数学人教版必修2(B) 两条直线的位置关系0000.doc

两条直线的位置关系
教学目标
（一）教学知识点
1．点关于点对称.
2．点关于直线对称.
3.直线关于点对称.
4.直线关于直线对称.
5．直线系方程.
（二）能力训练要求
1．进一步熟悉应用两直线平行、垂直条件.
2．掌握点关于点、直线对称问题.
3．掌握直线关于点、直线对称问题．
4．理解直线系方程的概念并掌握其简单应用．
(三)德育渗透目标
1．认识事物之间在一定条件下的相互转化．
2．学会用联系观点看问题及分析解决问题．
教学重点
点对称问题．
教学难点
点对称问题向直线对称问题的转化．
教学方法
启发式
通过题组解答。诱导学生思考并发现题组中各题之间的联系与区别，进而找到解决
问题的一般方法，然后通过相互讨论总结点对称问题的求解规律，并能从直线对称问题
的实质出发，找到求解点对称问题的一般方法．
在直线系方程的认知过程中，要求学生注意体会直线系方程的解题优势，并说出自
己的感受，进一步领会自己发现解题方法的乐趣，从而使自己于无形之中得到能力的提
高．
教具准备
幻灯片
第一张：题组训练一(记作§7．3．5 A)
第二张：题组训练二(记作§7．3．5 B)
教学过程
I．课题导入
[师]前面几节课，我们重点研究两直线的平行、垂直关系的判断方法，并联系了求两
直线交点，求点到直线距离的公式，从中总结出相应的解题方法．下面，我们将给出相关的题组。希望大家在解题的过程中，熟练应用前面所学的知识．而后注意发现各知识之间的
联系，再谈谈自己的感受．
Ⅱ．讲授新课(打出了幻灯片§7．3．5 A)
题组训练一
[例1]已知点A(5．8)，B(4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标．
[例2]已知点A的坐标为(一4，4)，直线L的方程为3x+y-2=O．求点A关于直线L
的对称点A＇的坐标．
[例3]求直线3x-y-4=O关于点P(2，-1)对称的直线L的方程．
[例4]试求直线L1：x-y-2=0关于直线L2：3x-y+3=O对称的直线L的方程．
[师]大家在认真审读题目之后。可以探求一下解题思路，并注意各题之间的区别与
联系，然后大胆地谈出自己的感受，其余同学在注意听取的同时，可以提出不同的见解．
(适当给学生3～5分钟时间思考并解答，然后让学生主动地谈一谈自己的解题感受)
[生甲]若求点A关于点B的对称点C，可根据点B是A、C两点的中点，利用中点坐
标公式求出．
[生乙]对于例1．我是先设出点C(x0·y0),然后根据|AB|=|BC|得到一个方程．
再由kAB=kAC得到第二个方程，两方程联立方程组求解．
[生丙]虽然乙同学的解题的思路可行，但运算较繁，我认为还是甲同学的解法更为
简捷．
[师]这位同学谈得很好，比较不同方法，并得出较简或者是最简思路。正是我们所追
求的目标，也体现了解题方法的多样性、灵活性．请同学们继续谈．
[生丁]对于例2．我首先设出A＇(x，y)，然后设AA＇的中点B(x0，y0)，根据中点坐标公式可用x,y表示x0，y0，又B在直线L上．可得到关于x、y的一个方程，再根据直线AA＇的斜率与直线L的斜率存在互为负倒数关系，得到另一个方程，联立方程组可以求出A，坐标．
[生戊]丁同学的解题思路和我的解题思路大致相同，在此题的解题过程中用到了前
面刚学过的两直线垂直的充要条件．
[生己]还可根据点A与A＇到直线L的距离相等得到一个关于z、y的方程．这样可
以用到刚学过的点到直线的距离公式．
[生甲]在例2解答过程中，要注意运算的认真与书写的规范．
[师]很好，甲同学的补充也是我们对于解答题中运用数学语言表达的一个具体要
求，那么我们在两题的基础上继续考虑后两题与前两题有何联系呢?
[生庚]对于例3，我设直线3x-y-4=0上任意一点A(x0，y0)，设其关于点P(2，-1)的
对称点为A＇(x，y)，由题意得AA＇的中点为P,则由中点坐标公式可得出x,y与x0，y0的关系式,进而用x.y表示出x0，y0，再x0，y0代入直线3x-y-4=O，即得到A＇所在直线方程．
[生辛]我认为庚同学是将直线看成一个动点的轨迹，然后仿照例l求动点关于定点对称
点，又通过代换的思想得出A＇所在直线方程．
[生壬]对于例4，我先设出L1，上任一点P(x0，y0)．点P关于L2的对称点Q(x,y),再
由PQ中点在L2上得到关于x，y的一个方程，由PQ的斜率与L2斜率互为负倒数得到第二个方程,联立方程组,解出x0，y0,代人直线L1方程,整理可得L方程．
[师]例3、例4两个题目的解决思路与例1、例2相仿．但又有质的不同，因为例l、
例2是最基本的对称问题。是解答其他对称问题的基础。而例3、例4是将直线看成动点
来处理。这也是我们常说的转化思想，希望大家掌握这种解题思想。并能将其灵活应用在
解题当中．下面我们请四位同学将完整的解答过程书写在黑板上，其他同学注意参考并
进行辨别．
[例1]解：设C(x，y)，由中点坐标公式有

∴C点坐标为(3，-6)．
[例2]解：设点A＇的坐标为(x＇, y＇),因为点A与A＇关于直线L对称，所以AA＇⊥L，且AA＇的中点在L上，而直线L的斜率是-3．所以kAA＇．
又因为kAA＇=所以 =。 ①
再因为直线L的方程为3x+y-2=O，AA＇的中点坐标是( )，所以3·. ②
由①和②．解得x＇=2, y＇=6.
所以A＇点的坐标为(2,6)．
[例3]解法一：设直线L上任一点为(x，y，)，关于P(2,1)对称点(4-x, -2-y)在直线3x-y-4=O上．
∴3(4-x)-(-2-y)-4=0．
∴3x-y-lO=O．
则所求直线L的方程为3x-y-10=O．
解法二：由直线L与3x-y-4=0平行，可设直线L方程为3x-y-b=O．
∵点P到两直线距离相等．
∴b=-10或b=-4(舍)．
∴所求直线L的方程为3x-y-10=O．
[例4]解法一：解方程组
∴直线L1、L2的交点为A(- )．
设所求直线L的方程为y+=k(x+)．
即2kx-2y+5y-9=O．
由题意知,L1到L2与L的角相等,
则∴k=7.
则所求直线L的方程为7x+y+22=O．
解法二：在L1上任取点P(x1,y1) (P∈L2)，设点P关于L2的对称点为Q(x＇，y＇)，则

解得

又点P在L1上运动，∴x1-y1-2=0.
∴
即7x ＇+y＇+22=0.
∴所求直线方程为7x+y+22=O．
题组训练二
[例1]已知直线L1：x+y+2=0，L2：2x-3y-3=O，求经过L1、L2的交点且与已知直线3x+y-l=O平行的直线L的方程．
[例2]求证：不论m为什么实数,直线(m-1)+(2m-1)y=m-5都通过一定点．
[师]有了题组训练一的基础．我们继续分析这两个例题，并比较解法的优劣．
[生乙]由L1与L2联立方程组可求出交点坐标．再根据互相平行的两直线斜率相等
求直线L的斜率，然后用点斜式表示．
[生丙]设直线，的方程为
2x-3y-3+λ(x+y+2)=0.
由L与直线3x+y-1=0平行的充要条件,求出λ,代回L方程即可.
[师]比较生乙与生丙叙述的解法,第二种解法不同求交点,如果L1与L2的方程系数较为复杂,那么求L1与L2交点显然不是一件轻松的事,所以要注意体会解法二的优越性.
解法一:由
∴交点(-).
∵直线L与直线3x+y-1=0平行,
∴k1=-3.
由点斜式得L的方程为
y+=-3(x+),
即15x+5y+16=0.
解法二:设直线L的方程为
2x-3y-3+λ(x+y+2)=0.
∴(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.
∵L与直线3x+y-1=0平行,
∴
解得λ=.
∴直线L的方程为15x+5y+16=0.
[师]接下来,我们继续探讨例2的解题思路.
[生甲] 因为己知直线过定点与m无关,故可取两个m值,再求出两直线的交点坐标,即为所求.
[生丁]可以将直线方程整理为m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,则直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过直线x+2y-1=0与x+y-5=0的交点.
[生辛]可以将直线方程整理为关于m的一次方程,由m为任意实数,知关于m的一元一次方程m(x+2y-1)=x+y-5的解集为R,可得x+2y-1=0且x+y-5=0,解得交点坐标即为所求.
[师]好的大家根据上述思路完善解答过程.
证法一:取m=1,得直线方程y=-4;再取m=,得直线方程为x=9.
从而得两条直线的交点为(9,-4),又当x=9,y=-4时,有(m-1)9+(2m-1)·（-4）=m-5,即点（9，-4）在直线（m-1）x+(2,-1)y=m-5上，故直线（m-1）x+(2m-1)y=m-5都通过定点（9，-4）.
证法二：∵（m-1）x+(2m-1)y=m-5,
∴m(x+2y-1)-(x+y-5)=0.
则直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过直线x+2y-l=O与x+y-5=O的交点．
由方程组
解得x=9,y=-4,即过点（9，-4）.
所以直线（m-1）x+(2m-1)y=m-5经过定点（9，-4）.
证法三：∵(m-1)x+(2m-1)y=m-5，
∴ m(x+2y-1)=x+y-5．
由m为任意实数，知关于m的一元一次方程m(x+2y-1)=x+y-5的解集为R．
∴
解得x=9，y=-4．
所以直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过定点(9,-4)．
Ⅲ．课堂练习
1．已知直线L1和L2夹角的平分线为y=x,如果Ll的方程是ax+by+c=0(a,b>O),那么L2的方程是 ( )
A．bx+ay+c一0
B．ax-by+c：O
C．bx+ay-c=O
D．by-ay+c=0
解法一：设直线L1与直线y=x的交点为M．由
∴M点的坐标为(-)．
又Ll的斜率为k1=-( ∵a、b>0),k1<0.
由直线L1到直线y=x的角等于直线y=x到L2的角.
∴=.得k2=-
根据直线的点斜式得L2的方程为
y+ 即bx+ay+c=0。
∴应选A．
解法二：取特殊值，令a=b=c=1，此时L1的方程为x+y+1=O．则Ll关于y=x对称的直线L2的方程仍是x+y+l=O(由于x+y+l=O垂直于y=x)．
∴应选A．
解法三：根据互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称的性质，把直线L1对应的方程作为原函数，那么直线L2对应的方程作为它的反函数，于是只需把L1，对应的方程中的x、y互换位置就得到L2的方程bx+ay+c=O．
∴应选A.
2．光线通过A(-2，4)，经直线2x-y-7=O反射,若反射线通过点B(5，8),求入射线和反射线所在直线的方程．
解：如图所示，已知直线L：2x-y-7=O，设光线AC经L上点C反射为BC,则∠1=∠2．
再设A关于L的对称点为A＇ (a、b)．则∠l=∠3．
∴∠2=∠3．则B、C、A＇三点共线．
∴A＇A⊥L且AA＇中点在L上，
∴
解得a=10,b=-2,即A＇(10,-2)．
∴A＇B的方程为y+2= (x-10),
即2x+y-18=O．
∴A＇B与L的交点为C( )．
∴入射线AC的方程为
y-4= (x+2),
即2x-11y+48=O．
∴入射线方程为2x-lly+48=O，反射线方程为2x+y-18=O．
Ⅳ．课时小结
[师]通过本节学习．要求大家掌握点对称问题、直线对称问题的常规解法，熟练应用
直线系方程．进一步熟悉两直线平行和垂直的条件、夹角公式及点到直线的距离公式．,逐
步增强解题能力．
V．课后作业
1．试求三直线ax+y+1=O,x+ay+l=O，x+y+a=O构成三角形的条件。
解法一：任两直线都相交．则
故a≠±1.
且三直线不共点，故（-1-a,1）不在ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0，a2+a-2≠0,(a+2)(a-1)≠0.
∴a≠-2,a≠1.
综合上述结果，此三直线构成三角形的条件是a≠±1，a≠-2.
解法二：∵三条直线能构成三角形．
∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点．
若L1、L2、L3交于一点，则
L1：x+y+a=0与L2:x+ay+l=O的交点P(-a-1,1)，在L3：ax+y+l=O上，
∴a(-a-1)+l+1=O，
∴a=l或a=-2．
若Ll∥L2,则有-
若L2∥L3,则有-
若L2∥L3,则有-
∴L1、L2、L3构成三角形时a≠士1，a≠-2．
2．△ABC中．BC边上的高所在直线的方程为x-2y+l=O，∠A的平分线所在直线的方程为y=O．若点B的坐标为(1，2)．求点A和点C的坐标．
解：如图所示，由方程组解得顶点A（-1，0），
∴直线AB的斜率为kAB=
∵x轴是∠A的平分线，
∴直线AC的斜率为-1，直线AC的方程为y=-(x+1). ①
己知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,
∴直线BC的斜率为-2，BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1), ②
由①、②联立，解此方程组得
即顶点C坐标为(5，-6)．
∴所求顶点A坐标为（-1，0），顶点C坐标为（5，-6）.