江苏省金湖县实验中学八年级数学上册《平移与旋转》教案.doc

平移与旋转

二. 重点、难点：
重点：
1. 平移、旋转的特征。
2. 中心对称图形的性质及成中心对称图形的特征。
难点：
1. 旋转的特征。
2. 中心对称图形的性质。

［学习内容］
一. 平移：
1. 图形的平移及平移中的对应元素：图形的平行移动，称为平移。
如图1所示，ΔABC沿着直尺PQ平移到ΔA’B’C’，就可以画出AB的平行线A’B’，也可以说，将AB平移到A’B’。

这里，将点A与A’叫做对应点，把线段AB与线段A’B’叫做对应线段。∠A与∠A’叫做对应角。
由此可知：点B的对应点是点B’，点C的对应点是点C’。
线段AC的对应线段是线段A’C’，线段BC的对应线段是B’C’。
∠B的对应角是∠B’，∠C的对应角是∠C’。
注意：ΔABC平移的方向就是由点B到点B’的方向，平移的距离就是线段BB’的长度。
例1. 图2中ΔABC由点A到A’的方向，平移到ΔA’B’C’的位置，请在图中标出线段CA的中点M以及线段BC上的点N平移过后的位置M’和N’。

解：根据平移的特点，AC平移后得到的线段是A’C’，故AC之中点平移后，则为A’C’的中点，另外N在BC上，故平移后它也在B’C’上相应的位置。
2. 平移的特征：
在作平行线时，有时为了需要，将直尺与三角尺放在倾斜的位置，但无论怎样放置，总可以看出：

故可知：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等。图形的形状与大小都未发生变化。

实际上这里还有BC＝B’C’，如果BC与B’C’不在同一直线上，在平移后还有BC//B’C’。
请看下图，将ΔABC沿P→Q方向平移到ΔA’B’C’。

这里就有AB//A’B’，AB＝A’B’，AC//A’C’，AC＝A’C’，BC//B’C’，BC＝B’C’。
实际上，上图中，是将ΔABC的每一点都作了平移：

即平移后对应点所连的线段平行并且相等。
但有时平移前和平移后的某两条线段在同一直线上，如图3

例2. 在纸上画ΔABC和两条平行的对称轴m、n画出ΔABC关于直线m的对称三角形ΔA’B’C’，再画出ΔA’B’C’关于直线n对称的ΔA’’B’’C’’，观察ΔABC和ΔA’’B’C’’，这里两个三角形的关系是什么？

解：经观察，这里ΔABC和ΔA’B’C’对称，ΔA’B’C’又和ΔA’’B’’C’’对称，故ΔABC和ΔA’’B’’C’’中AC//A’’C’’，BC//B’’C’’，AB//A’’B’’，即ΔA’’B’’C’’为ΔABC的平移图形。

二. 旋转
1. 图形的旋转
像下面单摆一样，一个点绕着另外一个点转动，就叫旋转。这一个悬挂点就叫做小球旋转的中心。
由此可知，旋转中心在旋转过程中保持不动，而图形的旋转由旋转中心和旋转的角度决定。
观察下图：

从图中可以看到点A旋转到点A’，OA旋转到OA’，∠AOB旋转到∠A’OB’，这些都是互相对应的点，线段与角，此时
点B的对应点是点B’
线段OB的对应线段是OB’
线段AB的对应线段是A’B’

旋转中心是点O，旋转的角度是45°

注意：上图中旋转的中心是原三角形的一个顶点，是不是在旋转时旋转中心都应该为原图形中一点，答案是否定的，例如课本第10页中“做一做”中图形的旋转中心就不在一个三角形上。

例3. 如图8，ΔABC是等边三角形，D是BC上一点，ΔABD经过旋转后达到ΔACE的位置。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？

解：（1）旋转中心是A
（2）旋转了60°
（3）点M旋转到了AC的中点位置上。

例4. 如图9，点M是线段AB上一点，将线段AB绕着点M顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置关系如何？如果逆时针方向旋转90°呢？

解：顺时针方向旋转90°，如图9（2）所示，A’B’与AB互相垂直，逆时针方向旋转90°，如图9（3）所示，A’’B’’与AB互相垂直，由此可见：
（1）无论怎样旋转，线段旋转90°后总与原来位置互相垂直。
（2）此例从图形中明显可以区分顺时针还是逆时针，确定旋转是有方向的。

2. 旋转的特征
观察图7与课本中“做一做”中图形，旋转都具有其规律性。
图7中，线段OA、OB都是绕点O旋转45°角到对应线段OA’、OB’，而且

在“做一做”的图形中，旋转中心是点O，点A、B、C都是绕着点O旋转60°角到对应点A’、B’、C’，而且：

由此可知图形旋转的特征：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

例4. 如图10，正方形ABCD内一点P，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB、PC，请问：ΔPBC是等边三角形吗？为什么？

分析：本题关键是说明∠PCD＝∠PBA＝30°，利用条件可以设想将ΔAPD绕点D逆时针方向旋转90°，而使A与C重合，此时问题得到解决。
解：将ΔAPD绕点D逆时针旋转90°，得ΔDP’C，再作ΔDP’C关于DC的轴对称图形ΔDQC，得ΔCDQ与ΔADP经过对折后能够重合。

题后反思：在正方形中，由于相等的角较多，因而经常可以利用旋转的方法构建新图形来解决实际问题。
3. 旋转对称图形
在日常生活中，经常可以看到一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合，如电扇的叶片旋转120°，螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合。
像这样，绕着某点旋转一定角度后与自身重合的图形叫做旋转对称图形。
思考：为什么电扇转动120°后能与自身重合，而螺旋桨须旋转180°后才能与自身重合呢？
实际上，可以这样考虑：一个周角是360°，电扇共有三个叶片，故而每两个叶片的中心点相差120°，因此，电扇每转动120°，就能与自身重合，而螺旋桨同样可知须至少转动180°，才能与自身重合一次。

三. 中心对称
1. 中心对称图形
在上面旋转的基础上，我们把一个图形绕着中心点旋转180°后，能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，绕着的这个点叫做对称中心。
由此可知，中心对称图形是特殊的旋转对称图形，特指其中旋转角度为180°的旋转对称图形。
2. 两个图形成中心对称
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么就称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点，如图11所示，ΔABC与ΔADE是成中心对称的两个三角形，点A是对称中心，点B的对称点是点D，点C的对称点是点E，而点A的对称点为点A。

点B绕着点A旋转180°到达点D处，因此，B、A、D三点在同一直线上，AB＝AD，同理还有CA＝AE。
刚才研究的是对称中心是两个图形的交点，下面我们看另外一种情况：

观察图12发现，点A绕中心点O旋转180°后到点A’，于是A、O、A’三点在一直线上，并且AO＝OA’，另外分别在同一直线的三点还有C’、O、C和B、O、B’，并且BO＝OB’，CO＝OC’。
由此可知在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
反过来，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
即在图12中，如果未知ΔABC和ΔA’B’C’成中心对称，而知道AＯ＝A’O，BO＝B’O，CO＝C’O，则我们可以判断ΔABC和ΔA’B’C’成中心对称。

例5. 如图13，已知ΔABC和点O，画出ΔDEF，使ΔDEF和ΔABC关于点O成中心对称。

解：（1）连结AO并延长AO到D，使DO＝OA，于是得到点A的对称点D。
（2）同样画出点B和点C的对称点E和F。
（3）顺次连结DE、EF、FD，ΔDEF即为所求的三角形。

本课小结：
1. 本章是探索在平移与旋转这两种运动与变换下图形发生的变化。通过实例，理解平移与旋转两种变换过程，结合动手，理解平移旋转的特征。
2. 掌握平移和旋转的相同点和不同点：
（1）两种变换下，图形大小均未变；
（3）平移是把图形平行移动，它是由移动的方向和距离决定，旋转是图形绕某一点转动它是由旋转中心和旋转角度所决定。
3. 搞清楚中心对称图形和两个图形成中心对称的差别与联系。

【模拟试题】
1. 在纸上任意画一个三角形，然后将此三角形沿着东偏南60°的方向平移3厘米，画出平移后的三角形。
2. 如图所示，ΔABC与ΔADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED是直角，点E在AB上，如果ΔABC经旋转后能与ΔADE重合，则哪个点是旋转中心，旋转了多少度？

3. 如图，四边形ABCD是正方形，ΔADE旋转后能与ΔABF重合。
（1）旋转中心是哪点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果连结EF，则ΔAEF是什么三角形？为什么？

4. 画出图中ΔADC的中心对称三角形，以D为对称中心，其中AD是ΔABC的高。

5. 按要求作图：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形。

【试题答案】
1. 即为所求。

2. 解：此时A点是旋转中心，旋转了

3. 解：旋转中心是点A，旋转了，连结EF后，是等腰三角形。

4. 解：延长AD到，使得，延长CD到，使得，即为所求的三角形。

5. 解：在正方形ABCD中，作其内切圆，此图即是轴对称图形，又是中心对称图形。