八年级数学上册 平面图形的镶嵌教案北师大版.doc

平面图形的镶嵌 教学设计
教学设计思想
本节内容需一课时讲授；本课是典型的数学与现实生活密切联系的一节课．从现实的、有教学意义的情境出发，以学生周围生活中的实例：地板、墙面、服装图案的平面图形的镶嵌照片作为引例，符合学生的年龄特征与生活经验，并能激发学生学习数学的兴趣，让学生在生动具体的情境中来探究正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的镶嵌，使学生的数学学习过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动．教师的教学设计充分考虑学生主体性的发挥，让学生经历自主“做数学”的过程．
教学目标
（一）知识与技能
1．叙述平面图形的镶嵌的定义．
2．知道多边形镶嵌的条件．
（二）过程与方法
1．经历探索多边形镶嵌（镶嵌）条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力．
2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
（三）情感、态度与价值观
1．在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美情感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用．
2．在探索性活动中，开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际．
教学重点
多边形镶嵌的条件．
教学难点
运用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计．
教学方法
启发、讨论式．
教具准备
各种地板图片、投影片、剪刀、硬纸片数张．
教学过程
Ⅰ．巧设情景问题，引入课题
［师］同学们好，老师问大家一个问题：你家铺有地板砖吗？
［生齐］铺有地板砖．
［师］那你家铺的地板砖是什么图形呢？
［生甲］正方形．
［生乙］正六边形．
［师］很好，我们经常能见到各种建筑物的地板，墙面或者是服装面料，发现它们常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．（出示投影，展示各种地板图片）

［师］这些地板漂亮吗？
［生齐］非常漂亮．
［师］很好，这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
这节课我们来探索平面图形的镶嵌．
Ⅱ．讲授新课
［师］平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺，在平面上镶嵌需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠．
大家愿意美化生活环境吗？
［生齐］愿意．
［师］好，那我们先来探索多边形镶嵌的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做
（1）用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌？
（2）用同一种四边形可以镶嵌吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流．
（3）在用三角形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
（4）在用四边形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？
（学生动手制作、教师强调：）
［师］大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形．
（学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导）
［生甲］用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌．因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面．
从用三角形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角（其中有三组分别相等），它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°．
［生乙］用同一种四边形也可以镶嵌，在用四边形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角．四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°．
［生丙］从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°．
［师］同学们总结得非常好，通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以镶嵌一个平面，那么其他的多边形能否镶嵌？下面大家来想一想，议一议
（1）正六边形能否镶嵌？简述你的理由．
（2）分析如下图，讨论正五边形不能镶嵌．

（3）还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
（学生分析、讨论、归纳）
［生甲］正六边形能镶嵌．因为正六边形的每个内角都是：=120°,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙．
［生乙］正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍．如图所示，在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和都大于360°．
［师］很好，乙同学说的也就是：在每个拼结处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象．
［生丙］老师，我知道了，要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
［师］很好，事实上，对于正n边形，它的每一个内角都为,在每个拼接点处，设可以将m个内角彼此无重叠、无缝隙地拼接在一起，由于这些角的和应为360°，因此有×m=360°
此式可化为：（m－2）（n－2）=4
m、n都是正整数．
因此：m－2,n－2都是4的因子．
所以，m、n的取值仅有三种可能，即：

这正是正多边形的三种可以镶嵌的情况．当然，一般三角形、四边形也可以镶嵌．虽然它们的内角未必都相等．
［师］这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况，图案漂亮吗？
［生齐］漂亮．
［师］好，下来我们可以利用多边形设计一些美丽的图案．
m（m＞2）
n
平面镶嵌图案
3

4

5

6

7

［生］老师，我们讨论了用正多边形镶嵌平面，那非正多边形能否镶嵌一个平面呢？
［师］这个问题我们以后要涉及到，因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂，所以这节课我们不进行讨论．
Ⅲ．课堂练习
1．如图，在一个正方形的内部按图示（1）的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图（2）所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？说说你的理由．

答案：可以进行镶嵌．因为正方形是可以镶嵌的．这个题只是在整个镶嵌图案中，将其中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位，因而它也是可以镶嵌的．
（二）试一试
同时用边长相同的正八边形和正方形能否镶嵌？用硬纸板为材料进行实验．
答案：可以镶嵌
（学生进行操作，来实验，从而得证）
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形镶嵌的条件．即：
一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°．
Ⅴ．活动与探究
探索用两种正多边形镶嵌平面的条件．
过程：让学生先从简单的两种正多边形开始探索．
（1）正三角形与正方形
正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：
60x+90y=360
即：2x+3y=12
又x、y是正整数
解得：x=3,y=2
即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接．（如下图）

（2）正三角形与正六边形
正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个120°角，即：
60x+120y=360°
即x+2y=6
x、y是正整数
解得：
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图．

（3）正三角形和正十二边形
与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形
由以上讨论可找到镶嵌平面的条件．
结论：
由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
（1）n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°;
（2）n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍．
板书设计
平面图形的镶嵌
一、平面图形的镶嵌 四、课堂练习
二、平面图形的镶嵌的条件 五、课时小结
三、议一议
六、课后作业