河南省濮阳市南乐县张果屯乡中学八年级数学上册《15.2.2完全平方公式》教案 新人教版.doc

《15.2.2完全平方公式》教案

教学目标
1．理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。
2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
3. 利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力。
4. 进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义。
5 在灵活运用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。鼓励学生算法多样化，培养学生的方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神。

教学重点
完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活运用。

教学难点
理解完全平方公式的结构特征并能灵活运用公式进行计算。

教学手段：
多媒体辅助教学。

教学程序：
（一）创设情境，引出课题
问题1：花园小区有一块边长为a的正方形绿地，为了扩大绿地的面积，要把边长增加b。你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系呢？

学生独立思考后交换各自的解法：
方法一：绿地的面积是 (a+b) 2
方法二：绿地的面积是a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
因为(a+b)2和a2+2ab+b2都表示绿地的面积，所以(a+b)2= a2+2ab+b2。
问题2：瑞安小区为了更好的美化环境，要把边长为a的正方形花园按照图纸分为一、二、三、四部分,分别种植四种鲜花。你能用几种方法表示第一部分面积?不同的表示方法之间有什么关系呢？

学生独立思考后交换各自的解法：
方法一: 第一部分的面积是(a-b)2
方法二：第一部分的面积是a2-b(a-b)-b(a-b)-b2=a2-ab+b2-ab+b2-b2
=a2-2ab+b2
因为(a-b)2和a2-2ab+b2都表示第一部分的面积，所以(a-b)2=a2-2ab+b2。
【设计意图】问题是知识、能力的生长点，通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考，自然引出本节课的主要内容。

（二）归纳总结，探究新知
问题3：如果a、b表示两个数，你能用语言叙述出这两个结论吗？
引导学生仔细观察，然后学生以小组为单位进行探索交流，得到：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
【设计意图】组织学生小组讨论，使学生学会对公式的正确表述，有利于学生正确用于计算之中。

（三）利用旧知，公式推导
问题4：你能用多项式的乘法法则来说明完全平方公式成立吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
【设计意图】学生已经能够掌握平方差公式的基本形式了。在此基础之上，让学生从感性认识上升为理性思维，利用逻辑推导得出结论，进一步加深认识和理解。

（四）剖析公式，发现本质
问题5：完全平方公式有哪些结构特征呢？
学生讨论，教师引导,得到：
1.左边是二项式的完全平方
2.右边是二次三项式，其中两项是两数的平方和
3.另一项是两数积的2倍且与左边乘式中间的符号相同
为了帮助大家记忆，还有一个口诀：首平方，尾平方，首尾乘积二倍在中央，符号看前方。
【设计意图】通过观察完全平方公式，体验公式的简洁性。通过分析公式的本质特征掌握公式，并介绍口诀帮助学生记忆．

（五）巩固运用，内化新知
例3 运用完全平方公式计算
(1) (4m+n)2 (2)(y - )2
解：（1）(4m+n)2=（4m)2+2 . 4m . n+n2

=16m2+8mn+n2
（2） (y-)2 = y2 - 2 . y . +()2

= y2 – y +
【设计意图】让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的。
问题6：思考：运用完全平方公式的关键是什么？
运用完全平方公式与运用平方差公式一样,关键是把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪个是 a , 哪个是 b.
例4 运用完全平方公式计算 (1) (-a-b)2 (2)(b-a)2
解：(1)(-a-b)2=（-a)2-2. (-a).b+b2= a2+2ab+b2
(2)解一 (b-a)2= b2-2.b.a+a2= b2-2ab+a2
解二 (b-a)2=[b+(-a)]2= b2+2.b.(-a)+(-a)2= b2-2ab+a2
总结：由例4的计算可以发现：互为相反数的两数的平方相等。
(-a-b)2= (a+b)2 （b-a)2= (a-b)2
练习：填空
(1) (-4a+1)2 (4a−1)2 (2) (-4a−1)2 (4a+1)2
例5 运用完全平方公式计算: (1) 1022 (2)992解:(1)1022=(100+2)2=1002+2×1002+22=10000+400+4=10404
(2) 992 =(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=39801
【设计意图】通过一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．
练习：运用完全平方公式计算
(1)(x+6)2 (2)(-2x+5)2
(3)( x- y )2 (4) 632

（六）逆向思维，再探新知
问题7：请同学们回忆一下去括号法则。
a+(b+c)= a+b+c a-(b+c)= a-b-c
反过来，得到：
a+b+c= a+(b+c) a-b-c= a-(b+c)
问题8：左边没括号，右边有括号，也就是填括号，同学们可不可以总结出添括号法则呢？
学生分组讨论，最后总结：
添括号法则是：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
也是：遇“正”不变，遇“负”都变。
【设计意图】添括号法则是去括号法则反过来得到的，所以可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确。通过添括号法则的学习锻炼了学生逆向思维能力。
练习：在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b - c = a + ( )
(2)a – b + c = a – ( )
(3)a – b - c = a – ( )
(4)a + b + c = a – ( )
（七）拓展深化，发展思维
例6 运用乘法公式计算：(1) (a+b+3) (a+b−3); (2) (a+b+c)2
解: (1) (a+b+3)(a+b−3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32=a2+2ab+b2-9
（2）方法一：(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ab+2ac+c2=a2+ b2 +c2+2ab+2ac+2bc
方法二：(a+b+c)2=[(a+c)+b]2=(a+c)2+2(a+c)b+b2=a2+2ac+c2+2ab+2bc+b2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc
【设计意图】有些整式相乘需要先作适当的变形，然后再有公式，这就需要学生理解乘法公式的结构特征和真正内涵。此处是学生理解的难点，也是教学的重点，教学时让学生充分讨论，鼓励学生用多种方法运算，从而达到灵活应用公式的目的。
练习：运用乘法公式计算：
(1) (2x+y+z)(2x–y–z) (2) (a+2b-1)2
问题9: 观察例3、4、5和例6，完全平方公式中字母a、b可以表示什么？
公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式。
【设计意图】通过分析例题，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（八）小结提高，知识升华
问题10：本节课你学到了什么？
1 完全平方公式及其结构特征和应用
2 添括号法则
3 综合应用公式进行计算
【设计意图】适时地总结所学知识，有助于学生对问题的深刻认识，同时养成严谨的学习习惯。