1.会画的图象．
2.理解，掌握图象的性质．
【教学难点】
二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．
教学过程
一、情境导入，初步认识
问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?
问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?
【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线．
二、思考探究，获取新知
探究1 画二次函数的图象．
【教学说明】①要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学．
②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征．
③强调画抛物线的三个误区．
误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势．
如图(1)就是y=x2的图象的错误画法．

误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形．
图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x2的图象的错误画法．
误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止．
如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x2图象的错误画法．
探究2 图象的性质在同一坐标系中，画出y=x2， ，y=2x2的图象．
【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性．动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数的图象和性质．
【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调．
图象的性质
1.图象开口向上．
2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点．
3.当x＞0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x＜0时，y随x的增大而减小，简称左降．
三、典例精析，掌握新知
例 已知函数是关于x的二次函数．
(1)求k的值．
(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？
【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+2＞0，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围．
解：(1)由已知得 ，解得k=2或k=-3．
所以当k=2或k=-3时，函数是关于x的二次函数．
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2＞0．
由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y随x的增大而增大．
四、运用新知，深化理解
1.（广东广州中考）下列函数，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A．y=x2 B．y=x-1 C． D．
2.已知点（-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
3.抛物线y=x2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x≤0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ．
4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值．
【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．
【答案】1．D 2．A 3．上，(0，0)，y轴， ，±3，减小，增大
4．解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又∵BC与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=．
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾二次函数图象的画法及其性质．
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流．
课后作业
教材练习第1、2题．
教学反思
本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数图象的画法，再由图象观察、探究二次函数的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力．

第2课时 二次函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画函数的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．
2.体会数形结合的转化，能用的图象与性质解决简单的实际问题．
【过程与方法】
经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．
【情感态度】
通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性．
【教学重点】
①会画的图象；②理解、掌握图象的性质．
【教学难点】
二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会．
教学过程
一、情境导入，初步认识
1.在坐标系中画出y=x2的图象，结合y=x2的图象，谈谈二次函数y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？
2.你能画出y=x2的图象吗？
二、思考探究，获取新知
探究1 画的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=x2的图象．
【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学．
问：从所画出的图象进行观察，y=x2与y=x2有何关系？
归纳：y=x2与y=x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称．(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)
探究2 二次函数性质问：你能结合y=x2的图象，归纳出图象的性质吗？
【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调图象的性质．
1.开口向下．
2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点．
3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y随x的增大而增大，简称左升．
探究3 二次函数的图象及性质
学生回答：
【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 ，当a＞0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ；当a＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 ．
答案：y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小
三、典例精析，掌握新知
例1 填空：①函数的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 ．
②函数y=x2，y=x2和y=的图象如图所示，
请指出三条抛物线的解析式．
解：①抛物线，（0，0），y轴，向上；
②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=．
【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小．
例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值．
【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值．
解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x2．当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2．
【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值．
四、运用新知，深化理解
1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（ ）

A．抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴
B．抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称
C．抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反
D．点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上
2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）

3.二次函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则m= ．
4.已知点A（-1，y1)，B(1，y2)，C(a，y3)都在函数y=x2的图象上，且a＞1，则y1，y2，y3中最大的是 ．
5.已知函数y=ax2经过点(1，2)．①求a的值；②当x＜0时，y的值随x值的增大而变化的情况．

【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．
【答案】1．D 2．B 3．2 4．y3
5．①a=2 ②当x＜0时，y随x的增大而减小
五、师生互动，课堂小结
这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：
（1）图象的性质；（2）y=ax2(a≠0)关系式的确定方法．
课后作业
教材练习第1～2题．
教学反思
本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax2(a＞0)的图象和性质，从而得出的图象和性质，进而得出y=ax2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯．

第3课时 二次函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
1.能够画出的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a，h对二次函数图象的影响．
2.能正确说出的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【过程与方法】
经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想．
【情感态度】
1.在小组活动中体会合作与交流的重要性．
2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识．
【教学重点】
掌握的图象及性质．
【教学难点】
理解与y=ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响．
教学过程
一、情境导入，初步认识
1.在同一坐标系中画出y=x2与y=(x-1)2的图象，完成下表．

2.二次函数y=(x-1)2的图象与y=x2的图象有什么关系？
3.对于二次函数(x-1)2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?
二、思考探究，获取新知
归纳二次函数的图象与性质并完成下表．

三、典例精析，掌握新知
例1 教材例3．
【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”． 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象．
例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合．①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．
解：①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2．
②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又＜x1＜x2，∴y1＞y2．
【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．
四、运用新知，深化理解
1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．没有最小值
2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限
3.在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（ ）

4.（1）抛物线y=x2向 平移 个单位得抛物线y=(x+1)2；
(2)抛物线 向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2．
5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出函数的大致图象；
(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？
【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑．
【答案】1．C 2．A 3．B 4．(1)左，1 (2)y=-2x2
5．解：(1)y=(x+2)2 (2)略 （3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0．
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．

课后作业
教材练习第1、2题．
教学反思
通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想．
第4课时 二次函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数的图象．掌握的图象和性质．
2.掌握与y=ax2的图象的位置关系．
3.理解，，及的图象之间的平移转化．
【过程与方法】
经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力．
【情感态度】
1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性．
2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣．
【教学重点】
二次函数的图象与性质．
【教学难点】
由二次函数的图象的轴对称性列表、描点、连线．
教学过程
一、情境导入，初步认识
复习回顾：同学们回顾一下：
① ，，（a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x的增减性分别是什么？
② 如何由 (a≠0)的图象平移得到的图象？
③猜想二次函数的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
二、思考探究，获取新知
探究1 的图象和性质
1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：
①y=(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
③ 将抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线
y=(x+1)2-1．
2.同学们讨论回答：
①一般地，当h＞0，k＞0时，把抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线；平移的方向和距离由h，k的值来决定．
②抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？
探究2 二次函数的应用
【教学说明】二次函数的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a＞0时，开口向 ，当a＜0时，开口向 ．
答案：抛物线，直线x=h，(h，k)，上，下
三、典例精析，掌握新知
例1 已知抛物线，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=(x+1)2-4，求原抛物线的解析式．
【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式．
解：抛物线y=(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)．故原抛物线的解析式为y=(x+4)2-2．
【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化．
例2教材例4：画二次函数的图像。

解：对称轴是直线，顶点坐标为，
列表：

-1
0
1
2
3
…

-3

-2.5

-1

1.5

5

…

描点和连线：
画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像
在对称轴左边的部分，这样就得到了的图像，如上图。

【教学说明】二次函数的画图：（1）画出对称轴，描出顶点。（2）简单列表。（3）利用对称性画出整个图形。
四、运用新知，深化理解
1．若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
2.抛物线y=x2-4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（ ）
A．4 B．4+4 C．12 D．2+4
3.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）

4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ，
当x 时，y随x的增大而增大．
5.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则a= ，c= ．
6.把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q（3，0），求平移后抛物线的解析式．
【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑．
【答案】1．B 2．B 3．C 4．y轴，（0，6），＜0 5．3，2 6．y=(x-1)2-4
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：①二次函数的图象与性质；②如何由抛物线平移得到抛物线．
【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握与二者图象的位置关系．
课后作业
教材练习第1～3题．
教学反思
掌握函数，，图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律．

第5课时 二次函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数的图象．
2.会用配方法求抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性．
3.能通过配方法求出二次函数(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值．
【过程与方法】
1.经历探索二次函数(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性．
2.在学习(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想．
【情感态度】
进一步体会由特殊到一般的化归思想，形成积极参与数学活动的意识．
【教学重点】
①用配方法求(a≠0)的顶点坐标；②会用描点法画(a≠0)的图象并能说出图象的性质．
【教学难点】
能利用二次函数(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数(a≠0)的图象．
教学过程
一、情境导入，初步认识
请同学们完成下列问题．
1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式．
2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标．
3.画y=-2x2+6x-1的图象．
4.抛物线y=-2x2如何平移得到y= -2x2+6x-1的图象．
5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？
【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会与的转化过程．
二、思考探究，获取新知
探究1 如何画图象，你可以归纳为哪几步？
学生回答、教师点评：
一般分为三步：
1.先用配方法求出的对称轴和顶点坐标．
2.列表，描点，连线画出对称轴右边的部分图象．
3.利用对称点，画出对称轴左边的部分图象．
探究2 二次函数图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？
学生回答，教师点评：
抛物线，对称轴为，顶点坐标为()，当a＞0时，若，y随x增大而增大，若，y随x的增大而减小；当a＜0时，若，y随x的增大而减小，若，y随x的增大而增大．
探究3 二次函数在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？
学生回答，教师点评：
三、典例精析，掌握新知
例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴．
①y=x2-3x+21 ②y=-3x2-18x-22
解：①y=x2-3x+21
=(x2-12x)+21
=(x2-12x+36-36)+21
=(x-6)2+12．
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6．
②y=-3x2-18x-22= -3(x2+6x)-22=-3(x2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5．
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3，5)，对称轴是x=-3．
【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．

例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？
①S与l有何函数关系？
S
②举一例说明S随l的变化而变化?
③怎样求S的最大值呢?
L
解：S=l (30-l)
=- l2+30l (0＜l＜30)
=-( l2-30l)
=-( l-15)2+225
画出此函数的图象，如图．
∴l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)
【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．
四、运用新知，深化理解
1.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（ ）
A．(3，-4) B．(3，4) C．(-3，-4) D．(-3，4)
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象如图所示，
当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值5、最大值0
B．有最小值-3、最大值6
C．有最小值0、最大值6
D．有最小值2、最大值6
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和
（1，0），且与y轴相交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；
④a+b+c=0．其中正确结论的序号是 ．
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；
④a＞1．其中正确结论的序号是 ．
【教学说明】通过练习，巩固掌握的图象和性质．
【答案】1．A 2．B 3．(1)①④ (2)②③④
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答的基础上，教师点评：
（1）用配方法求二次的顶点坐标、对称轴；
（2）由的图象判断与a，b，c有关代数式的值的正负；
（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值．
课后作业
教材练习第1～3题．
教学反思
的图象和性质可以看作是y=ax2，y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律．