安徽省安庆市桐城吕亭初级中学八年级数学上册 三角形全等的判定教学设计 新人教版.doc

三角形全等的判定
三个条件。通过大量的实践活动探索三角形全等的条件。通过不同的条件画出三角形来探索两个三角形全等的条件，这对总结出三角形全等的条件及其应用进行判定是十分必要的，也是非常重要的。最后通过例题来应用这些知识点。
教学目标
知识与技能
能叙述三角形全等的条件，体会三角形的稳定性；
能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；
提高动手能力。
过程与方法
经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
情感态度价值观
体会数学与实际生活的联系。
教学重、难点
重点：三角形全等的条件。
难点：利用三角形全等的条件解题。
教学方法
小组讨论，学生探索为主
教学媒体
多媒体
课时安排
4课时
教学过程设计
第一课时
（一）复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
（二）SSS定理的得出
给出任意两个三角形，有些是全等的，有些不是全等的，我们知道如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′。问同学们能不能找到一种方法，用较少的条件来判定两个三角形全等呢？下面就一起来找找这些条件。（板书课题：三角形全等的条件）。
探究1
先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个。你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
小组讨论下面问题
1.在两个三角形中，有一个角对应相等，或一条边对应相等，这两个三角形是否一定全等？有两个角对应相等，或两条边对应相等，或一个角和一条边分别对应相等，情况怎样？有三个角对应相等的情况呢？
2.用来判断两个三角形全等的条件，只有以下三种情况才有可能：三条边对应相等，或两条边和一个角分别对应相等，或两个角和一条边分别对应相等．你认为这种说法对吗？
通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等。满足上述六个条件中的三个，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？我们分情况进行讨论。
探究2
分小组活动：
1.用一根长 13 cm 的细铁丝，折成一个边长分别是 3 cm ， 4 cm ， 6 cm 的三角形．把你做的三角形和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？
2.用同一根细铁丝，余下 1 cm ，用其余部分折成一个边长分别是 3cm ， 4 cm ， 5 cm 的三角形，再和同学做的三角形进行比较，它们能重合吗？
3.不同小组用同一根细铁丝，任取一组能构成三角形的三边长的数据，和同桌同学分别按这些数据折三角形，折成的两个三角形能重合吗？
4.先任意画出一个△ABC．再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，B′C′＝BC：
1．画线段B′C′=BC；
2．分别以B′、C′为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点A′；
3．连接线段A′B′，A′C′．

师：通过咱们的试验，可以得出什么结论呢？
生:只要三角形三边的长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了．
师总结定理：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等．
师：咱们试着把这句话压缩一下，用几个字概括，同学们认为什么最合适呢？
生：边边边
师：字母记做“SSS”
三角形全等的表示：

我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．就是说，三角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了．这里就用到上面的结论．
用上面的结论可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
（三）例题
例1如图13．2—3，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证△ABD≌△ACD。

分析：要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．
从例1可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．
（四）思考
已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD＝FB（图13．2—4）．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC＝FE，BC＝DE以外，还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?

（五）练习
工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．为什么?

（六）小结
引导学生总结出本节的主要知识点。
（七）板书设计
三角形全等的条件（一）
定理
例题
练习
第二课时
（一）探究3
1．学生分组活动：画一个三角形，使它的两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，其中一个角是30°
画好后同桌两人讨论：两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形全等么？
有的组说全等，有的组说不全等
让各组派代表说说做法，比较有什么不同，老师总结，有三种做法
（1）两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，并且长为1.5cm的这条边所对应的角是 30°，这种做法得出的结论是：不全等
（2）两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，并且长为2.5cm的这条边所对应的角是 30°，这种做法得出的结论也是：不全等
（3）两条边长分别是 1 . 5 cm ， 2 . 5 cm ，这两条边的夹角为 30°，这样做出的两个三角形全等。
提问：由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三角形全等？
2.将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？
3.先任意画出一个△ABC再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使有两边和它们的夹角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗?
画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A：
1．画∠DA′E＝∠A；
2．在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC；
3．连接B′C′．

总结定理：如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“边角边”或“SAS”.
注：有上述活动，我们可以得出“边边角”无法判定两个三角形全等。
（二）例题
例2：如图13．2—6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么?
分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE．
在△ABC和△DEC中，CA＝CD，CB＝CE．如果能得出∠1＝∠2，△ABC和△DEC就全等了．
证明：在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（SAS）。
∴AB=DE。

从例2可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．
（三）探究4
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么？
有探究3我们知道不一定全等。现在进一步来说明。我们可以通过画图回答，还可以通过实验回答。
把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合。适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（图13．2—7）．

图13.2—7中的△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等。这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
（四）练习
课本99页的练习
（五）小结
引导学生总结出本节的主要知识点。
（六）板书设计
三角形全等的条件（二）
定理
例题
练习
第三课时
（一）问题的提出：
类比着《边边边公理》和《边角边公理》即“三元素定三角形”，提出：如果两个三角形两边一个角分别对应相等，这两个三角形能不能全等？
（二）探究5
学生活动
1.按照下面的步骤画三角形，使它的两个内角分别为35°和 65°，并且这两个角的夹边的长为2.5cm。

画好后小组交流，比较画出的三角形是否全等
2．活动2 ：将两角和它们的夹边的数据改换成另一组，再与同学一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能得出什么结论？
3.先任意画出一个△ABC。再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等）。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B
1．画A′B′=AB；
2．在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E交于点C′．

4．角边角定理：如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等．这个事实可以简写为“角边角”或“ASA”
（三）探究6
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（图13．2—9），△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?

提示：如果两个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角是什么关系？
总结出结论：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
（四）例题
例3如图13．2—10，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证AD＝AE．

分析：如果能证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE．
证明：在△ACD与△ABE中，

∴△ACD≌△ABE（ASA）。
∴AD=AE。
（五）讨论
三角对应相等的两个三角形全等吗?
（六）练习
1．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么?

2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2．求证AB=AD．
（七）小结
三角形全等的判定方法做一个小结．
（八）板书设计
三角形全等的条件（三）
定理
例题
练习
小结
第四课时
（一）引入新课
前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SSS ，SAS，ASA，AAS；我们也知道，“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”。这些结论适用于所有的各类三角形。
我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形（如直角三角形）。特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？
我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等。
如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？
（二）探究8
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°．再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB．把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗?
画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB：
1．画∠MC′N＝90°．
2．在射线C′M上取B′C′＝BC。
3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′．
4．连接A′B′．

图13．2—11给出了画Rt△A′B′C′的方法．探究8的结果反映了什么规律?
我们容易看出探究8反映的规律是：
斜边和—条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
（三）例题
例4如图13．2—12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证BC＝AD．

证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。
∴BC=AD。
（四）练习
课本103页的练习
（五）小结
引导学生总结出本节的主要知识点。
（六）板书设计
三角形全等的条件（四）
讨论
定理
例题
练习