九年级数学上册 23.2 解直角三角形及其应用（第4课时）名师教案 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

第4课时　解直角三角形的应用

教学目标
1．了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
2．能够把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决．
3．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
教学重难点
理解坡度的有关术语，解决有关坡度的实际问题．
教学过程
导入新课
长江三峡水利枢纽，是当今世界上最大的水利枢纽工程．放眼世界，从大海深处到茫茫太空，人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作．三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世界级工程的前列．它不仅将为我国带来巨大的经济效益，还将为世界水利水电技术和有关科技的发展作出有益的贡献．
这节我们将学习水库大坝的有关问题．

推进新课
一、合作探究
【问题1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．

通过前面的学习，学生已了解了坡度与坡角的概念，也基本了解了解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD＝AE＋EF＋FD，AE，DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF＝BC＝6 m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生的运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
＝，＝，
∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，
FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．
∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.333 3，查表得α≈18°26′.
AB＝BE÷sin α＝72.7(m)．
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.
在求AB时，也可由＝及勾股定理得出BE∶AB＝1∶，∴AB＝23≈72.7(m)．
【问题2】 利用上面的方法，你能解决下面的问题吗？
一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精确到0.1米)

给学生充分的时间，以便让学生思考，写出解答过程．让一名学生上台板演．
二、巩固提高
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶0.5，渠道底面宽BC为1米，求：

(1)横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
(2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：(1)引导学生将实际问题转化为数学问题．
(2)要求等腰梯形ABCD的面积，首先要求出AD，如何利用条件求AD?
(3)土方数=等腰梯形ABCD的面积×100.
解：(1)∵渠道内坡度为1∶0.5，渠深BE为0.6米，
∴AE=0.5×0.6=0.3(米)．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.3(米)．
∴AD=2×0.3+1=1.6(米)．
∴等腰梯形ABCD的面积为×(1.6+1)×0.6=0.78(米2)．
(2)总土方数=截面积×渠长=0.78×100=78(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.78平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米．
三、达标训练
1．一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD．(单位：米，结果保留根号)

2．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(精确到0.01海里)

分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线，AB是南北走向的一条直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BCP均为直角．再通过65°角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34°角与∠BPC互余的关系求∠BPC．
3．一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至屋门的最短的水平距离该是多少？(精确到0.1米)

本课小结
1．在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
2．利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：
(1)审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成的直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中．
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．

1．解直角三角形的依据
在Rt△ABC中，∠C＝90°，其边角关系如下：
(1)三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．
(2)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°.
(3)边角关系：tan A＝，sin A＝，cos A＝.
2．常见解直角三角形的类型及解法
(1)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A．
(2)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝.
(3)已知两直角边(a，b)解直角三角形：c＝，tan A＝，∠B＝90°－∠A．
(4)已知斜边和一直角边(如a，c)解直角三角形：b＝，sin A＝，∠B＝90°－∠A．
3．用三角函数表示的三角形面积公式
如图，∵S△ABC=·CD=·CD，

又∵sin A=，
∴CD=b·sin A．
∴S△ABC＝·CD＝·b·sin A＝·sin A．
由此可得三角形面积公式为S△ABC＝·sin A，
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
4．利用“解直角三角形”解决实际问题的步骤
(1)审题，通过图形(如果题目没有图形，要画出图形)，弄清已知和未知．
(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题．
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形，其中找出有关的直角三角形是关键．
注意正确理解有关角的含义：(1)坡角；(2)仰角、俯角；(3)方位角；(4)方向角．
5．解直角三角形常作的几种辅助线
解直角三角形解决问题时，有时没有直接能解的三角形，这时需要添加辅助线，构造直角三角形，现介绍几种常用的方法．
(1)梯形作高法
若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，可构造出含特殊角的直角三角形．
【例1】 如图，塔AB和楼CD的水平距离为80 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高．

分析：在直角梯形ABDC中，有特殊角∠BAC，过较短底CD的端点C作梯形的高CE，可构造出含特殊角的Rt△AEC．解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB，AE，从而获得塔高AB和楼高CD．
解：作CE⊥AB于E，已知∠ACE=45°，∠ADB=60°，BD=CE=80 m.

分别解Rt△ABD和Rt△AEC，得AB=m，AE=80 m.
∴CD＝BE＝AB－AE＝80(－1) m.
故塔高为80 m，楼高为80(－1) m.
(2)延长四边形不相邻的两边使之相交法
有一对角均为直角，或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时，可延长不相邻的两边使之相交，构造含特殊角的直角三角形．
【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝1，∠BAD＝30°，∠ABC＝60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长．

分析：显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它们互余，延长AD，BC相交于E，可得Rt△AEB．
解：延长AD，BC相交于E，则∠E=180°-(30°+60°)=90°.

在Rt△AEB中，sin 30°=，cos 30°=，
可得BE=4，AE=.
S四边形ABCD=S△ABE－S△CED=×4×－×3DE=.
∴DE=，AD=AE－DE=.
奥赛链接
1．高州大酒店要把一楼至三楼的楼梯表面铺上地毯．若每转(每层楼的楼梯分两转，楼梯转台不计)楼梯高度为2 m，坡角为30°(如图所示)，求至少共要地毯长多少米？

解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
∴AC＝2tan 30°＝.

∴AC＋BC＝＋2，
即每转楼梯要地毯 m.
从一楼到三楼共要地毯4×＝ m.
2．我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水，要铺设引水管线．如图，已知MN为引水工程某段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向有一村庄A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为村民居住的范围．取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答：如果不改变方向，引水路线是否穿过该村庄？

解：如图，过A作AD⊥MN于D．

∵∠1＝30°，∠AMC＝60°，
∴∠AMD＝30°.
又∵∠2＝∠1＝30°，
∴∠ABD＝75°－30°＝45°.
在Rt△ABD中，BD＝AD．
在Rt△AMD中，设AD为x，则AM＝2x.
∴(400＋x)2＋x2＝(2x)2，
解得x1＝200(1＋)，x2＝200(1－)(不合题意，舍去)．
∵x＝200(1＋)＞500，
∴引水路线不会穿过村庄．